Egenverdier og egenvektorer er skalar- og vektormengdene assosiert med Matrise brukes til lineær transformasjon. Vektoren som ikke endres selv etter å ha brukt transformasjoner kalles egenvektor og skalarverdien knyttet til egenvektorer kalles Egenverdier . Egenvektorer er vektorene som er assosiert med et sett med lineære ligninger. For en matrise kalles egenvektorer også karakteristiske vektorer, og vi kan finne egenvektoren til kun kvadratiske matriser. Egenvektorer er veldig nyttige for å løse ulike problemer med matriser og differensialligninger.

I denne artikkelen vil vi lære om egenverdier, egenvektorer for matriser og andre med eksempler.

Innholdsfortegnelse

• Hva er egenverdier?
• Hva er egenvektorer?
• Egenvektorligning
• Hva er egenverdier og egenvektorer?
• Hvordan finne en egenvektor?
• Typer egenvektor
• Høyre egenvektor
• Venstre egenvektor
• Egenvektorer av en kvadratisk matrise
• Egenvektor av en 2 × 2 matrise
• Egenvektor av en 3 × 3 matrise
• Egenrom
• Anvendelser av egenverdier
• Diagonaliser matrise ved å bruke egenverdier og egenvektorer
• Løste eksempler på egenvektorer
• Vanlige spørsmål om egenvektorer

Hva er egenverdier?

Egenverdier er skalarverdiene knyttet til egenvektorene i lineær transformasjon. Ordet 'Eigen' er av tysk opprinnelse som betyr 'karakteristisk'. Derfor er dette den karakteristiske verdien som indikerer faktoren som egenvektorer strekkes i deres retning. Det involverer ikke endringen i retningen til vektoren bortsett fra når egenverdien er negativ. Når egenverdien er negativ, blir retningen bare snudd. Ligningen for egenverdi er gitt av

Av = λv

Hvor,

• A er matrisen,
• v er assosiert egenvektor, og
• λ er skalar egenverdi.

Hva er egenvektorer?

Egenvektorer for kvadratiske matriser er definert som vektorverdier som ikke er null, som når multiplisert med kvadratmatrisene gir skaleringsmultippel av vektoren, dvs. vi definerer en egenvektor for matrise A til å være v hvis den spesifiserer betingelsen, Av = λv

Skaleringsmultippelen λ i tilfellet ovenfor kalles egenverdien til kvadratmatrisen. Vi må alltid finne egenverdiene til kvadratmatrisen først før vi finner egenvektorene til matrisen.

For enhver kvadratisk matrise, A av orden n × n er egenvektoren kolonnematrisen av orden n × 1. Hvis vi finner egenvektoren til matrisen A ved, Av = λv, kalles v i denne den høyre egenvektoren til matrisen A og multipliseres alltid til høyre siden matrisemultiplikasjon ikke er kommutativ i naturen. Generelt, når vi finner egenvektoren er det alltid riktig egenvektor.

Vi kan også finne venstre egenvektor til kvadratmatrisen A ved å bruke relasjonen, vA = vl

Her er v venstre egenvektor og multipliseres alltid til venstre side. Hvis matrise A er av størrelsesorden n × n, er v en kolonnematrise av størrelsesorden 1 × n.

Egenvektorligning

Egenvektorligningen er ligningen som brukes til å finne egenvektoren til en hvilken som helst kvadratisk matrise. Egenvektorligningen er,

Av = λv

Hvor,

• EN er den gitte kvadratmatrisen,
• i er egenvektoren til matrise A, og
• l er en hvilken som helst skaleringsmultippel.

Hva er egenverdier og egenvektorer?

Hvis A er a kvadratisk matrise av størrelsesorden n × n så kan vi enkelt finne egenvektoren til kvadratmatrisen ved å følge metoden diskutert nedenfor,

Vi vet at egenvektoren er gitt ved å bruke ligningen Av = λv, for identitetsmatrisen av samme rekkefølge som rekkefølgen til A, dvs. n × n bruker vi følgende ligning,

(A-λI)v = 0

Ved å løse ligningen ovenfor får vi forskjellige verdier av λ som λ₁, l₂, ..., l_ndisse verdiene kalles egenverdiene og vi får individuelle egenvektorer knyttet til hver egenverdi.

Ved å forenkle ligningen ovenfor får vi v som er en kolonnematrise av orden n × 1 og v skrives som,

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Hvordan finne en egenvektor?

Egenvektoren til følgende kvadratmatrise kan enkelt beregnes ved å bruke trinnene nedenfor,

Trinn 1: Finn egenverdiene til matrisen A ved å bruke ligningen det |(A – λI| =0, hvor I er identitetsmatrisen av samme rekkefølge som matrise A

Steg 2: Verdien oppnådd i trinn 2 er navngitt som, λ₁, l₂, l₃….

Trinn 3: Finn egenvektoren (X) assosiert med egenverdien λ₁ved å bruke ligningen, (A – λ₁I) X = 0

Trinn 4: Gjenta trinn 3 for å finne egenvektoren assosiert med andre gjenværende egenverdier λ₂, l₃….

Ved å følge disse trinnene får du egenvektoren relatert til den gitte kvadratmatrisen.

Typer egenvektor

Egenvektorene beregnet for kvadratmatrisen er av to typer som er,

• Høyre egenvektor
• Venstre egenvektor

Høyre egenvektor

Egenvektoren som multipliseres med den gitte kvadratmatrisen fra høyre side kalles høyre egenvektor. Det beregnes ved å bruke følgende ligning,

AV _R = λV _R

Hvor,

• EN er gitt kvadratisk matrise av orden n×n,
• l er en av egenverdiene, og
• I _R er kolonnevektormatrisen

Verdien av V_Rer,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Venstre egenvektor

Egenvektoren som multipliseres med den gitte kvadratmatrisen fra venstre side kalles venstre egenvektor. Det beregnes ved å bruke følgende ligning,

I _L A = V _L l

Hvor,

• EN er gitt kvadratisk matrise av orden n×n,
• l er en av egenverdiene, og
• I _L er radvektormatrisen.

Verdien av V_Ler,

I _L = [v ₁ , i ₂ , i ₃ ,…, i _n ]

Egenvektorer av en kvadratisk matrise

Vi kan enkelt finne egenvektoren til kvadratiske matriser av orden n × n. La oss nå finne følgende kvadratiske matriser:

• Egenvektorer av en 2 × 2 matrise
• Egenvektorer av en 3 × 3 matrise.

Egenvektor av en 2 × 2 matrise

Egenvektoren til 2 × 2-matrisen kan beregnes ved å bruke trinnene ovenfor. Et eksempel på det samme er,

Eksempel: Finn egenverdiene og egenvektoren for matrisen A = egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

Løsning:

Hvis egenverdier er representert ved bruk av λ og egenvektoren er representert som v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Deretter beregnes egenvektoren ved å bruke ligningen,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

λ = 6 og λ = -1

Dermed er egenverdiene 6 og -1. Da er de respektive egenvektorene,

For λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

Forenkling av ligningen ovenfor får vi,

5a=2b

Den nødvendige egenvektoren er,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

For λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

forenkling av ligningen ovenfor får vi,

a = -b

Den nødvendige egenvektoren er,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Da er egenvektorene til den gitte 2 × 2 matrisenegin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Dette er to mulige egenvektorer, men mange av de tilsvarende multipla av disse egenvektorene kan også betraktes som andre mulige egenvektorer.

Egenvektor av en 3 × 3 matrise

Egenvektoren til 3 × 3-matrisen kan beregnes ved å bruke trinnene ovenfor. Et eksempel på det samme er,

Eksempel: Finn egenverdiene og egenvektoren for matrisen A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Løsning:

Hvis egenverdier er representert ved bruk av λ og egenvektoren er representert som v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Deretter beregnes egenvektoren ved å bruke ligningen,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Forenkling av determinanten ovenfor får vi

⇒ (2-l)(l²) + 2 min²+ 2 min²= 0

⇒ (-l³) + 6 min²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

For λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Forenkling av ligningen ovenfor får vi

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

La b = k₁og c = k₂

a + k₁+ k₂= 0

a = -(k₁+ k₂)

Dermed er egenvektoren,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

tar k₁= 1 og k₂= 0

egenvektoren er,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

tar k₁= 0 og k₂= 1

egenvektoren er,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

For λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Forenkling av ligningen ovenfor får vi,

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

La b = k₁og c = k₂, og tar k₁= k₂= 1,

vi får,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Dermed er egenvektoren,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Egenrom

Vi definerer egenrommet til en matrise som settet av alle egenvektorene til matrisen. Alle vektorene i egenrommet er lineært uavhengige av hverandre.

For å finne egenrommet til matrisen må vi følge følgende trinn

Trinn 1: Finn alle egenverdiene til den gitte kvadratmatrisen.

Steg 2: Finn den tilsvarende egenvektoren for hver egenverdi.

Trinn 3: Ta settet med alle egenvektorene (si A). Det resulterende settet som er dannet på denne måten, kalles egenrommet til følgende vektor.

Fra eksemplet ovenfor med gitt 3 × 3 matrise A, er egenrommet som dannes på denne måten{egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Anvendelser av egenverdier

Noen av de vanlige anvendelsene av egenverdier er:

Lineær algebra

Diagonalisering: Egenverdier brukes til å diagonalisere matriser, forenkle beregninger og løse lineære systemer mer effektivt.

Matriseeksponentiering: Egenverdier spiller en avgjørende rolle i å beregne eksponentieringen til en matrise.

Kvantemekanikk

Schrödinger-ligning: Egenverdiene til Hamilton-operatøren tilsvarer energinivåene til kvantesystemer, og gir informasjon om mulige tilstander.

Vibrasjoner og strukturell analyse:

Mekaniske vibrasjoner: Egenverdier representerer de naturlige frekvensene til vibrasjonssystemer. I strukturelle analyser hjelper de med å forstå stabiliteten og oppførselen til strukturer.

Statistikk

Kovariansmatrise: I multivariatstatistikk brukes egenverdier i analysen av kovariansmatriser, og gir informasjon om spredning og orientering av data.

Data-grafikk

Principal Component Analysis (PCA): Egenverdier brukes i PCA for å finne hovedkomponentene i et datasett, og reduserer dimensjonalitet samtidig som essensiell informasjon beholdes.

Kontrollsystemer

Systemstabilitet: Egenverdier til systemmatrisen er avgjørende for å bestemme stabiliteten til et kontrollsystem. Stabilitetsanalyse bidrar til å sikre at systemresponsen er begrenset.

Diagonaliser matrise ved å bruke egenverdier og egenvektorer

Egenverdier og egenvektorer brukes til å finne diagonale matriser. EN diagonal matrise er en matrise som kan skrives som,

A = XDX ^-1

Hvor,

• D er matrisen som dannes ved å erstatte 1-er i identitetsmatrisen med egenverdier, og
• X er matrisen dannet av egenvektorer.

Vi kan forstå konseptet med en diagonal matrise ved å ta følgende eksempel.

Eksempel: Diagonaliser matrisen A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Løsning:

Vi har allerede løst for egenverdiene og egenvektorene til A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Egenverdiene til A er λ = 0, λ = 0 og λ = -8

Egenvektorene til A eregin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

Dermed,

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Vi kan enkelt finne inversen til X som,

X^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Les mer,

• Elementær operasjon på matriser
• Identitetsmatrise
• Invers av en matrise

Løste eksempler på egenvektorer

Eksempel 1: Finn egenvektorene til matrisen A = egin{bmatrise}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrise}

Løsning:

Egenverdiene til matrisen er funnet ved å bruke,

|A – λI| = 0

skuespiller zeenat aman

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1 – l)³= 0

Dermed er egenverdiene,

λ = 1, 1, 1

Siden alle egenverdiene er like har vi tre identiske egenvektorer. Vi finner egenvektorene for λ = 1, ved å bruke (A – λI)v = O

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

løse ligningen ovenfor får vi,

• a = K
• y = 0
• z = 0

Da er egenvektoren,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Eksempel 2: Finn egenvektorene til matrisen A = egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Løsning:

Egenverdiene til matrisen er funnet ved å bruke,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)²= 0

Dermed er egenverdiene,

λ = 5,5

Siden alle egenverdiene er like har vi tre identiske egenvektorer. Vi finner egenvektorene for λ = 1 ved å bruke

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Bare det ovenstående får vi,

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

Da er egenvektoren,

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

Vanlige spørsmål om egenvektorer

Hva er egenvektorer?

Vi definerer egenvektoren til en hvilken som helst matrise som vektoren som ved multiplikasjon med matrisen resulterer i skaleringsmultippelet til matrisen.

Hvordan finne egenvektorer?

Egenvektor for enhver matrise A er betegnet med i . Egenvektor til matrisen beregnes ved først å finne egenverdien til matrisen.

• Egenverdien til matrisen er funnet ved å bruke formelen |A-λI| = 0 hvor λ gir egenverdiene.
• Etter å ha funnet egenverdien fant vi egenvektoren med formelen Av = λv, hvor v gir egenvektoren.

Hva er forskjellen mellom egenverdi og egenvektor?

For enhver kvadratisk matrise A er egenverdiene representert av λ og den beregnes med formelen |A – λI| = 0. Etter å ha funnet egenverdien finner vi egenvektoren ved, Av = λv.

Hva er den diagonaliserbare matrisen?

Enhver matrise som kan uttrykkes som produktet av de tre matrisene som XDX^-1er en diagonaliserbar matrise her kalles D diagonalmatrisen.

Er egenverdier og egenvektorer like?

Nei, egenverdier og egenvektorer er ikke like. Egenverdier er skalereren som brukes til å finne egenvektorer, mens egenvektorer er vektorene som brukes til å finne matrisevektortransformasjoner.

Kan egenvektor være en nullvektor?

Vi kan ha egenverdier til null, men egenvektoren kan aldri være en nullvektor.

Hva er egenvektorformel?

Egenvektoren til enhver matrise beregnes ved å bruke formelen,

Av = λv

hvor,
l er egenverdien
i er egenvektoren