Objektiv funksjon er målet for det lineære programmeringsproblemet som navnet antyder. I lineær programmering eller lineær optimalisering bruker vi ulike teknikker og metoder for å finne den optimale løsningen på det lineære problemet med noen begrensninger. Teknikken kan også inkludere ulikhetsbegrensninger. Målfunksjonen i lineær programmering er å optimalisere for å finne den optimale løsningen for et gitt problem.
I denne artikkelen vil vi lære alt om objektivfunksjonen, inkludert dens definisjon, typer, hvordan man formulerer en objektivfunksjon for et gitt problem, osv. Vi vil også lære ulike representasjoner av objektivfunksjoner som lineære målfunksjoner eller ikke-lineære mål funksjoner. Så la oss begynne å lære om dette grunnleggende konseptet i lineær programmering, dvs. objektivfunksjon.
Hva er objektiv funksjon?
Som navnet antyder, setter objektivfunksjonen i utgangspunktet målet for problemet. Den fokuserer på beslutningstaking basert på begrensninger. Det er en funksjon med reell verdi som enten skal maksimeres eller minimeres avhengig av begrensningene. Det er som en profitt- eller en tapsfunksjon. Det er vanligvis betegnet med Z.
Terminologiene knyttet til Objective Function er som følger:
- Begrensninger: De er i utgangspunktet de betingede ligningene som styrer den lineære funksjonen
- Beslutningsvariabler: Variablene hvis verdier skal finnes ut. Ligningene løses for å få den optimale verdien av disse variablene.
- Gjennomførbar region: Det er regionen i grafen der begrensningene er oppfylt og beslutningsvariablene finnes i hjørnene av regionen.
- Optimal løsning: Den best mulige løsningen som tilfredsstiller alle begrensninger og oppnår høyeste eller laveste mål.
- Ugjennomførbar løsning: En løsning som bryter med en eller flere begrensninger og som ikke kan implementeres eller utføres.
Målfunksjon i lineær programmering
I lineær programmering er en objektivfunksjon en lineær funksjon som består av to beslutningsvariabler. Det er en lineær funksjon som skal maksimeres eller minimeres avhengig av begrensningene. Hvis a og b er konstanter og x og y er beslutningsvariabler hvor x> 0 og y> 0, så er objektivfunksjonen
Z = akse + by
Så for å få den optimale verdien av optimaliseringsfunksjonen må vi først løse begrensningene ved å bruke en av teknikkene og finne ut beslutningsvariablene. Deretter legger vi verdiene til Decision-variabler i Objective-funksjonen for å generere den optimale verdien.
alfabetet av tall
Formulering av en målfunksjon
Lineær programmering handler om å finne de optimale verdiene til beslutningsvariablene og sette disse verdiene i målfunksjonen for å generere maksimal eller minimum verdi. Det er mange teknikker som Simplex Method og Graphical Method for å løse lineær programmering. Imidlertid er grafisk metode vanligvis foretrukket på grunn av sin enkelhet. Trinnene for å få de optimale verdiene for målfunksjonen er som følger:
- Generer begrensningsligningene og objektivfunksjonen fra oppgaven.
- Plott begrensningsligningene på grafen.
- Identifiser nå den mulige regionen der begrensningene er oppfylt.
- Generer verdiene til beslutningsvariabler som er plassert i hjørnene av den mulige regionen.
- Sett alle de genererte verdiene i målfunksjonen og generer den optimale verdien.
Vanlige typer målfunksjoner
Det er to typer objektive funksjoner.
- Maksimeringsmålfunksjon
- Minimering Mål funksjon
La oss diskutere disse to typene i detalj som følger:
Maksimeringsmålfunksjon
I denne typen har vi vanligvis som mål å maksimere den objektive funksjonen. Toppunktene som blir funnet etter grafisk graf av begrensningene har en tendens til å generere maksimalverdien til objektivfunksjonen. La oss illustrere ved hjelp av et eksempel
Eksempel: En mann investerer maksimalt 8 timer i å lage lommebøker og skolesekker. Han investerer 2 timer i å lage lommebøker og 4 timer i skolesekker. Han har som mål å lage maksimalt 5 lommebøker og skolesekker og ønsker å selge dem og generere en fortjeneste på Rs 20 på en lommebok og Rs 100 på en skolesekk. Finn den objektive funksjonen.
Løsning:
La x være antall rotis og y være antall brød.
En mann kan maksimalt investere 8 timer ved å investere 2 timer på å lage en lommebok og 4 timer på å lage en skolesekk. Derfor er den første begrensningsligningen
2x + 4y ⩽ 8
⇒ x + 2y ⩽ 4
Maksimalt antall han kan lage er 5
x+y ⩽ 5
La objektivfunksjonen betegnes med Z
Derfor Z = 20x + 100y
Minimering Mål funksjon
I denne typen tar vi vanligvis sikte på å minimere den objektive funksjonen. Toppunktene som blir funnet etter grafisk fremstilling av begrensningene har en tendens til å generere minimumsverdien til objektivfunksjonen. La oss illustrere ved hjelp av et eksempel
Eksempel: Gitt summen av de to variablene er minst 20. Det er gitt én variabel er større enn lik 9. Utled objektivfunksjonen hvis kostnaden for en variabel er 2 enheter og kostnaden for en annen variabel er 9 enheter.
Løsning:
La x og y være de to variablene. Det er gitt summen av de to variablene skal være minst 20.
x+y ⩾ 20
og x ⩾ 9
Over to ulikheter er begrensninger for følgende objektive funksjon.
La objektivfunksjonen betegnes med Z. Derfor er Z
Z = 2x + 9y
Matematisk representasjon av målfunksjon
Som vi diskuterte om objektiv funksjon i sammenheng med lineær programmering, men objektiv funksjon kan også være ikke-lineær.
- Lineære objektivfunksjoner: I denne typen objektivfunksjoner er både begrensningene og objektive funksjonene lineære. Eksponentene til variablene er 1.
- Ikke-lineære målfunksjoner: I denne typen objektivfunksjoner er både begrensningene og objektive funksjonene lineære. Eksponentene til variablene er enten 1 eller større enn 1.
Anvendelser av målfunksjoner
Objektive funksjoner er viktige i virkelige scenarier. Disse funksjonene brukes for eksempel av forretningsmenn. Forretningsmenn bruker det for å maksimere fortjenesten. Objektive funksjoner er også nyttige for transportproblemer. Ved å sette opp en funksjon kan man analysere hvor mye drivstofforbruk som foregår og hvordan brukeren dermed kan kutte prisene for det samme. Objektive funksjoner er også nyttige i avstandsproblemer.
Løste problemer med målfunksjon
Oppgave 1: En person vil ha noen belter og lommebøker. Han har en total sparing på 6000 Rs og ønsker å bruke alle sparepengene sine på å kjøpe belter og lommebøker slik at han kan selge det senere. Verdien av lommeboken er Rs 20 og verdien av beltet er Rs 10. Han ønsker å oppbevare dem i et skap og maksimal kapasitet på skapet er 50 enheter. Han forventer en fortjeneste på Rs 2 på beltet og Rs 3 på lommeboken. Finn begrensningene og den resulterende objektivfunksjonen.
Løsning:
La x være antall lommebøker som skal kjøpes og y være antall belter som skal kjøpes. Det er å merke seg når maksimum er nevnt i oppgaven, bør vi bruke '⩽' for å finne begrensningene
Maksimal investering er Rs 6000. Den første begrensningsligningen er
20x+10y⩽6000
Maksimal lagringskapasitet for skapet er 50
x+y⩽50
Her er profittfunksjon i utgangspunktet den objektive funksjonen. La dette betegnes med P. Derfor er profittfunksjonen
P = 3x + 2y
pete davidson
Oppgave 2: Identifiser begrensningslikningene og objektivfunksjonen fra det gitte settet
- 2x + 3y ⩾ 50
- x + y ⩽ 50
- 5x + 4y ⩽ 40
- Z = 7x + 8y
Hvor x og y er større enn 0.
Løsning:
Begrensningene kan være ulikhet eller ulikhetsformat. Men en objektiv funksjon har alltid et likhetssymbol
Derfor er begrensningsligningene
2x + 3y ⩾ 50
x + y ⩽ 50
5x + 4y ⩽ 40
Den objektive ligningen er Z = 7x + 8y
Oppgave 3: En kvinne investerer maksimalt 7 timer med å lage rotis og brød. Hun investerer 2 timer på rotis og 4 timer på brød. Hun har som mål å lage maksimalt 20 brød og rotis og ønsker å selge dem og generere en fortjeneste på Rs 2 på roti og Rs 1 på brød. Finn den objektive funksjonen.
Løsning:
La x være antall rotis og y være antall brød.
En kvinne kan investere maksimalt 7 timer ved å investere 2 timer på å lage en roti og 4 timer på å lage et brød. Derfor er den første begrensningsligningen
2x + 4y ⩽ 7
Maksimalt antall brød og rotis hun kan lage er 20
x + y ⩽ 20
La objektivfunksjonen betegnes med Z
Derfor er Z = 2x + y.
Oppgave 4: Bedriften ønsker å produsere produkt A og produkt B. Produkt A krever 4 enheter kakaopulver og 1 enhet melkepulver Produkt B krever 3 enheter kakaopulver og 2 enheter melkepulver. Det er 87 enheter kakaopulver tilgjengelig og 45 enheter melkepulver tilgjengelig. Fortjenesten som skal tjenes på hvert produkt er henholdsvis og . Finn den objektive funksjonen.
Løsning:
La x angi antallet av produkt A og y angi antall varer av type B.
Maksimal mengde kakaopulver er 87 enheter. Så den første begrensningsligningen er
4x + 3y ⩽ 87
Maksimal tilgjengelig melkepulver er 45 enheter. Så den andre begrensningsligningen er
streng sammenligne c#x + 2y ⩽ 45
Her er målet å maksimere fortjenesten. Så vår profittfunksjon er Objective-funksjonen. La det være betegnet med Z
Z = 3x + 5y
Oppgave 5: Det skal genereres to typer matpakker A og B som består av vitaminer. Det er minst 45 enheter matpakke A som skal gjøres tilgjengelig, og produksjonen av begge matpakkene bør være minst 30. Generer den objektive funksjonen som skal genereres der matpakke A har 6 enheter vitaminer og matpakke B har 8 enheter .
Løsning:
La x være antall matpakker A og y være antall matpakker B
Minst 45 matpakker skal gjøres tilgjengelig. Derfor er den første begrensningsligningen
x ⩾ 45
Den andre begrensningsligningen er
x + y ⩾ 30
Den objektive funksjonen er som følger:
Z = 6x + 8y
Vanlige spørsmål om målfunksjon
Q1: Hva er målfunksjonen i lineær programmeringsproblem?
Svar:
En objektiv funksjon er en funksjon med reell verdi som enten skal maksimeres eller minimeres avhengig av begrensningene. Den består av to beslutningsvariabler.
Q2: Hva er målet med målfunksjonen?
Svar:
Målet med objektivfunksjonen er å maksimere eller minimere den resulterende verdien. Det er en ligning som uttrykkes i form av beslutningsvariabler og spiller en avgjørende rolle i lineær programmering.
Spørsmål 3: Hvordan forstår vi om en funksjon skal maksimeres eller minimeres?
Svar:
For å sjekke om en funksjon skal maksimeres eller ikke, bør vi være kjent med termer som 'på det meste', 'minst'. Hvis begrepet 'minst' er gitt i spørsmålet, skal den objektive funksjonen minimeres. For begrepet 'høyst' bør funksjonen maksimeres.
Spørsmål 4: Nevn de vanlige typene målfunksjoner.
Svar:
Det er to typer målfunksjoner:
- Maksimering Objektiv funksjon
- Minimering Mål funksjon
Spørsmål 5: Hvilke anvendelser har målfunksjonen?
Svar:
Det er forskjellige bruksområder for objektivfunksjonen. De er nyttige i virkelige scenarier. De brukes i utgangspunktet til å estimere fortjeneste eller tap i hvert enkelt tilfelle. Objektive funksjoner er nyttige i transportproblemer, tidsbegrensningsproblemer etc.