Det er et nyttig verktøy, som fullstendig beskriver den tilhørende delrekkefølgen. Derfor kalles det også et bestillingsdiagram. Det er veldig enkelt å konvertere en rettet graf av en relasjon på et sett A til et ekvivalent Hasse-diagram. Derfor må følgende punkter huskes når du tegner et Hasse-diagram.
- Toppunktene i Hasse-diagrammet er angitt med punkter i stedet for med sirkler.
- Siden en delrekkefølge er refleksiv, må derfor hvert toppunkt av A være relatert til seg selv, så kantene fra et toppunkt til seg selv blir slettet i Hasse-diagrammet.
- Siden en delvis rekkefølge er transitiv, har vi derfor aRc når aRb, bRc. Eliminer alle kanter som er antydet av den transitive egenskapen i Hasse-diagrammet, dvs. Slett kant fra a til c, men behold de to andre kantene.
- Hvis et toppunkt 'a' er forbundet med toppunkt 'b' med en kant, dvs. aRb, så vises toppunktet 'b' over toppunkt 'a'. Derfor kan pilen utelates fra kantene i Hasse-diagrammet.
Hasse-diagrammet er mye enklere enn den rettede grafen for delrekkefølgen.
Eksempel: Tenk på settet A = {4, 5, 6, 7}. La R være relasjonen ≦ på A. Tegn den rettede grafen og Hasse-diagrammet til R.
Løsning: Relasjonen ≦ på mengden A er gitt ved
R = {{4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {4, 4}, {5, 5} , {6, 6}, {7, 7}}
Den rettede grafen for relasjonen R er som vist i fig.
For å tegne Hasse-diagrammet i delvis rekkefølge, bruk følgende punkter:
- Slett alle kanter implisert av refleksiv egenskap, dvs.
(4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7) - Slett alle kanter implisert av transitiv egenskap, dvs.
(4, 7), (5, 7), (4, 6) - Bytt ut sirklene som representerer toppunktene med prikker.
- Utelat pilene.
Hasse-diagrammet er som vist i fig.
Øvre grense: Betrakt B som en delmengde av et delvis ordnet sett A. Et element x ∈ A kalles en øvre grense for B hvis y ≦ x for hver y ∈ B.
Nedre grense: Betrakt B som en delmengde av et delvis ordnet sett A. Et element z ∈ A kalles en nedre grense av B hvis z ≦ x for hver x ∈ B.
Eksempel: Tenk på at stillingen A = {a, b, c, d, e, f, g} er ordnet vist i fig. La også B = {c, d, e}. Bestem øvre og nedre grense for B.
Løsning: Den øvre grensen til B er e, f og g fordi hvert element i B er '≦' e, f og g.
De nedre grensene til B er a og b fordi a og b er '≦' alle elementene i B.
Minste øvre grense (SUPREMUM):
La A være en delmengde av en delvis ordnet mengde S. Et element M i S kalles en øvre grense for A hvis M følger etter hvert element i A, dvs. hvis vi for hver x i A har x<=m< p>
Hvis en øvre grense av A går foran annenhver øvre grense av A, kalles den supremum av A og betegnes med Sup (A)
Største nedre grense (INFIMUM):
Et element m i en posett S kalles en nedre grense for en delmengde A av S hvis m går foran hvert element i A, dvs. hvis vi for hver y i A har m<=y < p>
Hvis en nedre grense av A etterfølger annenhver nedre grense av A, kalles den infimum av A og betegnes med Inf (A)
Eksempel: Bestem den minste øvre grensen og største nedre grensen for B = {a, b, c} hvis de eksisterer, for stillingen hvis Hasse-diagram er vist i fig.
Løsning: Den minste øvre grensen er c.
Den største nedre grensen er k.