logo

TechCodeview

Integrasjonsformler

Integrasjonsformler er de grunnleggende formlene som brukes til å løse ulike integralproblemer. De brukes til å finne integrasjonen av algebraiske uttrykk, trigonometriske forhold, inverse trigonometriske funksjoner og logaritmiske og eksponentielle funksjoner. Disse integrasjonsformlene er svært nyttige for å finne integrasjonen av ulike funksjoner.

Integrasjon er den inverse prosessen med differensiering, dvs. hvis d/dx (y) = z, så er ∫zdx = y. Integrasjon av en hvilken som helst kurve gir arealet under kurven. Vi finner integrasjonen ved to metoder Indefinite Integration og Definite Integration. I ubestemt integrasjon er det ingen grense for integrasjonen, mens det i bestemt integrasjon er en grense for hvilken funksjonen er integrert.



La oss lære om disse integrerte formler, og deres klassifisering, i detalj i denne artikkelen.

Innholdsfortegnelse

Integralregning

Integralregning er en gren av kalkulus som omhandler teori og anvendelser av integraler. Prosessen med å finne integraler kalles integrasjon. Integralregning hjelper til med å finne anti-derivatene til en funksjon. Anti-derivatene kalles også integralene til en funksjon. Det er betegnet med ∫f(x)dx. Integralregning omhandler totalverdien, for eksempel lengder, arealer og volumer. Integralet kan brukes til å finne omtrentlige løsninger på visse ligninger av gitte data. Integralregning involverer to typer integrasjon:



  • Ubestemt Integraler
  • Bestemte integraler

Hva er integrasjonsformler?

Integrasjonsformlene har blitt presentert bredt som følgende sett med formler. Formlene inkluderer grunnleggende integrasjonsformler, integrasjon av trigonometriske forhold, inverse trigonometriske funksjoner, produktet av funksjoner og noen avanserte sett med integrasjonsformler. Integrasjon er en måte å forene delene for å finne en helhet. Det er den omvendte operasjonen av differensiering. Dermed er den grunnleggende integrasjonsformelen

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Integrasjonsformler



Ved å bruke dette utledes følgende integrasjonsformler.

De ulike integralregningsformlene er

  1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
  2. ∫ xndx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = logDet er|x| + C
  4. ∫exdx = ex+ C
  5. ∫axdx = (ax/ LoggDet era) + C

Mer, integrerte formler er diskutert nedenfor i artikkelen,

Merk:

  • d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
  • ∫k. f(x) dx = k ∫f(x) dx , hvor k er konstant
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Grunnleggende integrasjonsformler

Noen av de grunnleggende formlene for integrering som brukes til å løse integrasjonsproblemer er diskutert nedenfor. De er avledet av det grunnleggende integrasjonsteoremet. Listen over grunnleggende integralformler er gitt nedenfor:

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ ogxdx = ex+ C
  • ∫ axdx = ax/log a+ C
  • ∫ ogx[f(x) + f'(x)] dx = exf(x) + C {hvor, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Klassifisering av integrerte formler

Integrerte formler er klassifisert i ulike kategorier basert på følgende funksjon.

  • Rasjonelle funksjoner
  • Irrasjonelle funksjoner
  • Hyperbolske funksjoner
  • Inverse hyperbolske funksjoner
  • Trigonometriske funksjoner
  • Inverse trigonometriske funksjoner
  • Eksponentielle funksjoner
  • Logaritmiske funksjoner

Integrasjonsformler for trigonometriske funksjoner

Integrasjonsformler for trigonometriske funksjoner brukes til å løse integralligningene som involverer trigonometriske funksjoner. En liste over integralformler som involverer trigonometriske og inverse trigonometriske funksjoner er gitt nedenfor,

  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sin x dx = -cos x + C
  • ∫ sek2x dx = tan x + C
  • ∫ cosec2x dx = -seng x + C
  • ∫ sek x tan x dx = sek x + C
  • ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
  • ∫ tan x dx = log |sek x| +C
  • ∫ barneseng x dx = logg |sin x| + C
  • ∫ sek x dx = log |sek x + tan x| + C
  • ∫ cosec x dx = log |cosec x – barneseng x| + C

Integrasjonsformler for inverse trigonometriske funksjoner

Ulike integrasjonsformler for inverse trigonometriske funksjoner som brukes til å løse integralspørsmål er gitt nedenfor,

  • ∫1/√(1 – x2) dx = synd-1x + C
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = cos-1x + C
  • ∫1/(1 + x2) dx = brun-1x + C
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = barneseng-1x + C
  • ∫ 1/x√(x2– 1) dx = sek-1x + C
  • ∫ -1/x√(x2– 1) dx = cosec-1x + C

Avanserte integrasjonsformler

Noen andre avanserte integrasjonsformler som er av stor betydning for å løse integraler er diskutert nedenfor,

  • ∫1/(x2– a2) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(a2– x2) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
  • ∫1/(x2+ a2) dx = 1/a brunfarge-1x/a + C
  • ∫1/√(x2– a2)dx = log |x +√(x2– a2)| + C
  • ∫ √(x2– a2) dx = x/2 √(x2– a2) -a2/2 log |x + √(x2– a2)| + C
  • ∫1/√(a2– x2) dx = synd-1x/a + C
  • ∫√(a2– x2) dx = x/2 √(a2– x2) dx + a2/2 uten-1x/a + C
  • ∫1/√(x2+ a2) dx = log |x + √(x2+ a2)| + C
  • ∫ √(x2+ a2) dx = x/2 √(x2+ a2)+ a2/2 log |x + √(x2+ a2)| + C

Ulike integrasjonsformler

Ulike typer integreringsmetoder brukes for å løse ulike typer integrerte spørsmål. Hver metode er et standardresultat og kan betraktes som en formel. Noen av de viktige metodene diskuteres nedenfor i denne artikkelen. La oss sjekke de tre viktige integreringsmetodene.

  • Integrasjon etter Parts Formula
  • Integrasjon ved substitusjonsformel
  • Integrasjon med formel for delbrøker

Integrasjon etter Parts Formula

Integrasjon etter deler Formel brukes når den gitte funksjonen lett kan beskrives som et produkt av to funksjoner. Formelen for integrering av deler brukt i matematikk er gitt nedenfor,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Eksempel: Regn ut ∫ xe x dx

Løsning:

∫ bilxdx har formen ∫ f(x) g(x) dx

la f(x) = x og g(x) = ex

vi vet at, ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ bilxdx = x ∫exdx – ∫( 1 ∫exdx) dx+ c

= bilx- Det erx+ c

Integrasjon ved substitusjonsformel

Integrasjon ved substitusjonsformel brukes når en funksjon er en funksjon av en annen funksjon. dvs. la I = ∫ f(x) dx, hvor x = g(t) slik at dx/dt = g'(t), så dx = g'(t)dt

Nå, I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Eksempel: Evaluer ∫ (4x +3) 3 dx

Løsning:

La u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)3dx

til strengmetoden java

= 1/4 ∫(u)3av

= 1/4. i4/5

= u4/tjue

= 4x+3)4/tjue

Integrasjon med formel for delbrøker

Integrasjon med partielle brøker Formel brukes når integralet av P(x)/Q(x) er nødvendig og P(x)/Q(x) er en uekte brøk, slik at graden av P(x) er mindre enn (<) grad av Q(x), så skrives brøken P(x)/Q(x) som

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (x)/ Q(x)

hvor

  • R(x) er et polynom i x
  • P 1 (x)/ Q(x) er en riktig rasjonell funksjon

Nå er integreringen av R(x) + P1(x)/ Q(x) beregnes enkelt ved å bruke formlene diskutert ovenfor.

Anvendelse av integraler

Integrerte formler er svært nyttige formler i matematikk som brukes til en rekke oppgaver. Diverse anvendelser av integraler inkluderer:

  • Finne lengden på kurven
  • Finne området under kurven
  • Finne omtrentlige verdier for funksjonen
  • Bestemme banen til et objekt og andre
  • For å finne området under kurven
  • For å finne overflatearealet og volumet til uregelmessige former
  • For å finne massesenteret eller tyngdepunktet

Disse formlene er i hovedsak kategorisert i to kategorier,

  • Bestemte integrasjonsformler
  • Ubestemte integreringsformler

Klar integreringsformel

Bestemte integralformler brukes når grensen for integrasjonen er gitt. Ved bestemt integrasjon er løsningen på spørsmålet en konstant verdi. Generelt løses den definitive integrasjonen som,

∫ en b f(x) dx = F(b) – F(a)

Ubestemt integrasjonsformel

Ubestemt integrasjon Formler brukes til å løse den ubestemte integrasjonen når grensen for integrasjon ikke er gitt. Ved ubestemt integrasjon bruker vi konstanten til integrasjonen som vanligvis betegnes med C

∫f(x) = F(x) + C

  • Ubestemte integraler
  • Definer integrerte egenskaper
  • Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Eksempler på integrerte formler

Eksempel 1: Vurder

  • ∫ x 6 dx
  • ∫1/x 4 dx
  • ∫ 3 √x dx
  • ∫3 x dx
  • ∫4e x dx
  • ∫(sin x/cos 2 x) dx
  • ∫(1/synd 2 x) dx
  • ∫[1/√(4 – x 2 )] dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)] dx
  • ∫(1 /cos x tan x) dx

Løsning:

(i)∫x 6 dx

= (x6+1)/(6 + 1) + C [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (x7/7) + C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (x-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x-3/ 3) + C

= -(1/3x3) + C

(iii) ∫ 3 √x dx

= ∫x1/3dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ Cn ≠ -1]

= (x(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

= x4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x4/3) + C

(iv) ∫3 x dx

= (3x/ LoggDet er3) + C [ ∫a x dx = (a x / Logg Det er a) + C]

(v) ∫4e x dx

= 4∫exdx [∫k. f(x) dx = k f(x) dx , hvor k er konstant]

= 4 ogx+ C [∫e x dx = e x + C]

(vi) ∫(sin x/cos 2 x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x . sek x dx [ ∫tan x .sek x dx = sek x + C ]

= sek x + C

(vii) ∫(1/sin 2 x) dx

= ∫kossek2x dx [∫kossek 2 x dx = -seng x + C ]

= -seng x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x 2 )] dx

= ∫[1/√(22– x2)] dx [vi vet at dx = synd -1 (x/a) + C]

= uten-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x 2 – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x2- 32)}] dx [vi vet at,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)sek-1(x/a) + C]

= (1/3)sek-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ sin x) dx

= ∫cosec x dx [vi vet at ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C]

= logg |cosec x – barneseng x| + C

Eksempel 2: Vurder ∫{e 9logg Det er x + og 8logg Det er x }/{Det er 6logg Det er x + og 5 logg Det er x } dx

Løsning:

Siden, Det er rister Det er x = x en

∫{e 9logg Det er x + og 8logg Det er x }/{Det er 6logg Det er x + og 5 logg Det er x } dx

= ∫{x9+ x8}/{x6+ x5} dx

= ∫[x8(x + 1)]/[x5(x + 1)] dx

=∫ x8/x5dx

= ∫x3dx [vi vet det, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (x4/4) + C

Eksempel 3: Vurder ∫ sin x + cos x dx

Løsning:

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [vi vet at, ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sin x + C [vi vet at ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Eksempel 4: Vurder ∫4 x+2 dx

Løsning:

∫4 x+2 dx = ∫4x. 42dx

= ∫16. 4xdx [ vi visste at ∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , der k er konstant]

= 16∫ 4xdx [∫a x dx = (a x / Logg Det er a) + C]

= 16 (4x/log 4) + C

Eksempel 5: Vurder ∫(x 2 + 3x + 1) dx

Løsning:

∫(x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫x dx + 1∫ x0dx [Vi vet det, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ Cn ≠ -1]

= [x2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [x0+1/0+1] + C

= [x3/3] + 3[x2/2] + x + C

Eksempel 6: Vurder ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Løsning:

1 + cos 2x = 2cos 2 x

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos2x)] dx

= ∫(2/cos2x) dx

= ∫2 sek2xdx

= 2∫sek2x dx [Vi vet at, ∫sek 2 x dx = tan x + C ]

= 2 tan x + C

Eksempel 7: Vurder ∫(3cos x – 4sin x + 5 sek 2 x) dx

Løsning:

∫(3cos x – 4sin x + 5 sek 2 x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5sek2x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, der k er konstant]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫sek2x dx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Øv problemer på integrasjonsformler

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Vanlige spørsmål om integrasjonsformler

Hva er alle integrasjonsformler?

Integrasjonsformler er formlene som brukes til å løse ulike integrasjonsproblemer,

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ ogxdx = ex+ C
  • ∫ axdx = ax/log a+ C
  • ∫ ogx[f(x) + f'(x)] dx = exf(x) + C {hvor, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Hva er integrasjonsformlene til uv?

Integrasjonsformelen til uv er,

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Hva betyr integrering i matematikk?

Hvis den deriverte av funksjonen g(x) er f(x), så er integrasjonen av f(x) g(x) dvs. ∫f(x)dx = g(x). Integrasjon er representert med symbolet ∫

Hvordan integrerer vi ved hjelp av integrasjonsformler?

Integrasjon kan oppnås ved å bruke formlene,

  • Definer en liten del av et objekt i visse dimensjoner som ved å legge til uendelig mange ganger gjør det komplette objektet.
  • Ved å bruke integrasjonsformler over den lille delen langs de forskjellige dimensjonene får vi hele objektet.

Hva er integreringsformelen for del?

Integralformel for del brukes for å løse integralet der uekte brøk er gitt.

Hva er bruken av integrasjonsformler?

Integrasjonsformler brukes til å løse ulike integralproblemer. Ulike problemer som vi møter i vårt daglige liv kan lett løses ved hjelp av integrasjon, for eksempel å finne massesenteret til ethvert objekt, finne banen til missiler, raketter, fly og andre.