Komplekse tall er den naturlige fortsettelsen av reelle tall. I moderne tid brukes komplekse tall på mange felt som digital signalbehandling, kryptografi og mange datarelaterte felt.

I denne artikkelen vil vi lære om imaginære tall, komplekse tall og dens type, ulike operasjoner på komplekse tall, egenskaper til komplekse tall, anvendelse av komplekse tall, etc.

Definisjon av komplekse tall

Komplekse tall er tall av skjemaet (a + i b) hvor en & b er de reelle tallene og Jeg er en tenkt enhet kalt iota som representerer √-1. For eksempel er 2 + 3i et komplekst tall der 2 er et reelt tall og 3i er et imaginært tall. Komplekse tall kan skrives som a + ib der a og b er rasjonelle tall som kan representeres på en talllinje som strekker seg til evighet .

Modulus av komplekst tall

Modulen til det komplekse tallet er den absolutte verdien og representerer avstanden mellom origo og det gitte punktet. Det er også kjent som størrelsen på det komplekse tallet. La oss vurdere et komplekst tall z = a + ib, så er modulen til z definert som:

|z| = √(a ² + b ² )

hvor,

• en er den reelle delen av det komplekse tallet z, og
• b er den imaginære delen av det komplekse tallet z.

Argument for komplekst tall

Vinkelen mellom radiusvektoren til et komplekst tall og den positive x-aksen kalles argumentet til et komplekst tall. For et komplekst tall z = a + ib, er det matematisk gitt ved:

θ = tan ^-1 (b/a)

hvor,

• en er den reelle delen av det komplekse tallet z, og
• b er den imaginære delen av det komplekse tallet z.

Kraften til i(iota)

i(iota) er definert som kvadratroten av -1. Dermed kan enhver potens av i uttrykkes som en gjentatt multiplikasjon av i av seg selv, dvs.

• i = √(-1)
• Jeg²= -1
• Jeg³= – jeg
• Jeg⁴= 1
• Jeg⁵= i
• Jeg⁶= – 1
• og så videre..

Behov for komplekse tall

I gamle tider hadde folk kun kunnskap om naturlige tall som disse tall er mest intuitive i naturen ettersom den menneskelige hjernen allerede har en forståelse av dem ved å bruke visuelle bilder av ting som sauer og mat. Dermed har vi bare settet med naturlige tall ( N ) men i naturlige tall er det ingen løsning på likningen x + a = b (a> b) og a, b ∈ N. Dermed ble det en utvidelse av naturlige tall, dvs. Heltall( Jeg ).

Nå, igjen i dette settet med tall, er det ingen løsning på ligningen, ax = b (a ≠ 0) og a, b ∈ I, hvor a og b begge er heltall. Dermed utvides et sett med heltall (I) til et sett med rasjonelle tall ( Q ).

Igjen, i dette settet med rasjonelle tall, er det ingen løsning på ligningen x²= a (a> 0) og a ∈ Q. Dermed, Q utvides til å inkludere tall slik at x²= a(for a> 0) dvs. irrasjonelle tall. Dette settet heter Real Numbers og er representert av R .

Nå har det lenge vært antatt at vi ikke trenger å utvide dette settet med reelle tall for å danne et nytt større sett ettersom denne samlingen av tall virker komplett. Men igjen oppsto et nytt problem i dette settet med tall, dvs. det er ikke noe reelt tall slik at x²= a (a <0) og a ∈ R. Dermed utvides settet med reelle tall ytterligere til å inkludere alle slike verdsatte og kalt dette settet komplekse tall og er representert av C .

Klassifisering av komplekse tall

Som vi vet er standardformen for et komplekst tall z = (a + i b) hvor a, b ∈ R, og i er iota (en imaginær enhet). Så avhengig av verdiene til a (kalt reell del) og b (kalt imaginær del), er de komplekse tallene klassifisert i fire typer:

• Null komplekst tall
• Rent reelle tall
• Rent imaginære tall
• imaginære tall

La oss lære om disse typene i detalj.

Null komplekst tall

For et hvilket som helst komplekst tall z = a + ib hvis a = 0 & b = 0, kalles det komplekse tallet null komplekst tall. For eksempel er det eneste eksemplet på dette 0.

Rent reelle tall

For et hvilket som helst komplekst tall z = a + ib hvis a ≠ 0 & b = 0, kalles det komplekse tallet et rent reelt tall, dvs. et tall uten imaginær del. Alle de reelle tallene er eksempler på dette slik at 2, 3, 5, 7 osv.

Rent imaginære tall

For et hvilket som helst komplekst tall z = a + ib hvis a = 0 & b ≠ 0, kalles et komplekst tall et rent imaginært tall, dvs. et tall uten reell del. Alle tall uten reelle deler er eksempler på denne typen tall, dvs. -7i, -5i, -i, i, 5i, 7i, etc.

imaginære tall

For et hvilket som helst komplekst tall z = a + ib hvis a ≠ 0 & b ≠ 0, kalles et komplekst tall en imaginært tall . For eksempel (-1 – i), (1 + i), (1 – i), (2 + 3i), etc.

sortert arraylist i java

Ulike former for komplekse tall

Det finnes ulike former for komplekse tall som er,

• Rektangulær form
• Polar form
• Eksponentiell form

La oss nå lære om dem i detalj.

Rektangulær form

Rektangulær form er også kalt Standard skjema og det er representert ved (a + ib), hvor a og b er de reelle tallene.

For eksempel: (5 + 5i), (-7i), (-3 – 4i), etc.

Polar form

Polar form er representasjonen av et komplekst tall der polare koordinater [der koordinatene er representert som (r, θ), hvor r er avstanden fra origo og θ er vinkelen mellom linjen som forbinder punktet og origo og den positive x-aksen) brukes til å representere et komplekst tall. Ethvert komplekst tall er representert som r [cos θ + i sin θ].

For eksempler: [cos π/2 + i sin π/2], 5[cos π/6 + i sin π/6], osv.

Eksponentiell form

Eksponentielle former for komplekse tall er representasjonen av komplekse tall ved bruk av Eulers formel og i denne formen er komplekst tall representert med re^Jeg, hvor r er avstanden til et punkt fra origo og θ er vinkelen mellom den positive x-aksen og radiusvektoren.

For eksempler: eⁱ⁽⁰⁾, Det er^i(π/2), 5.e^i(π/6), etc.

Merk: Alle tre formene av de komplekse tallene diskutert ovenfor er interkonverterbare, dvs. disse kan konverteres fra en form til en annen veldig enkelt.

Operasjoner på komplekse tall

Følgende operasjoner kan utføres på komplekse tall:

• Addisjon
• Subtraksjon
• Multiplikasjon
• Inndeling
• Konjugasjon

Addisjon av komplekse tall

Vi kan legge til to komplekse tall, ved ganske enkelt å legge til deres reelle og imaginære deler separat.

For eksempel, (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i.

Subtraksjon av komplekse tall

Vi kan subtrahere to komplekse tall, ved ganske enkelt å subtrahere deres reelle og imaginære deler separat.

For eksempel, (3 + 2i) – (1 + 4i) = 2 – 2i.

Multiplikasjon av komplekse tall

Vi kan multiplisere to komplekse tall ved å bruke den distributive egenskapen og det faktum at i²= -1.

For eksempel, (3 + 2i)(1 + 4i) = 3 + 12i + 2i + 8i²= 3 + 14i – 8 = -5 + 14i.

Inndeling av komplekse tall

Vi kan dele ett komplekst tall med et annet, ved ganske enkelt å multiplisere både telleren og nevneren med det komplekse konjugatet til nevneren og forenkle uttrykket ytterligere.

For eksempel, (3 + 2i)/(1 + 4i) = (3 + 2i)(1 – 4i)/(1 + 4i)(1 – 4i) = (11 – 10i)/17.

Konjugering av komplekse tall

Vi kan enkelt finne konjugering av et komplekst tall, ved ganske enkelt å endre tegnet til den imaginære delen. Konjugat av et komplekst tall er ofte betegnet med en stolpe over tallet, for eksempel z̄.

For eksempel er konjugatet av 3 + 2i 3 – 2i.

Identiteter for komplekse tall

For alle to komplekse tall z₁og z₂følgende algebraiske identiteter kan gis:

• (Med ₁ + z ₂ ) ² = (z ₁ ) ² + (z ₂ ) ² + 2 z ₁ × z ₂
• (Med ₁ - Med ₂ ) ² = (z ₁ ) ² + (z ₂ ) ² – 2 z ₁ × z ₂
• (Med ₁ ) ² - (Med ₂ ) ² = (z ₁ + z ₂ )(Med ₁ - Med ₂ )
• (Med ₁ + z ₂ ) ³ = (z ₁ ) ³ + 3(z ₁ ) ² Med ₂ +3(z ₂ ) ² Med ₁ + (z ₂ ) ³
• (Med ₁ - Med ₂ ) ³ = (z ₁ ) ³ – 3(z ₁ ) ² Med ₂ +3(z ₂ ) ² Med ₁ - (Med ₂ ) ³

Formler relatert til komplekse tall

Det er noen formler relatert til komplekse tall, hvorav noen er som følger:

java er lik

Eulers formel

Eulers formel viser forholdet mellom den imaginære kraften til eksponent og trigonometrisk forhold sin og cos og er gitt av:

Det er ^ix = cos x + i sin x

De Moivres formel

De Moivres formel uttrykker n^thpotensen til et komplekst tall i polar form og er gitt av:

(cos x + i sin x) ⁿ = cos(nx) + i sin(nx)

Kompleks fly

Planet der de komplekse tallene er unikt representert kalles det komplekse planet eller Argand-planet eller Gauss-planet.

Det komplekse planet har to akser:

• X-akse eller ekte akse
• Y-akse eller imaginær akse

X-akse eller ekte akse

hvis annet i java

• Alle de rent reelle komplekse tallene er unikt representert med et punkt på den.
• Den reelle delen Re(z) av alle komplekse tall er plottet i forhold til den.
• Det er derfor X-aksen også kalles Virkelig akse .

Y-akse eller imaginær akse

• Alle de rent imaginære komplekse tallene er unikt representert av et punkt på den.
• Den imaginære delen Im(z) av alle komplekse tall er plottet i forhold til den.
• Det er derfor Y-aksen også kalles Imaginær akse .

Geometrisk representasjon av komplekse tall

Som vi vet at hvert komplekst tall (z = a + i b) er representert av et unikt punkt p(a, b) på det komplekse planet og hvert punkt på det komplekse planet representerer et unikt komplekst tall.

Følg disse konvensjonene for å representere et hvilket som helst komplekst tall z = (a + i b) på det komplekse planet:

• Reell del av z (Re(z) = a) blir X-koordinaten til punktet p

• Den imaginære delen av z (Im(z) = b) blir Y-koordinaten til punktet p

Og til slutt z (a + i b) ⇒ p (a, b) som er et punkt på det komplekse planet.

Egenskaper til komplekse tall

Det er forskjellige egenskaper ved komplekse tall, hvorav noen er som følger:

• For et hvilket som helst komplekst tall z = a + ib, hvis z = 0, så er a = 0 så vel som b = 0.
• For 4 reelle tall a, b, c og d slik at z₁= a + ib og z₂= c + id. Hvis z₁= z₂da er a = c, og b=d.
• Addisjon av et komplekst tall med dets konjugat resulterer i et rent reelt tall, dvs. z + z̄ = reelt tall.

La z = a + ib,

z + z̄ = a + en + a – en

⇒ z + z̄ = 2a (som er rent reell)

• Produktet av et komplekst tall med dets konjugerte resultater er også et rent reelt tall, dvs. z × z̄ = reelt tall

La da z = a + ib

z × z̄ = (a + en) × (a – en)

⇒ z × z̄= a²- Jeg²b²

⇒ z × z̄ = a²+ b²(som er helt ekte)

• Komplekse tall er kommutativ under drift av addisjon og multiplikasjon. La oss vurdere to komplekse tall z₁og z₂, og så

Med ₁ +z ₂ = z ₂ +z ₁

Med ₁ × z ₂ = z ₂ × z ₁

• Komplekse tall er assosiativ med operasjon av addisjon og multiplikasjon. La oss vurdere tre komplekse tall z₁, Med₂og z₃deretter

(Med ₁ +z ₂ ) +z ₃ = z ₁ + (z ₂ +z ₃ )

(Med ₁ ×z ₂ )×z ₃ = z ₁ ×(z ₂ ×z ₃ )

• Komplekse tall holder fordelingseiendom av multiplikasjon over addisjon også. La oss vurdere tre komplekse tall z₁, Med₂og z₃deretter

Med ₁ ×(z ₂ +z ₃ ) = z ₁ ×z ₂ + z ₁ ×z ₃

Les mer,

• Å dele komplekse tall
• Z-linje i komplekse tall

Eksempler på komplekse tall

Eksempel 1: Tegn disse komplekse tallene z = 3 + 2i på det komplekse planet.

Løsning:

Gitt:

Med = 3 + 2 i

Så, poenget er z(3, 2). Nå plotter vi dette punktet på grafen nedenfor, her i denne grafen representerer x-aksen den reelle delen og y-aksen representerer den imaginære delen.

Eksempel 2: Tegn disse komplekse tallene z ₁ = (2 + 2 i), z ₂ = (-2 + 3 i), z ₃ = (-1 – 3 i), z ₄ = (1 – i) på det komplekse planet.

Løsning:

Gitt:

Med₁= (2 + 2 i)

Med₂= (-2 + 3 i)

Med₃= (-1 – 3 i)

Med₄= (1 – i)

Så poengene er z₁(2, 2), z₂(-2, 3), z₃(-1, -3) og z₄(1, -1). Nå plotter vi disse punktene på grafen nedenfor, her i denne grafen representerer x-aksen den reelle delen og y-aksen representerer den imaginære delen.

java erstatte alt

Vanlige spørsmål om komplekse tall

Definer komplekse tall.

Tall på formen a+ib kalles komplekst tall, der a og b er det reelle tallet og i er den imaginære enheten som representerer kvadratroten av -1.

Hva er forskjellen mellom et reelt tall og et komplekst tall?

Forskjellen mellom reelle og komplekse tall er at vi bare trenger ett tall for å representere et reelt tall, men trenger to reelle tall for å representere et komplekst tall.

Hva er den reelle delen og den imaginære delen av et komplekst tall?

I et komplekst tall a + ib er a den reelle delen av det komplekse tallet, og b kalles den imaginære delen av det komplekse tallet.

Hva er det komplekse konjugatet av et komplekst tall?

For et komplekst tall a + ib kalles a – ib dets komplekse konjugat. Komplekse konjugater kan bli funnet ved ganske enkelt å endre tegnet til den imaginære delen.

Hva er modulen til et komplekst tall?

Avstand mellom opprinnelsen og punktet representert av et komplekst tall i argandplanet kalles modulen til det komplette tallet, og for z = a + ib er det matematisk gitt av:

|z| = √(a ² + b ² )

Hva er argumentet til et komplekst tall?

Vinkelen mellom radiusvektoren til et komplekst tall og den positive x-aksen kalles argumentet til et komplekst tall, og for z = a + ib er det matematisk gitt av:

θ = tan ^-1 (b/a)

Hva er den polare formen til et komplekst tall?

For et hvilket som helst komplekst tall, z = a + ib, er den polare formen av dette gitt av:

r [cos θ + i sin θ]

Hva er Eulers formel?

Eulers formel viser forholdet mellom den imaginære kraften til eksponent og trigonometrisk forhold sin og cos og er gitt av:

Det er ^ix = cos x + i sin x