I geometri kan komplementære vinkler defineres som de vinklene hvis sum er 90 grader. For eksempel er 39° og 51° komplementære vinkler, ettersom summen av 39° og 51° er 90°. Hvis summen av to vinkler er en rett vinkel, kan vi si at de er komplementære vinkler. Men hva er en vinkel? I geometri blir en vinkel referert til som rommet som dannes mellom to stråler når de er forbundet med et felles punkt kalt et toppunkt. Hvis θ er en vinkel, så er (90° – θ) den komplementære vinkelen til θ.
For at to vinkler skal være komplementære, må summen deres være 90 grader, det vil si at de to vinklene må være spisse. Hvis θ er en vinkel, så er (90° – θ) den komplementære vinkelen til θ.
Typer komplementære vinkler
To vinkler sies å være komplementære hvis summen deres er 90°. I geometri er det to typer komplementære vinkler, dvs. tilstøtende komplementære vinkler og ikke-tilstøtende komplementære vinkler.
Tilstøtende komplementære vinkler: To komplementære vinkler som har en felles toppunkt og en felles arm kalles tilstøtende komplementære vinkler.
Fra den gitte figuren kan vi si at ∠QEF og ∠DEQ er tilstøtende vinkler, da begge vinklene deler den felles toppunktet E og den felles arm-EQ. Siden ∠QEF + ∠DEQ = 17° + 73° = 90°, er ∠QEF og ∠DEQ også komplementære vinkler. Derfor er de to gitte vinklene tilstøtende komplementære vinkler.
Ikke-tilstøtende komplementære vinkler: To vinkler sies å være ikke-tilstøtende vinkler hvis de ikke deler en felles toppunkt og en felles arm. Ikke-tilstøtende komplementære vinkler er komplementære vinkler som ikke er tilstøtende til hverandre.
Fra den gitte figuren kan vi si at ∠XYZ og ∠ABC er ikke-tilstøtende vinkler, da begge vinklene ikke deler et felles toppunkt og en felles arm. ∠XYZ og ∠ABC er også komplementære vinkler siden summen deres er 90°, dvs. ∠XYZ + ∠ABC = 57° + 33° = 90°. Derfor er de gitte to ikke-tilstøtende komplementære vinklene.
Komplementære vinkler teorem
Komplementærvinkelteoremet sier det Hvis to vinkler er et komplement til en tredje vinkel, så er de to første vinklene kongruente med hverandre.
Bevis:
La oss anta at ∠COB er komplementær til ∠BOA og ∠DOC.
Fra definisjonen av de komplementære vinklene vi får,
∠COB + ∠BOA = 90° ————— (1)
∠COB + ∠DOC = 90° ————— (2)
java char til intFra ligningene (1) og (2) kan vi si at,
∠COB + ∠BOA = ∠COB + ∠DOC
⇒ ∠COB + ∠BOA – ∠COB – ∠DOC = 0
⇒ ∠BOA – ∠DOC = 0
⇒ ∠BOA = ∠DOC
Derfor er teoremet bevist.
Egenskaper til komplementære vinkler
La oss diskutere noen egenskaper ved komplementære vinkler.
- Et par vinkler sies å være komplementære hvis de summeres til 90°.
- De to komplementære vinklene kan enten være tilstøtende eller ikke-tilstøtende.
- En vinkel sies å være komplementet til en annen vinkel hvis summen av begge vinklene er 90°.
- Selv om summen av tre eller flere vinkler er 90°, kan de ikke være komplementære.
- De to komplementære vinklene er spisse.
Finne komplementet til en vinkel
For å finne komplementet til en vinkel, må vi trekke den gitte vinkelen fra 90°, da vi vet at summen av to komplementære vinkler er 90°. Hvis θ er den gitte vinkelen, så er (90° – θ) komplementet til θ.
Regn for eksempel ut komplementet til 17°.
Vi vet at summen av to komplementære vinkler er 90°.
Som et resultat er komplementet på 17° (90° – 17°) = 73°.
Derfor er komplementet til 17° 73°.
Forskjellen mellom komplementære og supplerende vinkler
| Komplementære vinkler | Supplerende vinkler |
|---|---|
| Hvis summen av et par vinkler er 90°, sies de å være komplementære. | Hvis summen av et par vinkler er 180°, sies de å være supplerende. |
| (90° – θ) er komplementet til en vinkel θ. | (180° – θ) er supplement til en vinkel θ. |
| Hvis et par komplementære er koblet sammen, danner de en rett vinkel. | Hvis et par supplerende er koblet sammen, danner de en rett linje. |
| For at to vinkler skal være komplementære, må summen deres være 90 grader, det vil si at de to vinklene må være spisse. | I to tilleggsvinkler er den ene vinkelen spiss og den andre stump, eller begge kan være rette vinkler. |
Løste problemer
Oppgave 1: Regn ut verdiene til de to komplementære vinklene, A og B, hvis A = (2x – 18)° og B = (5x – 52)°.
Løsning:
Gitt data,
∠A = (2x – 18)° og ∠B = (5x – 52)°
Vi vet det,
Summen av to komplementære vinkler = 90°
∠A + ∠B = 90°
⇒ (2x – 18)° + (5x – 52)° = 90°
⇒ 7x – 70° = 90°
⇒ 7x = 90° + 70° = 160°
⇒ x = 160°/7 = 22,85°
Nå,
∠A = (2 × (22.857) – 18) = 27.714°
∠B = (5 × (22.857) – 52) = 62.286°
Derfor er ∠A = 27,714° og ∠B = 62,286°.
Oppgave 2: Bestem verdien av x hvis (5x/3) og (x/6) er komplementære vinkler.
Løsning:
Gitt data,
(5x/3) og (x/6) er komplementære vinkler.
Vi vet det,
Summen av to komplementære vinkler = 90°
⇒ (5x/3) + (x/6) = 90°
⇒ (10x + x)/6 = 90°
⇒ 11x = 90° × 6 = 540°
⇒ x = 540°/11 = 49,09°
Derfor er verdien av x = 49,09°.
Oppgave 3: Finn verdien av x i figuren vist nedenfor.
Løsning:
Fra den gitte figuren kan vi observere at x og 54° er komplementære vinkler, dvs. summen av x og 54° er 90°.
⇒ x + 54° = 90°
⇒ x = 90° – 54° = 36°
Derfor er verdien av x 36°.
Oppgave 4: Finn verdien av y og mål på vinkler i den gitte figuren.
Løsning:
Fra den gitte figuren kan vi observere at (2y – 15)° og (3y – 25)° er komplementære vinkler, dvs. summen av (2y – 15)° og (3y – 25)° er 90°.
⇒ (2y – 15)° + (3y – 25)° = 90°
⇒ (5y – 40)° = 90°
⇒ 5y = 90° + 40° = 130°
⇒ y = 130°/5 = 26°
Nå, (2y – 15)° = ( 2 × 26 – 15) = 37°
(3y – 25)° = (3 × 26 – 15) = 53°
Derfor er verdien av y 26° og de komplementære vinklene er 37° og 53°.
Oppgave 5: Bestem verdien av x og målet på komplementære vinkler i figuren vist nedenfor.
Løsning:
Gitt at (x – 3)° og (2x – 7)° er komplementære vinkler, dvs. summen av (x – 3)° og (2x – 7)° er 90°.
⇒ (x – 3)° + (2x – 7)° = 90°
⇒ (3x – 10)° = 90°
⇒ 3x = 90° + 10° = 100°
⇒ x = 100°/3 = 33,34°
Nå, (x – 3)° = (33.333- 3)° = 30.333° = 30.33°
(2x – 7)° = (2 x (33.333) – 7)° = 59.666° = 59.67°
Derfor er verdien av x 33,333° og de tre komplementære vinklene er 30,33° og 59,67°.