Derivat av invers trigonometrisk funksjon refererer til endringshastigheten i inverse trigonometriske funksjoner. Vi vet at den deriverte av en funksjon er endringshastigheten i en funksjon i forhold til den uavhengige variabelen. Før man lærer dette, bør man kjenne formlene for differensiering av trigonometriske funksjoner. For å finne den deriverte av den inverse trigonometriske funksjonen, vil vi først likestille den trigonometriske funksjonen med en annen variabel for å finne dens inverse og deretter differensiere den ved å bruke den implisitte differensieringsformelen.

I denne artikkelen lærer vi D erivativ av inverse trig-funksjoner, formler for differensiering av inverse trig-funksjoner, og løse noen eksempler basert på det. Men før vi går videre, la oss friske opp konseptet med Jeg nvers trigonometriske funksjoner og implisitt differensiering.

• Inverse trigonometriske funksjoner
• Hva er implisitt differensiering?
• Hva er avledet av inverse trigonometriske funksjoner?
• Bevis på derivater av inverse trigfunksjoner
• Invers trig-derivatformel
• Eksempler på inverse trig-derivater

Inverse trigonometriske funksjoner

Inverse trigonometriske funksjoner er de inverse funksjonene til de trigonometriske forholdstallene, dvs. sin, cos, tan, cot, sec og cosec. Disse funksjonene er mye brukt i felt som fysikk, matematikk, ingeniørfag og andre forskningsfelt. Akkurat som addisjon og subtraksjon er inversene til hverandre, gjelder det samme for inversen til trigonometriske funksjoner.

uten θ = x

⇒ jeg = s i ⁻¹ x ?

Representasjon av inverse trigonometriske funksjoner

De er representert ved å legge til bue i prefiks eller ved å legge til -1 til kraften.

Invers sinus kan skrives på to måter:

• uten^-1x
• arcsin x

Det samme gjelder cos and tan.

Merk: Ikke forveksle synd^-1x med (sin x)^-1. De er forskjellige. Å skrive synd^-1x er en måte å skrive invers sinus mens (sin x)^-1betyr 1/sin x.

Domene med inverse trigonometriske funksjoner

Vi vet at en funksjon er differensierbar bare hvis den er kontinuerlig på det punktet, og hvis en funksjon er kontinuerlig på et gitt punkt, er det punktet funksjonens domene. Derfor bør vi lære domenet til de inverse trigonometriske funksjonene for det samme.

La oss nå kort lære teknikken for implisitt differensiering.

Hva er implisitt differensiering?

Implisitt differensiering er en metode som bruker kjederegelen for å differensiere implisitt definerte funksjoner. En implisitt funksjon er funksjonen som inneholder to variable i stedet for én variabel. I slike tilfeller kan vi noen ganger konvertere funksjonen til én variabel eksplisitt, men dette er ikke alltid tilfelle. Siden er det generelt ikke lett å finne funksjonen eksplisitt og deretter differensiere. I stedet kan vi totalt differensiere f(x, y), dvs. begge variablene og deretter løse resten av ligningen for å finne verdien av f'(x).

Les i detalj: Regning i matematikk

Hva er avledet av inverse trigonometriske funksjoner?

Inverse trigonometriske funksjoner er deriverte av inverse trigonometriske funksjoner. Det er seks trigonometriske funksjoner og det finnes invers for hver av disse trigonometriske funksjonene. Disse er synd^-1x, for^-1x, altså^-1x, cosec^-1x, sek^-1x, barneseng^-1x. Vi kan finne den deriverte av inverse trigonometriske funksjoner ved å bruke den implisitte differensieringsmetoden. La oss først lære hva som er derivatene av inverse trigonometriske funksjoner.

• Avledet av synd^-1x er d(sin^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) for alle x ϵ (-1, 1)
• Derivat av cos^-1x er d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) for alle x ϵ (-1, 1)
• Derivat av brunfarge^-1x er d(tan^-1x)/dx = 1/(1 + x²) for alle x ϵ R
• Derivat av cosec^-1x er d(cosec^-1x)/dx = -1/ for alle x ϵ R – [-1, 1]
• Avledet av sek^-1x er d(sek^-1x)/dx = 1/x for alle x ϵ R – [-1, 1]
• Avledning av sprinkelseng^-1x er d(barneseng^-1x)/dx = -1/(1 + x²) for alle x ϵ R

Bildet for den inverse trigonometriske derivatet er vedlagt nedenfor:

Nå har vi lært hva som er de deriverte av alle de seks inverse trigonometriske funksjonene, vi skal nå lære hvordan vi finner den deriverte av de seks inverse trigonometriske funksjonene.

Bevis på derivater av inverse trigfunksjoner

Vi kan differensiere de inverse trigonometriske funksjonene ved å bruke det første prinsippet og også ved å bruke implisitt differensieringsformel som også involverer bruk av kjederegel. Å finne den deriverte av inverse trigonometriske funksjoner ved å bruke det første prinsippet er en langvarig prosess. I denne artikkelen lærer vi hvordan du skiller inverse trigonometriske funksjoner ved å bruke implisitt differensiering. Vi kan finne den deriverte (dy/dx) av inverse trigfunksjoner ved å bruke følgende trinn

Trinn 1: Anta de trigonometriske funksjonene på formen sin y = x

Trinn 2: Finn den deriverte av funksjonen ovenfor ved å bruke implisitt differensiering

Trinn 3: Beregn dy/dx

Trinn 4: Erstatt verdien av trigonometrisk funksjon som er tilstede i trinn 3 ved å bruke trigonometriske identiteter.

Derivat av sin invers x

La oss anta sin y = x

Å skille begge sider med hensyn til x

⇒ cos og. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Siden vi vet at Synd²og + Cos²y = 1

⇒ Cos²y = 1 – synd²og

datamaskin oppfunnet år

⇒ koselig = √(1 – synd²y) = √(1 – x²) som vi har sin y = x

Sette denne verdien av cos y i ligning (i)

dy/dx = 1/√(1 – x²) hvor y = synd^-1x

Derivert av cos invers X

La oss anta cos y = x

Å skille begge sider med hensyn til x

⇒ -uten og. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Siden vi vet at Synd²og + Cos²y = 1

⇒ uten²y = 1 – cos²og

⇒ sin y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²) som vi har cos y = x

Sette denne verdien av sin y i ligning (i)

dy/dx = -1/√(1 – x²) hvor y = cos^-1x

Derivat av tan invers X

La oss anta tan y = x

Å skille begge sider med hensyn til x

⇒ sek²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sek²og →(i)

Siden vi vet at sek²og så²y = 1

⇒ sek²y = 1 + brun²og

⇒ sek²y = (1 + brun²y) = (1 + x²) som vi har tan y = x

Setter denne verdien på sek²y i ligning (i)

dy/dx = 1/(1 + x²) hvor y = tan^-1x

Avledning av barneseng invers X

La oss anta barneseng y = x

Å skille begge sider med hensyn til x

⇒ -kosec²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec²og →(i)

Siden vi vet at csec²og – barneseng²y = 1

⇒ cosec²y = 1 + barneseng²og

⇒ cosec²y = (1 + barneseng²y) = (1 + x²) som vi har barneseng y = x

Setter denne verdien av cosec²y i ligning (i)

dy/dx = -1/(1 + x²) hvor y = barneseng^-1x

Derivert av sek invers X

La oss anta sek y = x

Å skille begge sider med hensyn til x

⇒ sek y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sek y.tan y →(i)

Siden vi vet at sek²og så²y = 1

⇒ altså²y = sek²og – 1

⇒ tan y = √(sek²y – 1) = √(x²– 1) som vi har sek y = x

Sette denne verdien av tan y i ligning (i)

dy/dx = 1/x hvor sek y = x og y = sek^-1x

Derivert av cosec invers X

La oss anta cosec y = x

Å skille begge sider med hensyn til x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/kosec y.cot y →(i)

Siden vi vet at cosec²og – barneseng²y = 1

⇒ barneseng²y = cosec²og – 1

⇒ barneseng y = √(cosec²y – 1) = √(x²– 1) som vi har cosec y = x

Sette denne verdien av tan y i ligning (i)

dy/dx = -1/x hvor cosec y = x og y = cosec^-1x

Invers trig-derivatformel

Nå har vi lært hvordan vi skiller de inverse trigonometriske funksjonene, derfor skal vi se på formlene for den deriverte av de inverse trigonometriske funksjonene som kan brukes direkte i oppgavene. Gitt nedenfor er tabellen med derivater av invers trigonometrisk funksjonsformel.

Les mer,

• Derivat i parametrisk form
• Avledede formler
• Anvendelse av derivat
• Derivert av eksponentiell funksjon

Eksempler på inverse trig-derivater

Eksempel 1: Differensiere synd ^-1 (x)?

Løsning:

La, og = uten ⁻¹( x )

Å ta sinus på begge sider av ligningen gir,

sin y = synd(sin^-1x)

Ved egenskapen til invers trigonometri vet vi synd (synd^-1x) = x

sin y = x

Skiller nå begge sider vrt til x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

Vi kan forenkle det mer ved å bruke observasjonen nedenfor:

uten²og + cos²y = 1

x²+ cos²y = 1 {Som sin y = x}

cos²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

java-operatørprioritet

Å erstatte verdien, får vi

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

Eksempel 2: Differensiere cos ^-1 (x)?

Løsning:

La,

og = cos⁻¹( x )

Å ta cosinus på begge sider av ligningen gir,

cos y = cos(cos^-1x)

Ved egenskapen til invers trigonometri vet vi cos(cos^-1x) = x

cos (y) = x

Skiller nå begge sider vrt til x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

Vi kan forenkle det mer ved å bruke observasjonen nedenfor:

uten²og + cos²y = 1

uten²y + x²= 1 {Som cos y = x}

uten²y = 1-x²

sin y = √(1 – x²)

sammenlignbar liste

Å erstatte verdien, får vi

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

Eksempel 3: Differensiere brunfarge ^-1 (x)?

Løsning:

La, og = så⁻¹( x )

Å ta brunfarge på begge sider av ligningen gir,

tan y = tan(tan^-1x)

Ved egenskapen til invers trigonometri vet vi, tan(tan^-1x) = x

brun y = x

Skiller nå begge sider vrt til x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

sek²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/sek²x

Vi kan forenkle det mer ved å bruke observasjonen nedenfor:

sek²og så²y = 1

sek²y–x²= 1

sek²y = 1 + x²

Å erstatte verdien, får vi

dy/dx = 1/sek²og

dy/dx = 1/(1 + x²)

Eksempel 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). Finn dy/dx ved x = 1/2?

Løsning:

Metode 1 (bruker implisitt differensiering)

gitt, og = cos ⁻¹(−2 x ²)

⇒ cos og = −2 x ²

Skille begge sider mht x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Forenkling

uten²og + cos²y = 1

uten²og + (-2x²)²= 1 {Som cos y = -2x²}

uten²y + 4x⁴= 1

uten²y = 1 – 4x⁴

sin y = √(1 – 4x⁴)

Setter vi den oppnådde verdien vi får,

dy/dx = 4x/√{1 – 4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

Metode 2 (Bruker kjederegel slik vi kjenner differensieringen av cos invers x)

gitt, og = cos ⁻¹(−2 x ²)

Skille begge sider mht x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Eksempel 5: Differensiere egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Løsninger:

La,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Skille begge sider mht x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Inverse trig-deriverte spørsmål

Prøv følgende spørsmål om Inverse Trig Derivative Questions

Q1: Differensiere synd ^-1 (3x – 4x ³ ) for x ϵ -1/2