En periode er definert som tidsintervallet mellom to tidspunkter, og en periodisk funksjon er definert som en funksjon som gjentar seg med jevne mellomrom eller tidsperioder. Med andre ord er en periodisk funksjon en funksjon hvis verdier går igjen etter et spesifikt tidsintervall. En periodisk funksjon er representert som f(x + p) = f(x), hvor p er perioden til funksjonen. Sinusbølge, trekantbølge, firkantbølge og sagtannbølge er noen eksempler på periodiske funksjoner. Nedenfor er grafer av noen periodiske funksjoner, og vi kan observere at hver periodiske funksjons graf har translasjonssymmetri.

Den grunnleggende perioden for en funksjon

En periodisk funksjons domene omfatter alle reelle tallverdier mens området er spesifisert for et fast intervall. En periodisk funksjon er en der det eksisterer et positivt reelt tall P slik at f (x + p) = f (x), for alle x er reelle tall. Den fundamentale perioden til en funksjon er den minste verdien av det positive reelle tallet P eller perioden hvor en funksjon gjentar seg selv.

f(x + P) = f(x)

hvor,

P er perioden for funksjonen og f er den periodiske funksjonen.

Hvordan bestemme perioden for en funksjon?

1. En periodisk funksjon er definert som en funksjon som gjentar seg selv med jevne mellomrom eller perioder.
2. Den er representert som f(x + p) = f(x), der p er perioden for funksjonen, p ∈ R.
3. Periode betyr tidsintervallet mellom de to forekomstene av bølgen.

Perioder med trigonometriske funksjoner

Trigonometriske funksjoner er periodiske funksjoner og perioden for trigonometriske funksjoner er som følger

setinterval javascript

• Perioden for Sin x og Cos x er 2 s .

dvs. sin(x + 2π) = sin x og cos(x + 2π) = cos x

• Perioden for Tan x og Cot x er Pi.

dvs. tan(x + π) = tan x og cot(x + π) = cot x

• Perioden for Sec x og Cosec x er 2 s.

dvs. sek(x + 2π) = sek x og cosec(x + 2π) = cosec x

Perioden for funksjonen refereres til som avstanden mellom repetisjonene av en funksjon. Perioden for en trigonometrisk funksjon er lengden av en hel syklus. Amplitude er definert som den maksimale forskyvningen av en partikkel i en bølge fra likevekt. Med enkle ord er det avstanden mellom det høyeste eller laveste punktet og midtpunktet på grafen til en funksjon. I trigonometri er det tre grunnleggende funksjoner, nemlig sin, cos og tan, hvis perioder er henholdsvis 2π, 2π og π perioder. Utgangspunktet for grafen til enhver trigonometrisk funksjon tas som x = 0.

For eksempel, hvis vi observerer cosinusgrafen gitt nedenfor, kan vi se at avstanden mellom to forekomster er 2π, dvs. perioden for cosinusfunksjonen er 2π. Dens amplitude er 1.

Cosinus graf

Periodiske formler

• Hvis p er perioden til den periodiske funksjonen f (x), så er 1/f (x) også en periodisk funksjon og vil ha samme fundamentale periode på p som f(x).

Hvis f (x + p) = f (x),

F (x) = 1/f (x) , deretter F (x + p) = F (x).

• Hvis p er perioden til den periodiske funksjonen f(x), så er f (ax + b), a>0 også en periodisk funksjon med perioden p/|a|.

• Perioden for Sin (ax + b) og Cos (ax + b) er 2π/|a|.
• Perioden for Tan (ax + b) og Cot (ax + b) er π/|a|.
• Perioden til Sec (ax + b) og Cosec (ax + b) er 2π/|a|.

• Hvis p er perioden til den periodiske funksjonen f(x), så er af(x) + b, a>0 også en periodisk funksjon med perioden p.

• Perioden for [a Sin x + b] og [a Cos x + b] er 2π.
• Perioden for [a Tan x + b] og [a Cot x + b] er π.
• Perioden for [a Sec x + b] og [a Cosec x + b] er 2π.

Øv problemer basert på periodisk funksjon

Oppgave 1: Bestem perioden for den periodiske funksjonen cos(5x + 4).

Løsning:

character.compare java

Oppgitt funksjon: cos (5x + 4)

Koeffisienten til x = a = 5.

Vi vet det,

Perioden for cos x er 2π.

Så perioden for cos(5x + 4) er 2π/ |a| = 2π/5.

Derfor er perioden for cos(5x + 4) 2π/5.

Oppgave 2: Finn perioden til f(x) = barneseng 4x + sin 3x/2.

Løsning:

Gitt periodisk funksjon: f(x) = barneseng 4x + sin 3x/2

Vi vet det,

Perioden for barneseng x er π og perioden for sin x er 2π.

Så perioden for barneseng 4x er π/4.

Så perioden for synd 3x/2 er 2π/(3/2) = 4π/3.

java-inndatastreng

Nå er beregningen av perioden for funksjonen f(x) = cot 4x + sin 3x/2,

Periode for f(x) = (LCM av π og 4π)/(HCF av 3 og 4) = 4π/1 = 4π.

Derfor er perioden for barneseng 4x + sin 3x/2 4π.

Oppgave 3: Skisser grafen til y = 3 sin 3x+ 5.

Løsning:

Gitt at y = 3 sin 3x + 5

Den gitte bølgen er i form av y = a sin bx + c

Fra grafen ovenfor kan vi skrive følgende:

1. Periode = 2π/|b| = 2π/3
2. Akse: y = 0 [x-akse]
3. Amplitude: 3
4. Maksimal verdi = (3 × 1) + 5 = 8
5. Minimumsverdi = (3 × -1) + 5 = 2
6. Domene: { x : x ∈ R }
7. Område = [ 8, 2]

Oppgave 4: Bestem perioden for den gitte periodiske funksjonen 5 sin(2x + 3).

Løsning:

java stack

Oppgitt funksjon: 5 sin(2x + 3)

Koeffisienten til x = a = 2.

Vi vet det,

Perioden for cos x er 2π.

Så perioden med 5 sin(2x + 3) er 2π/ |a| = 2π/2 = π.

Derfor er perioden på 5 sin(2x + 3) π.

Oppgave 5: Finn perioden til f (x) = tan 3x + cos 5x.

Løsning:

Gitt periodisk funksjon: f(x) =tan 3x + cos 6x.

Vi vet det,

Perioden for tan x er π og perioden for cos x er 2π.

java-streng sammenlignet

Så perioden for tan 3x er π/3.

Så perioden for cos 6x er 2π/5.

Nå er beregningen av perioden for funksjonen f(x) = tan 3x + cos 6x,

Periode for f(x) = (LCM av π og 2π)/(HCF av 3 og 5) = 2π/1 = 2π.

Derfor er perioden for f (x) = tan 3x + cos 5x 2π.