Pascals trekant er et numerisk mønster arrangert i en trekantet form. Denne trekanten gir koeffisientene for utvidelse av ethvert binomialt uttrykk, med tall organisert på en måte som danner en trekantet form. dvs. den andre raden i Pascals trekant representerer koeffisientene i (x+y)²og så videre.

I Pascals trekant er hvert tall summen av de to ovennevnte tallene. Pascals trekant har forskjellige anvendelser innen sannsynlighetsteori, kombinatorikk, algebra og forskjellige andre grener av matematikk.

La oss lære mer om Pascals trekant, dens konstruksjon og ulike mønstre i Pascals trekant i detalj i denne artikkelen.

Innholdsfortegnelse

• Hva er Pascals trekant?
• Hva er Pascals trekant?
• Pascals trekantdefinisjon
• Pascals trekantkonstruksjon
• Pascals trekantformel
• Pascals Triangle Binomial Expansion
• Hvordan bruke Pascals trekant?
• Pascals trekantmønstre
• Tillegg av rader
• Primtall i Pascals trekant
• Diagonaler i Pascals trekant
• Fibonacci-sekvens i Pascals trekant
• Egenskaper for Pascals trekant
• Pascals trekanteksempler

Hva er Pascals trekant?

Den er oppkalt etter den berømte filosofen og matematikeren Balise ‘Pascal’ som utviklet et mønster av tall som starter med 1 og tallene under er summeringen av tallene ovenfor. Skriv først ned tallet 1 for å begynne å lage Pascals trekant. Den andre raden skrives ned med to 1-ere igjen. Andre rader genereres ved å bruke de foregående radene for å lage en trekant med tall. Hver rad begynner og slutter med en 1.

En grunnleggende struktur av Pascal-trekanten er vist i bildet lagt til nedenfor,

Hva er Pascals trekant?

Vi definerer Pascal-trekanten som det grunnleggende settet med tall som er ordnet i en trekantet matrise slik at hvert element i Pascals trekant er summen av de to tallene over den. Pascals trekant starter med 1, og dette ble først foreslått av den berømte franske matematikeren Balise Pascal og fikk derfor navnet Pascals trekant.

Denne trekanten representerer koeffisientene til den binomiale ekspansjonen for ulike potenser. (vi må sørge for at potensen i den binomiale ekspansjonen bare er et naturlig tall, så representerer kun Pascals trekant koeffisientene i den binomiale utvidelsen).

Pascals trekantdefinisjon

Pascals trekant er en trekantet rekke tall der hvert tall er summen av de to rett over det.

Pascals trekantkonstruksjon

Vi kan enkelt konstruere Pad=scal-trekanten ved å legge til de to tallene i raden ovenfor for å få det neste tallet i raden under. Vi kan anta at den nullte raden starter med et enkelt element 1 og deretter er elementet i den andre raden 1 1 som dannes ved å legge til 1+0 og 1+0. Tilsvarende er elementene i den andre raden, 1 2 1 2 som er dannet ved å legge til, 1+0, 1+1 og 1+0, og dermed oppnås elementene i den tredje raden. Ved å utvide dette konseptet til den n'te raden får vi en Pascals trekant med n+1 rader.

Pascals trekant opp til 3. rad er vist på bildet nedenfor,

Fra figuren ovenfor ser vi lett at det første og det siste elementet i hver rad er 1.

Pascals trekantformel

Pascal Triangle Formula er formelen som brukes for å finne tallet som skal fylles i mth kolonne og nth rad. Som vi vet at begrepene i Pascals trekant er summeringen av begrepene i raden ovenfor. Så vi krever elementene i (n-1) rad, og (m-1) og n-te kolonner for å få det nødvendige tallet i mth kolonne og nth rad.

Les i detalj: Pascals trekantformel

Elementene i den n. raden i Pascals trekant er gitt,ⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂, …,ⁿC_n.

Formelen for å finne et hvilket som helst tall i Pascals trekant er:

ⁿ Cm = ^n-1 C _m-1 + ^n-1 C _m

Hvor,

• ⁿ C _m representerer det (m+1)te elementet i n'te rad., og
• n er et ikke-negativt heltall [0 ≤ m ≤ n]

Vi kan forstå denne formelen ved å bruke eksemplet diskutert nedenfor,

Eksempel: Finn det tredje elementet i den tredje raden i Pascals trekant.

Løsning:

Vi må finne det tredje elementet i den tredje raden i Pascals trekant.

Pascal Triangle Formel er,

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

hvorⁿC_krepresentere (k+1)^thelement i n^thrad.

Dermed er det tredje elementet i den tredje raden,

³C₂=²C₁+²C₂

⇒³C₂= 2 + 1

⇒³C₂= 3

Dermed er det tredje elementet i den tredje raden i Pascals trekant 3.

Pascals Triangle Binomial Expansion

Vi kan enkelt finne koeffisienten til binomial ekspansjon ved hjelp av Pascals trekant. Elementene i (n+1)te rad i Pascal-trekanten representerer koeffisienten til det utvidede uttrykket til polynomet (x + y)ⁿ.

Vi vet at utvidelsen av (x + y)ⁿer,

(x + y)ⁿ= a₀xⁿ+ a₁x^n-1og + a₂x^n-2og²+ … + a_n-1xy^n-1+ a_nogⁿ

Her en₀, a₁, a₂, a₃, …., a_ner leddet i (n+1) rad i Pascals trekant

Se for eksempel utvidelsen av (x+y)⁴

(x + y)⁴=⁴C₀x⁴+⁴C₁x³og +⁴C₂x²og²+⁴C₃xy³+⁴C₄x⁰og⁴

⇒ (x + y)⁴= (1)x⁴+ (4)x³y + (6)x²og²+ (4)xy³+ (1)y⁴

Her er koeffisientene 1, 4, 6, 4 og 1 elementene i den fjerde raden i Pascals trekant

Hvordan bruke Pascals trekant?

Vi bruker Pascal-trekanten for å finne de ulike tilfellene av mulige utfall i sannsynlighetsforhold. Dette kan forstås av følgende eksempel, å kaste en mynt en gang får vi to utfall, dvs. H og T dette er representert av elementet i den første raden av Pascals trekant.

Ved å kaste en mynt to ganger får vi tre utfall, dvs. {H, H}, {H, T}, {T, H} og {T, T}, denne tilstanden er representert av elementet i den andre raden i Pascals trekant.

Dermed kan vi enkelt fortelle det mulige antallet utfall ved å kaste et mynteksperiment ved ganske enkelt å observere de respektive elementene i Pascal-trekanten.

Tabellen nedenfor forteller oss om tilfellene hvis en mynt kastes én gang, to ganger, tre ganger og fire ganger, og dens samsvar med Pascals trekant

Pascals trekantmønstre

Vi observerer forskjellige mønstre i Pascals trekant, de er:

• Tillegg av rader
• Primtall i trekanten
• Diagonaler i Pascals trekant
• Fibonacci mønster

Tillegg av rader

Ved å se nærmere på Pascals trekant kan vi konkludere med at summen av en hvilken som helst rad i Pascals trekant er lik potensen 2. Formelen for det samme er, For enhver (n+1)^thrad i Pascals trekant er summen av alle elementene 2ⁿ

Ved å bruke denne formelen i de første 4 radene i Pascals trekant får vi,

1 = 1 = 2⁰

1 + 1 = 2 = 2¹

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

Primtall i Pascals trekant

Et annet veldig interessant mønster i Pascals-trekanten er at hvis en rad starter med et primtall (forsømmer 1 i begynnelsen av hver rad), så er alle elementene i den raden delbare med det primtallet. Dette mønsteret stemmer ikke for de sammensatte tallene.

For eksempel er den åttende raden i Pascal-trekanten,

1 7 21 35 35 21 7 1

Her er alle elementene delbare med 7.

For rader som starter med sammensatte tall, for eksempel den femte raden,

1 4 6 4 1

Mønsteret stemmer ikke da 4 ikke deler 6.

Diagonaler i Pascals trekant

Hver høyregående diagonal av Pascals trekant, når den anses som en sekvens, representerer de forskjellige tallene, slik som den første høyrediagonalen representerer en sekvens med nummer 1, den andre høyrediagonalen representerer trekantetall, den tredje høyrediagonalen representerer de tetraedriske tallene, den fjerde høyrediagonalen representerer Penelope-tallene og så videre.

Fibonacci-sekvens i Pascals trekant

Vi kan enkelt få Fibonacci-sekvensen ved å legge til tallene i diagonalene til Pascals trekant. Dette mønsteret er vist i bildet lagt til nedenfor,

Egenskaper for Pascals trekant

Ulike egenskaper ved Pascals trekant er,

• Hvert tall i Pascal-trekanten er summen av tallet over det.
• Start- og slutttallet i Pascals trekant er alltid 1.
• Den første diagonalen i Pascals trekant representerer det naturlige tallet eller tellende tall.
• Summen av elementene i hver rad i Pascals trekant er gitt med en potens på 2.
• Elementene i hver rad er sifrene i potensen 11.
• Pascal-trekanten er en symmetrisk trekant.
• Elementene i en hvilken som helst rad i Pascals trekant kan brukes til å representere koeffisientene til binomial ekspansjon.
• Langs diagonalen til Pascals trekant observerer vi Fibonacci-tallene.

Artikler relatert til Pascals trekant:

• Binomial teorem
• Binomiale tilfeldige variabler og binomial distribusjon

Pascals trekanteksempler

Eksempel 1: Finn femte rad i Pascals trekant.

Løsning:

Pascal-trekanten med 5 rader er vist på bildet nedenfor,

Eksempel 2: Utvid med Pascal Triangle (a + b) ² .

Løsning:

Skriv først de generiske uttrykkene uten koeffisientene.

(a + b)²= c₀en²b⁰+ c₁en¹b¹+ c₂en⁰b²

La oss nå bygge en Pascals trekant for 3 rader for å finne ut koeffisientene.

Verdiene til den siste raden gir oss verdien av koeffisientene.

c₀= 1, c₁= 2, c₂=1

(a + b)²= a²b⁰+ 2a¹b¹+ a⁰b²

Altså bekreftet.

Eksempel 3: Utvid med Pascal Triangle (a + b) ⁶ .

Løsning:

android versjonshistorikk

Skriv først de generiske uttrykkene uten koeffisientene.

(a + b)⁶= c₀en⁶b⁰+ c₁en⁵b¹+ c₂en⁴b²+ c₃en³b³+ c₄en²b⁴+ c₅en¹b⁵+ c₆en⁰b⁶

La oss nå bygge en Pascals trekant for 7 rader for å finne ut koeffisientene.

Verdiene til den siste raden gir oss verdien av koeffisientene.

c₀= 1, c₁= 6, c₂= 15, c₃= 20, c₄=15, ca₅= 6 og c₆= 1.

(a + b)⁶= 1a⁶b⁰+ 6a⁵b¹+ 15a⁴b²+ 20a³b³+ 15a²b⁴+ 6a¹b⁵+ 1a⁰b⁶

Eksempel 4: Finn det andre elementet i den tredje raden i Pascals trekant.

Løsning:

Vi må finne det andre elementet i den tredje raden i Pascals trekant.

Vi vet at den n'te raden i Pascals trekant erⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂,ⁿC_3…

Pascal Triangle Formel er,

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

hvorⁿC_krepresentere (k+1)^thelement i n^thrad.

Dermed er det andre elementet i den tredje raden,

³C₁=²C₀+²C₁

= 1 + 2

= 3

Dermed er det andre elementet i den tredje raden i Pascals trekant 3.

Eksempel 5: En mynt kastes fire ganger, finn sannsynligheten for å få nøyaktig 2 haler.

Løsning:

Ved å bruke Pascal Triangle Formula,

Totalt antall utfall = 2⁴= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Her får vi fire tilfeller der vi får 2 haler,

Dermed,

Sannsynlighet for å få Two Tails = gunstig utfall/totalt utfall

= 4/16 = 1/4

Så sannsynligheten for å få nøyaktig to haler er 1/4 eller 25 %

Sammendrag – Pascals trekant

Pascals trekant er et trekantet arrangement av tall der hvert tall er summen av de to tallene rett over det. Oppkalt etter matematikeren Blaise Pascal, starter denne trekanten med en enkelt 1 øverst, og hver rad begynner og slutter med 1. Tallene i Pascals trekant tilsvarer koeffisientene i binomialutvidelsen, noe som gjør den nyttig i algebra, sannsynlighet og kombinatorikk. Mønstre i trekanten inkluderer summen av rader som er potenser av 2, forbindelser til Fibonacci-sekvensen og tilstedeværelsen av primtall. Pascals trekant er også nyttig for å beregne kombinasjoner og forstå utfall i sannsynlighetseksperimenter, som myntkast.

Vanlige spørsmål om Pascals trekant

Hva er Pascals trekant?

Trekanten med tallet foreslått av den berømte matematikeren Balise Pascal kalles Pascals trekant. Denne trekanten begynner med 1 og i neste linje er start- og slutttallene fastsatt til å være 1, deretter genereres det midterste tallet ved å ta summen av de to ovennevnte tallene.

Hva er bruken av Pascals trekant?

Pascals trekanter har forskjellige bruksområder,

• Den brukes til å finne den binomiale koeffisienten til den binomiale ekspansjonen.
• Det gir en alternativ måte for å utvide de binomiale termene.
• Det brukes i algebra, sannsynlighetsteori, permutasjon og kombinasjon og andre grener av matematikk.

Hva er bruken av Pascals trekant i binomial ekspansjon?

Vi bruker Pascals trekant for enkelt å finne koeffisienten til et hvilket som helst ledd i den binomiale utvidelsen. En hvilken som helst rad i Pascals trekant (si n'te) representerer koeffisienten til den binomiale utvidelsen av (x+y)ⁿ. For eksempel er den andre raden i Pascals trekant 1 2 1 og utvidelsen av (x+y)²

(x+y)²= x²+ 2xy + y²

Her er koeffisienten for hvert ledd 1 2 1 som ligner den andre raden i Pascals trekant.

Hva er de forskjellige mønstrene som finnes i Pascals trekant?

Ulike mønstre som vi lett fant i Pascals trekant er:

• Trekantet mønster
• Odd og jevnt mønster
• Fibonacci mønster
• Symmetrisk mønster

Hva er 5^thRad av Pascals trekant?

Den femte raden i Pascals trekant er representert nedenfor,

1 5 10 10 5 1

Vi vet at summen av alle elementene i en rad er gitt ved å bruke 2ⁿhvor n representerer antall rader. Dermed er summen av alle leddene i den femte raden,

2⁵= 32

Hva er det første elementet i hver rad i Pascals trekant?

Det første elementet i hver rad i Pascals trekant er 1. Vi kaller dette leddet det 0. leddet i raden.