Anta at det er to formler, X og Y. Disse formlene vil bli kjent som ekvivalens hvis X ↔ Y er en tautologi. Hvis to formler X ↔ Y er en tautologi, kan vi også skrive den som X ⇔ Y, og vi kan lese denne relasjonen som X er ekvivalens til Y.

Merk: Det er noen punkter som vi bør huske på mens lineær ekvivalens av formel, som er beskrevet som følger:

• ⇔ brukes kun til å indikere symbol, men det er ikke bindende.
• Sannhetsverdien til X og Y vil alltid være lik hvis X ↔ Y er en tautologi.
• Ekvivalensrelasjonen inneholder to egenskaper, dvs. symmetrisk og transitiv.

Metode 1: Sannhetstabellmetode:

I denne metoden vil vi konstruere sannhetstabellene for en hvilken som helst to-setningsformel og deretter sjekke om disse utsagnene er likeverdige.

Eksempel 1: I dette eksemplet må vi bevise X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Løsning: Sannhetstabellen for X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) er beskrevet som følger:

Som vi kan se at X ∨ Y og ¬(¬X ∧ ¬Y) er en tautologi. Derav X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Eksempel 2: I dette eksemplet må vi bevise (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).

Løsning: Sannhetstabellen til (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) er beskrevet som følger:

Som vi kan se at X → Y og (¬X ∨ Y) er en tautologi. Derfor (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Ekvivalensformel:

Det er forskjellige lover som brukes for å bevise ekvivalensformelen, som er beskrevet som følger:

Idempotent lov: Hvis det er én setningsformel, vil den inneholde følgende egenskaper:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Assosiativ lov: Hvis det er tre setningsformler, vil den inneholde følgende egenskaper:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Kommutativ lov: Hvis det er to setningsformler, vil det inneholde følgende egenskaper:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Fordelingslov: Hvis det er tre setningsformler, vil den inneholde følgende egenskaper:

ordbok initialisering c#

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Identitetslov: Hvis det er én setningsformel, vil den inneholde følgende egenskaper:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Utfyllende lov: Hvis det er én setningsformel, vil den inneholde følgende egenskaper:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Absorpsjonslov: Hvis det er to setningsformler, vil det inneholde følgende egenskaper:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

Fra Morgans lov: Hvis det er to setningsformler, vil det inneholde følgende egenskaper:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

Metode 2: Erstatningsprosess

I denne metoden vil vi anta en formel A : X → (Y → Z). Formelen Y → Z kan være kjent som delen av formelen. Hvis vi erstatter denne delen av formelen, dvs. Y → Z, ved hjelp av ekvivalensformel ¬Y ∨ Z i A, vil vi få en annen formel, dvs. B : X → (¬Y ∨ Z). Det er en enkel prosess å verifisere om de gitte formlene A og B er likeverdige med hverandre eller ikke. Ved hjelp av erstatningsprosess kan vi få B fra A.

Eksempel 1: I dette eksemplet må vi bevise at {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

Løsning: Her tar vi venstre sidedel og prøver å få tak i høyre sidedel.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Nå vil vi bruke assosiasjonsloven slik:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Nå skal vi bruke De Morgans lov slik:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Derfor bevist

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

Eksempel 2: I dette eksemplet må vi bevise at {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

Løsning: Her tar vi venstre sidedel og prøver å få tak i høyre sidedel.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Derfor bevist

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

Eksempel 3: I dette eksemplet må vi bevise at X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

Løsning: Her tar vi venstre sidedel og prøver å få tak i høyre sidedel.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Derfor bevist

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

Eksempel 4: I dette eksemplet må vi bevise at (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

Løsning: Her tar vi venstre sidedel og prøver å få tak i høyre sidedel.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Nå vil vi bruke de assosiative og distributive lovene slik:

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Nå skal vi bruke De Morgans lov slik:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Nå vil vi bruke distribusjonsloven slik:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Derfor bevist

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

Eksempel 5: I dette eksemplet må vi vise at ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) er en tautologi.

Løsning: Her skal vi ta små deler og løse dem.

Først vil vi bruke De Morgans lov og få følgende:

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

Derfor,

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

Også

lateks bord

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Derfor

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Dermed

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

Derfor kan vi si at den gitte formelen er en tautologi.

Eksempel 6: I dette eksemplet må vi vise at (X ∧ Y) → (X ∨ Y) er en tautologi.

Løsning: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Nå skal vi bruke De Morgans lov slik:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Nå vil vi bruke assosiativ lov og kommutativ lov slik:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Nå vil vi bruke negasjonsloven slik:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

Derfor kan vi si at den gitte formelen er en tautologi.

Eksempel 7: I dette eksemplet må vi skrive negasjonen av noen utsagn, som er beskrevet som følger:

1. Marry vil fullføre utdannelsen eller godta tiltredelsesbrevet til XYZ Company.
2. Harry skal ut på tur eller løpe i morgen.
3. Hvis jeg får gode karakterer, blir fetteren min sjalu.

Løsning: Først vil vi løse den første setningen slik:

1. Anta at X: Gift vil fullføre utdannelsen.

Y: Godta tilknytningsbrevet til XYZ Company.

Vi kan bruke følgende symbolske form for å uttrykke denne uttalelsen:

 X ∨ Y 

Negasjonen av X ∨ Y er beskrevet som følger:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Avslutningsvis vil negasjonen av gitt uttalelse være:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Anta at X: Harry vil dra på tur

Y: Harry løper i morgen

Vi kan bruke følgende symbolske form for å uttrykke denne uttalelsen:

 X ∨ Y 

Negasjonen av X ∨ Y er beskrevet som følger:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Avslutningsvis vil negasjonen av gitt uttalelse være:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Anta X: Hvis jeg får gode karakterer.

Y: Fetteren min vil være sjalu.

Vi kan bruke følgende symbolske form for å uttrykke denne uttalelsen:

 X → Y 

Negasjonen av X → Y er beskrevet som følger:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

Avslutningsvis vil negasjonen av gitt uttalelse være:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

Eksempel 8: I dette eksemplet må vi skrive negasjonen av noen utsagn ved hjelp av De Morgans lov. Disse uttalelsene er beskrevet som følger:

1. Jeg trenger et diamantsett og verdt en gullring.
2. Du får en god jobb ellers får du ikke en god partner.
3. Jeg tar mye arbeid og takler det ikke.
4. Hunden min drar på tur eller den lager rot i huset.

Løsning: Negasjonen av alle utsagnene ved hjelp av De Morgans lov er beskrevet en etter en slik:

1. Jeg trenger ikke et diamantsett eller ikke verdt en gullring.
2. Du kan ikke få en god jobb, og du vil få en god partner.
3. Jeg tar ikke mye arbeid eller jeg kan håndtere det.
4. Hunden min drar ikke på tur og den lager ikke rot i huset.

Eksempel 9: I dette eksemplet har vi noen utsagn, og vi må skrive negasjonen av disse utsagnene. Uttalelsene er beskrevet som følger:

1. Hvis det regner, blir planen om å gå til stranden kansellert.
2. Hvis jeg studerer hardt, vil jeg få gode karakterer på eksamen.
3. Hvis jeg går på en kveldsfest, vil jeg få straff av faren min.
4. Hvis du ikke vil snakke med meg, så må du blokkere nummeret mitt.

Løsning: Negasjonen av alle utsagnene er beskrevet en etter en slik:

1. Hvis planen om å gå til stranden blir kansellert, så regner det.
2. Får jeg gode karakterer på eksamen, så studerer jeg hardt.
3. Hvis jeg får straff av faren min, så drar jeg på en kveldsfest.
4. Hvis du må blokkere nummeret mitt, så vil du ikke snakke med meg.

Eksempel 10: I dette eksemplet må vi sjekke om (X → Y) → Z og X → (Y → Z) er logisk likeverdige eller ikke. Vi må begrunne svaret vårt ved hjelp av sannhetstabeller og ved hjelp av logikkregler for å forenkle begge uttrykkene.

Løsning: Først vil vi bruke metode 1 for å sjekke om (X → Y) → Z og X → (Y → Z) er logisk likeverdige, som er beskrevet som følger:

mylivecricket alternativ

Metode 1: Her vil vi anta følgende:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

Og

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

Metode 2: Nå skal vi bruke den andre metoden. I denne metoden vil vi bruke sannhetstabellen.

I denne sannhetstabellen kan vi se at kolonnene til (X → Y) → Z og X → (Y → Z) ikke inneholder identiske verdier.