LU-dekomponering av en matrise er faktoriseringen av en gitt kvadratisk matrise til to trekantede matriser, en øvre trekantmatrise og en nedre trekantmatrise, slik at produktet av disse to matrisene gir den opprinnelige matrisen. Den ble introdusert av Alan Turing i 1948, som også skapte Turing-maskinen.

LU-dekomponeringsmetode for å faktorisere en matrise som et produkt av to trekantede matriser har forskjellige anvendelser som løsning av et ligningssystem, som i seg selv er en integrert del av mange applikasjoner som å finne strøm i en krets og løsning av diskrete dynamiske systemproblemer ; finne inversen til en matrise og finne determinanten til matrisen.

Hva er L U-dekomponering?

En kvadratisk matrise A kan dekomponeres i to kvadratiske matriser L og U slik at A = L U hvor U er en øvre trekantet matrise dannet som et resultat av bruk av Gauss Elimination Method på A, og L er en nedre trekantet matrise med diagonale elementer. lik 1.

For A =egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{bmatrix} .

hvor mange mission umulig-filmer er det

Vi har L = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 1 end{bmatrix} og U =egin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{bmatrix} ;

Slik at A = L U, dvs.left[egin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight]=left[egin{array}{lll} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 0 end{array} ight] cdot left[egin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{array} ight]

Her er verdien av l_tjueen, i_elleveosv. kan sammenlignes og finnes.

Hva er Gauss eliminasjonsmetode?

Gaussisk eliminering, også kjent som Gauss-Jordan Elimination, er en metode som brukes i lineær algebra for å løse systemer med lineære ligninger og finne inversen til en matrise. Den er oppkalt etter matematikeren Carl Friedrich Gauss og også matematikeren Wilhelm Jordan, som ga betydelige bidrag til utviklingen.

I henhold til Gauss eliminasjonsmetoden:

1. En hvilken som helst nullrad skal være nederst i matrisen.
2. Den første oppføringen som ikke er null i hver rad skal være på høyre side av den første oppføringen som ikke er null i den foregående raden. Denne metoden reduserer matrisen til rad echelon form.

LU Dekomponeringsmetode

For å fabrikkere enhver kvadratisk matrise i to trekantede matriser, dvs. den ene er en nedre trekantet matrise og den andre er en øvre trekantet matrise, kan vi bruke følgende trinn.

• Gitt et sett med lineære ligninger, konverter dem først til matriseform A X = C der A er koeffisientmatrisen, X er variabelmatrisen og C er matrisen av tall på høyre side av ligningene.
• Reduser nå koeffisientmatrisen A, det vil si matrisen oppnådd fra koeffisientene til variabler i alle de gitte ligningene slik at for 'n' variabler har vi en nXn-matrise, for å rad echelonform ved å bruke Gauss Elimination Method. Matrisen som er oppnådd på denne måten er U.
• For å finne L har vi to metoder. Den første er å anta de gjenværende elementene som noen kunstige variabler, lage ligninger ved å bruke A = L U og løse dem for å finne de kunstige variablene. Den andre metoden er at de gjenværende elementene er multiplikatorkoeffisientene på grunn av hvilke de respektive posisjonene ble null i U-matrisen. (Denne metoden er litt vanskelig å forstå med ord, men vil bli tydelig i eksemplet nedenfor)
• Nå har vi A (nXn-koeffisientmatrisen), L (den nXn nedre trekantmatrisen), U (den nXn øvre trekantmatrisen), X (nX1-matrisen av variabler) og C (nX1-matrisen av tall til høyre- side av ligningene).
• Det gitte ligningssystemet er A X = C. Vi erstatter A = L U. Dermed har vi L U X = C. Vi setter Z = U X, der Z er en matrise eller kunstige variabler og løser først for L Z = C og løser deretter for U X = Z for å finne X eller verdiene til variablene, som var nødvendig.

Eksempel på LU-dekomponering

Løs følgende ligningssystem ved å bruke LU-dekomponeringsmetoden:

egin{equation*} x_1 + x_2 + x_3 = 1 end{equation*} egin{equation*} 4x_1 + 3x_2 – x_3 = 6 end{equation*} egin{equation*} 3x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 4 end{equation*}

Løsning: Her har vi A =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} , X = egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

og

C = egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

slik at A X = C. Nå vurderer vi først

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix}

og konverter den til rad echelon-form ved å bruke Gauss Elimination Method. Så ved å gjøre

egin{equation} R_2 o R_2 – 4R_1 end{equation} egin{equation} R_3 o R_3 – 3R_1 end{equation}

vi får

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} sim

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 2 & 0 end{bmatrix}

Nå, ved å gjøre

egin{equation} R_3 o R_3 – (-2)R_2 end{equation}

Vi får

sim egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(Husk å alltid holde ‘ – ‘ logg i mellom, erstatt ‘ + ‘ tegn med to ‘ – ‘ tegn) Derfor får vi L =

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix}

og U =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(legg merke til at i L-matrise,

l_{21} = 4

er fra (1),

l_{31} = 3

er fra (2) og

csv-fil les java

l_{32} = -2

er fra (3)) Nå antar vi Z

= egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

og løs L Z = C.

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

Så det har vi

z_1 = 1 ,

4z_1 + z_2 = 6 ,

3z_1 – 2z_2 + z_3 = 4 .

Løsning, får vi

z_1 = 1

,

z_2 = 2

og

z_3 = 5

. Nå løser vi U X = Z

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix} egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 2 5 end{bmatrix}

Derfor får vi

x_1 + x_2 + x_3 = 1 ,

-x_2 – 5x_3 = 2

testing og typer testing

,

-10x_3 = 5 .

Dermed er løsningen på det gitte systemet med lineære ligninger

x_1 = 1

,

x_2 = 0.5

,

x_3 = -0.5

og derav matrisen X =

egin{bmatrix} 1 0.5 -0.5 end{bmatrix}

Øvelse på LU-dekomponering

I LU-dekomponeringen av matrisen

| 2 2 |
| 4 9 |

, hvis de diagonale elementene til U begge er 1, så er den nedre diagonale oppføringen l22 i L (GATE CS 2015) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

For løsning, se GATE | GATE-CS-2015 (sett 1) ​​| Spørsmål 65 .

Vanlige spørsmål om LU-dekomponering

Hva er LU-dekomponeringsmetoden?

LU-dekomponering, forkortelse for Lower-Upper-dekomponering, er en matrisefaktoriseringsteknikk som brukes til å bryte ned en kvadratisk matrise til produktet av en nedre trekantet matrise (L) og en øvre trekantet matrise (U). Det brukes ofte for å forenkle løsning av lineære ligninger og beregning av determinanter.

Hvorfor er LU-dekomponering unik?

LU-dekomponering er unik fordi den gir en måte å faktorisere en kvadratisk matrise A til nedre og øvre trekantede matriser (L og U) unikt, noe som tillater effektiv løsning av lineære systemer og determinantberegning.

Hvordan beregnes LU-dekomponering?

LU-dekomponering beregnes ved hjelp av gaussisk eliminering, hvor du transformerer en kvadratisk matrise A til nedre (L) og øvre (U) trekantede matriser ved å utføre radoperasjoner mens du holder styr på endringene i separate matriser. Denne prosessen er iterativ og fortsetter til A er fullstendig dekomponert. Metoden med alle trinnene for LU-dekomponering er gitt i artikkelen.

Når LU-dekomponering ikke er mulig?

LU-dekomponering er kanskje ikke mulig når matrisen A er singular (ikke-inverterbar) eller når den krever svingning for stabilitet, men pivotelementet blir null, noe som forårsaker deling med null under dekomponeringsprosessen.

Finnes det noen alternativer til LU-dekomponering?

Ja, alternativer til LU-dekomponering inkluderer Kolesky nedbrytning for symmetriske positive bestemte matriser, QR-dekomponering for generelle matriser, og egenverdibaserte metoder som spektraldekomponering og singularverdidekomponering (SVD) for ulike matriseoperasjoner og applikasjoner.

Kan LU-dekomponering brukes på ikke-kvadratiske matriser?

LU-dekomponering brukes vanligvis på kvadratiske matriser. For rektangulære matriser er QR-dekomponering mer vanlig brukt. Imidlertid kan variasjoner som LUP-dekomponering også håndtere rektangulære matriser, der P er en permutasjonsmatrise.