Midtpunktsformelen er ((x ₁ + x ₂ )/2 og ₁ + og ₂ )/2). Koordinatene til de to punktene er (x₁, og₁) og (x₂, og₂) henholdsvis, og midtpunktet er et punkt som ligger halvveis mellom disse to punktene.

Mid Point er et grunnleggende konsept innen koordinatgeometri. Det spiller en avgjørende rolle for å finne midtpunktet til et linjesegment. Det er tilfeller i koordinatgeometri hvor vi trenger å vite midtpunktet til to gitte punkter eller midtpunktet til et linjestykke. I dette tilfellet bruker vi Mid Point-formel da det er en enkel og effektiv måte å beregne midtpunktet til et gitt linjestykke, uavhengig av lengden eller posisjonen på koordinatplanet.

Vi har dekket Mid Point Formula i detalj, med dens utledning ved å bruke likheten til trekanter. Sammen med det har vi kuratert de løste eksemplene på Mid Point Formula.

Midtpunktsdefinisjon

Punktet som deler linjen nøyaktig i to like halvdeler er midtpunktet på linjen. Med andre ord, forholdet mellom begge halvdelene av linjen der midtpunktet deler den er 1:1.

Midtpunkt på linjen

Formel for Mid Point of Line

For et linjestykke AB i kartesisk koordinat hvor x-aksekoordinaten til punkt A er x₁og y-aksekoordinaten til punkt A er y₁og på samme måte er x-aksens koordinat til punkt B x₂og y-aksekoordinaten til punkt B er y_2,midtpunktet på linjen vil bli gitt av (x_m, og_m).

Formelen for midtpunktet (x_m, og_m) er:

homogen blanding

Midtpunktsformel

Avledning av Mid Point Formula

La P(x₁,og₁) og Q(x₂,og₂) være de to endene av en gitt linje i et koordinatplan, og R(x,y) er punktet på den linjen som deler PQ i forholdet m₁:m₂slik at

PR/RQ = m₁/m₂. . .(1)

Avledning av Mid Point Formula

Tegn linjene PM, QN og RL vinkelrett på x-aksen og gjennom R, tegn en rett linje parallelt med x-aksen for å møte MP ved S og NQ ved T.

Derfor kan vi fra figuren si:

SR = ML = OL – OM = x – x₁. . . (2)

RT = LN = PÅ – Ol = x₂– x . . . (3)

PS = MS – MP = LR – MP = y – y₁. . . (4)

TQ = NQ – NT = NQ – LR = y₂- og . . . (5)

Nå trekant ∆ SPR ligner på trekant ∆TQR .

Derfor,

SR/RT = PR/RQ

Ved å bruke ligning 2, 3 og 1 vet vi:

x – x₁/ x₂– x = m₁/ m₂

⇒ m₂x – m₂x₁= m₁x₂– m₁x

⇒ m₁x + m₂x = m₁x₂+ m₂x₁

⇒ (m₁+ m₂)x = m₁x₂+ m₂x₁

⇒ x = (m₁x₂+ m₂x₁) / (m₁+ m₂)

Nå trekant ∆ SPR er lik trekant ∆ TQR,

Derfor,

PS/TQ = PR/RQ

Ved å bruke ligning 4, 5 og 1 vet vi:

og – og₁/ og₂– y = m₁/ m₂

⇒ m₂y – m₂og₁= m₁og₂– m₁og

⇒ m₁y + m₂y = m₁og₂+ m₂og₁

⇒ (m₁+ m₂)y = m₁og₂+ m₂og₁

⇒ y = (m₁og₂+ m₂og₁) / (m₁+ m₂)

Derfor er koordinatene til R(x,y):

R(x, y) = (m ₁ x ₂ + m ₂ x ₁ ) / (m ₁ + m ₂ ), (m ₁ og ₂ + m ₂ og ₁ ) / (m ₁ + m ₂ )

Ettersom vi måtte beregne midtpunktet, beholder vi verdiene både av m₁og M₂som samme dvs.

For midtpunktet kjenner vi ved definisjonen av midtpunkt, m₁= m₂= 1.

(x, y) = ((1,x₂+ 1.x₁) / (1 + 1), (1.år₂+ 1.år₁) / (1 + 1))

x, y = (x ₂ + x ₁ ) / 2 og ₂ + og ₁ ) / 2

Hvordan finne Mid Point?

For å finne koordinatene til midtpunktet til et gitt linjestykke kan vi bruke midtpunktsformelen hvis endepunktene til linjestykket er gitt. Tenk på følgende eksempel for det samme.

Eksempel: Finn koordinatene til midtpunktet til et linjestykke hvis endepunkter er (5, 6) og (-3, 4).

Løsning:

Som vi vet, er midtpunktet til et linjestykke gitt av formelen:

Midtpunkt = ((x₁+x₂)/2 og₁+y₂)/2)

hvor (x₁, og₁) og (x₂, og₂) er koordinatene til endepunktene til linjestykket.

Midtpunkt = ((5+(-3))/2, (6+4)/2)

⇒ Midtpunkt = (2/2, 10/2)

⇒ Midtpunkt = (1, 5)

Derfor er koordinatene til midtpunktet til linjestykket (1, 5).

Relatert formel

Det er lignende formler som midtpunktsformelen, som er som følger:

• Seksjonsformel
• Centroid formel

Seksjonsformel

Seksjonsformel brukes til å finne koordinaten til punktet som deler det gitte linjestykket i ønsket forhold. La oss anta at endepunktene til et linjestykke er A og B med koordinater (x ₁ , og ₁ ) og (x ₂ , og ₂ ) , og P er punktet som deler linjestykket som forbinder linjen AB i m:n. Da er koordinaten til P gitt av:

P(x, y) = [(mx ₂ + nx ₁ )/(m+n) , (min ₂ + den ₁ )/(m+n)]

Centroid formel

Centroid-formelen brukes til å finne senterpunktet til polygoner og matematisk for trekanter og firkanter er gitt som følger:

Centroid of a Triangle Formel

Koordinatene til tyngdepunktet til en trekant med toppunkter (x₁, og₁), (x₂, og₂), og (x₃, og₃) er:

C(x, y) = ((x ₁ + x ₂ + x ₃ )/3, (og ₁ + og ₂ + og ₃ )/3)

Centroid of Triangle

Centroid of a Quadrilateral Formel

Koordinatene til tyngdepunktet til en firkant med toppunkter (x₁, og₁), (x₂, og₂), (x₃, og₃), og (x₄, og₄) er:

C(x, y) = ((x ₁ + x ₂ + x ₃ + x ₄ )/4, (og ₁ + og ₂ + og ₃ + og ₄ )/4)

Centroid of Quadrilateral

Løste spørsmål om Mid-Point Formel

Spørsmål 1: Hva er midtpunktet til linjestykke AB der punkt A er ved (6,8) og punkt B er (3,1)?

Løsning:

La midtpunktet være M(x_m, og_m),

x_m= (x₁+ x₂) / 2

x₁= 6, x₂= 3

Altså x_m= (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4,5

og_m= (og₁+ og₂) / 2

og₁= 8, og₂= 1

Således, y_m= (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4,5

Derfor er midtpunktet til linjen AB (4,5, 4,5).

Spørsmål 2: Hva er midtpunktet til linjestykke AB der punkt A er ved (-6,4) og punkt B er (4,2)?

Løsning:

La midtpunktet være M(x_m, og_m),

x₁= -6, x₂= 4, og₁= 4, og₂= 2

(x_m, og_m) = ((x₁+ x₂) / 2 og₁+ og₂) / 2)

(x_m, og_m) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)

(x_m, og_m) = ((-2)/2, (6)/2)

(x_m, og_m) = (-1, 3)

Derfor er midtpunktet til linjen AB (-1, 3).

Spørsmål 3: Finn verdien av p slik at (–2, 2,5) er midtpunktet mellom (p, 2) og (–1, 3).

Løsning:

La midtpunktet være M(x_m, og_m) = (-2, 2,5) hvor,

x₁= -1, x_m= -2

y-koordinaten til endepunktet er allerede kjent som 2, derfor trenger vi bare å finne x-koordinaten

x_m= (x₁+ x₂) / 2

-2 = (-1 + p) / 2

-4 = -1 + p

p = -3

Derfor er andre endepunkt på linjen (-3, 2).

Spørsmål 4: Hvis koordinatene til endepunktene til et linjestykke er (3, 4) og (7, 8), finn avstanden mellom midtpunktet til linjestykket og punktet (3, 4).

Løsning:

La A(3, 4) og B(7, 8) være endepunktene til det gitte linjestykket, og C er midtpunktet til linjestykket AB.

Deretter bruker du midtpunktsformelen,

Koordinaten til C = ( (3+7)/2 , (4+8)/2 ) = (5, 6)

Bruk av avstandsformel

Avstand = √{(x₂– x₁)²+ (og₂- og₁)²}

⇒ Avstand = √{(3 – 5)²+ (4 – 6)²}

⇒ Avstand =√{(-2)²+ (-2)²}

⇒ Avstand =√8 = 2√2

Derfor er avstanden mellom midtpunktet på linjestykket og punktet (3, 4) 2√2.

Mid Point Formula – Vanlige spørsmål

Hva er middelpunktformel?

Matematisk midtpunktsformel er gitt som følger:

Midtpunkt = ((x ₁ + x ₂ )/2 og ₁ + og ₂ )/2)

Hva er betydningen av middelpunktformelen?

Midtpunktformelen er signifikant fordi den lar oss finne midtpunktet til ethvert linjestykke på et kartesisk koordinatsystem.

Hva er anvendelser av middelpunktformel?

Det er mange brukstilfeller av midtpunktsformelen, da vi i geometri kan bruke den for løsninger og egenskaper til trekanter, polygoner og andre former, i fysikk har den også anvendelse for å finne massesenteret.

Kan middelpunktformel brukes for tre eller flere punkter?

Nei, midtpunktsformelen kan ikke brukes for tre punkter, da midtpunkt er definert for bare to punkter. For tre punkter kan vi bruke tyngdepunktsformel hvis vi vil finne koordinaten til tyngdepunktet for trekanten dannet av de gitte tre punktene.

Hvor mange midtpunkter har et segment?

Et segment har bare ett midtpunkt.