Permutasjon og kombinasjon er de mest grunnleggende konseptene i matematikk, og med disse konseptene introduseres en ny gren av matematikk for studenter, dvs. kombinatorikk. Permutasjon og kombinasjon er måtene å ordne en gruppe objekter ved å velge dem i en bestemt rekkefølge og danne deres undersett.

For å ordne grupper av data i en bestemt rekkefølge brukes permutasjons- og kombinasjonsformler. Å velge data eller objekter fra en bestemt gruppe sies å være permutasjon, mens rekkefølgen de er ordnet i kalles en kombinasjon.

Permutasjoner og kombinasjoner

I denne artikkelen vil vi studere konseptet permutasjon og kombinasjon og deres formler, og bruke disse til å løse mange prøveproblemer også.

Innholdsfortegnelse

• Betydning av permutasjon
• Kombinasjon Betydning
• Utledning av permutasjons- og kombinasjonsformler
• Forskjellen mellom permutasjon og kombinasjon
• Løste eksempler på permutasjon og kombinasjon

Betydning av permutasjon

Permutasjon er de distinkte tolkningene av et gitt antall komponenter som bæres én etter én, eller noen, eller alle om gangen. For eksempel, hvis vi har to komponenter A og B, så er det to sannsynlige ytelser, AB og BA.

Et antall permutasjoner når 'r'-komponenter er plassert ut av totalt 'n'-komponenter ⁿ P _r . La for eksempel n = 3 (A, B og C) og r = 2 (Alle permutasjoner av størrelse 2). Så er det ³ P ₂ slike permutasjoner, som er lik 6. Disse seks permutasjonene er AB, AC, BA, BC, CA og CB. De seks permutasjonene av A, B og C tatt tre om gangen er vist i bildet lagt til nedenfor:

Betydning av permutasjon

Permutasjonsformel

Permutasjonsformel brukes til å finne antall måter å velge på r ting ut av n forskjellige ting i en bestemt rekkefølge og erstatning er ikke tillatt og gis som følger:

Permutasjonsformel

Forklaring av Permutasjonsformel

Som vi vet, er permutasjon en ordning av r ting ut av n hvor rekkefølgen på ordningen er viktig( AB og BA er to forskjellige permutasjoner). Hvis det er tre forskjellige tall 1, 2 og 3 og hvis noen er nysgjerrige på å permutere tallene med 2 på et øyeblikk, viser det (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3) ), (3, 1) og (3, 2). Det vil si at det kan oppnås på 6 metoder.

Her er (1, 2) og (2, 1) forskjellige. Igjen, hvis disse 3 tallene skal settes håndtering alle om gangen, vil tolkningene være (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1) ), (3, 1, 2) og (3, 2, 1) dvs. på 6 måter.

Generelt kan n distinkte ting settes med r (r^thting kan være hvilken som helst av de gjenværende n – (r – 1) tingene.

Derfor er hele antallet permutasjoner av n distinkte ting som bærer r om gangen n(n – 1)(n – 2)...[n – (r – 1)] som er skrevet somⁿP_r. Eller med andre ord,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Kombinasjon Betydning

Det er de distinkte delene av et delt antall komponenter som bæres én etter én, eller noen, eller alle om gangen. For eksempel, hvis det er to komponenter A og B, så er det bare én måte å velge to ting på, velg begge.

La for eksempel n = 3 (A, B og C) og r = 2 (Alle kombinasjoner av størrelse 2). Så er det ³ C ₂ slike kombinasjoner, som er lik 3. Disse tre kombinasjonene er AB, AC og BC.

Her, den kombinasjon av hvilke som helst to bokstaver av tre bokstaver A, B og C er vist nedenfor, legger vi merke til at i kombinasjon er rekkefølgen som A og B er tatt ikke viktig ettersom AB og BA representerer samme kombinasjon.

Kombinasjon Betydning

Merk: I samme eksempel har vi distinkte punkter for permutasjon og kombinasjon. For, AB og BA er to forskjellige elementer, dvs. to forskjellige permutasjoner, men for å velge er AB og BA de samme, dvs. samme kombinasjon.

Kombinasjonsformel

Kombinasjonsformel brukes til å velge 'r'-komponenter av et totalt antall 'n'-komponenter, og er gitt av:

Kombinasjonsformel

Ved å bruke formelen ovenfor for r og (n-r), får vi det samme resultatet. Dermed,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Forklaring av kombinasjonsformel

Kombinasjon er derimot en type pakke. Igjen, av disse tre tallene 1, 2 og 3 hvis sett er opprettet med to tall, så er kombinasjonene (1, 2), (1, 3) og (2, 3).

Her er (1, 2) og (2, 1) identiske, i motsetning til permutasjoner der de er forskjellige. Dette er skrevet som³C₂. Generelt er antallet kombinasjoner av n distinkte ting tatt r om gangen,

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Utledning av permutasjons- og kombinasjonsformler

Vi kan utlede disse permutasjons- og kombinasjonsformlene ved å bruke de grunnleggende tellemetodene, da disse formlene representerer det samme. Avledning av disse formlene er som følger:

Formel for avledning av permutasjoner

Permutasjon er å velge r distinkte objekter fra n objekter uten erstatning, og hvor rekkefølgen av utvalg er viktig, ved den grunnleggende teoremet om telling og definisjonen av permutasjon, får vi

P (n, r) = n . (n-1). (n-2). (n-3). . . . .(n-(r+1))

Ved å multiplisere og dele over med (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, får vi

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Dermed er formelen for P (n, r) utledet.

Formel for avledning av kombinasjoner

Kombinasjon er å velge r elementer av n elementer når rekkefølgen på utvalg er uten betydning. Formelen beregnes som,

C(n, r) = Totalt antall permutasjoner /Antall måter å ordne r forskjellige objekter på.
[Siden ved den grunnleggende teoremet om telling, vet vi at antallet måter å ordne r forskjellige objekter på r måter = r!]

C(n,r) = P (n, r)/ r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Dermed er formelen for kombinasjon, dvs. C(n, r) utledet.

Forskjellen mellom permutasjon og kombinasjon

Forskjeller mellom permutasjon og kombinasjon kan forstås av følgende tabell:

Sjekk også,

• Binomial teorem
• Binomial utvidelse
• Binomiale tilfeldige variabler
• Grunnleggende teorem for telling

Løste eksempler på permutasjon og kombinasjon

Eksempel 1: Finn antall permutasjoner og kombinasjoner av n = 9 og r = 3 .

Løsning:

Gitt, n = 9, r = 3

Ved å bruke formelen ovenfor:

For permutasjon:

ⁿP_r= (n!) / (n – r)!

⇒ⁿP_r= (9!) / (9 – 3)!

⇒ⁿP_r= 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6!

⇒ ⁿ P _r = 504

For kombinasjon:

ⁿC_r= n!/r!(n − r)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(9 − 3)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(6)!

⇒ⁿC_r= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ⁿ C _r = 84

Eksempel 2: På hvor mange måter kan en komité bestående av 4 menn og 2 kvinner velges blant 6 menn og 5 kvinner?

Løsning:

Velg 4 menn av 6 menn =⁶C₄måter = 15 måter

Velg 2 kvinner av 5 kvinner =⁵C₂måter = 10 måter

Komiteen kan velges i⁶C₄×⁵C₂= 150 måter.

Eksempel 3: På hvor mange måter kan 5 forskjellige bøker ordnes på en hylle?

Løsning:

Dette er et permutasjonsproblem fordi rekkefølgen på bøkene betyr noe.

Ved å bruke permutasjonsformelen får vi:

⁵P₅= 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Derfor er det 120 måter å arrangere 5 forskjellige bøker på en hylle.

Eksempel 4: Hvor mange 3-bokstavsord kan dannes ved å bruke bokstavene fra ordet FABEL?

Løsning:

les json-filer

Dette er et permutasjonsproblem fordi rekkefølgen på bokstavene betyr noe.

Ved å bruke permutasjonsformelen får vi:

⁵P₃= 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Derfor er det 60 3-bokstavsord som kan dannes ved hjelp av bokstavene fra ordet FABEL.

Eksempel 5: Det skal dannes en komité på 5 medlemmer fra en gruppe på 10 personer. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning:

Dette er et kombinasjonsproblem fordi rekkefølgen på medlemmene spiller ingen rolle.

Ved å bruke kombinasjonsformelen får vi:

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Derfor er det 252 måter å danne en komité på 5 medlemmer fra en gruppe på 10 personer.

Eksempel 6: En pizzarestaurant tilbyr 4 forskjellige pålegg til pizzaene sine. Hvis en kunde ønsker å bestille en pizza med nøyaktig 2 pålegg, på hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning:

Dette er et kombinasjonsproblem fordi rekkefølgen på påleggene ikke spiller noen rolle.

Ved å bruke kombinasjonsformelen får vi:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Derfor er det 6 måter å bestille en pizza med nøyaktig 2 pålegg fra 4 forskjellige pålegg.

Eksempel 7: Hvor store ord kan lages ved å bruke 2 bokstaver fra begrepet KJÆRLIGHET?

Løsning:

Begrepet LOVE har 4 forskjellige bokstaver.

Derfor er nødvendig antall ord =⁴P₂= 4! / (4 – 2)!

Nødvendig antall ord = 4! / 2! = 24/2

⇒ Nødvendig antall ord = 12

Eksempel 8: Hvor mange ord med 3 konsonanter og 2 vokaler kan dannes av 5 konsonanter og 3 vokaler?

Løsning:

Antall måter å velge 3 konsonanter fra 5 =⁵C₃

Antall måter å velge 2 vokaler fra 3 =³C₂

Antall måter å velge 3 konsonanter fra 2 og 2 vokaler fra 3 =⁵C₃׳C₂

⇒ Nødvendig antall = 10 × 3

= 30

Det betyr at vi kan ha 30 grupper der hver gruppe inneholder totalt 5 bokstaver (3 konsonanter og 2 vokaler).

Antall måter å ordne 5 bokstaver seg imellom

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Derfor er det nødvendige antallet måter = 30 × 120

⇒ Nødvendig antall måter = 3600

Eksempel 9: Hvor mange forskjellige kombinasjoner får du hvis du har 5 elementer og velger 4?

Løsning:

Sett inn de gitte tallene i kombinasjonslikningen og løs. n er antall elementer som er i settet (5 i dette eksemplet); r er antall elementer du velger (4 i dette eksemplet):

C(n, r) = n! /r! (n – r)!

⇒ⁿC_r= 5! / 4! (5 – 4)!

⇒ⁿC_r= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒ⁿC_r= 120/24

⇒ⁿC_r= 5

Løsningen er 5.

Eksempel 10: Av 6 konsonanter og 3 vokaler, hvor mange uttrykk av 2 konsonanter og 1 vokal kan lages?

Løsning:

Antall måter å velge 2 konsonanter fra 6 =⁶C₂

Antall måter å velge 1 vokal fra 3 =³C₁

Antall måter å velge 3 konsonanter fra 7 og 2 vokaler fra 4.

⇒ Nødvendige måter =⁶C₂׳C₁

⇒ Nødvendige måter = 15 × 3

⇒ Nødvendige måter= 45

Det betyr at vi kan ha 45 grupper der hver gruppe inneholder totalt 3 bokstaver (2 konsonanter og 1 vokaler).

Antall måter å ordne 3 bokstaver seg imellom = 3! = 3 × 2 × 1

⇒ Nødvendige måter å ordne tre bokstaver = 6

Derfor er det nødvendige antallet måter = 45 × 6

⇒ Påkrevde måter = 270

Eksempel 11: I hvor mange distinkte former kan bokstavene i begrepet 'TELEFON' organiseres slik at vokalene konsekvent komme sammen?

Løsning:

Ordet 'TELEFON' har 5 bokstaver. Den har vokalene 'O',' E', og disse 2 vokalene bør konsekvent komme sammen. Dermed kan disse to vokalene grupperes og sees på som en enkelt bokstav. Det vil si PHN(OE).

Derfor kan vi ta totalt bokstaver som 4 og alle disse bokstavene er forskjellige.

Antall metoder for å organisere disse bokstavene = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Nødvendige måter å ordne bokstaver på = 24

Alle de 2 vokalene (OE) er forskjellige.

Antall måter å ordne disse vokalene seg imellom = 2! = 2 × 1

⇒ Nødvendige måter å ordne vokaler på = 2

Derfor er det nødvendige antallet måter = 24 × 2

⇒ Nødvendige måter = 48.

Vanlige spørsmål om permutasjoner og kombinasjoner

Hva er faktorformelen?

Faktoriell formel brukes for beregning av permutasjoner og kombinasjoner. Faktorialformelen for n! er gitt som

n! = n × (n-1) × . . . × 4 × 3 × 2 × 1

For eksempel 3! = 3 × 2 × 1 = 6 og 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Hva gjør ⁿ C _r representere?

ⁿC_rrepresenterer antall kombinasjoner som kan lages fra n gjenstander tar r om gangen.

Hva mener du med permutasjoner og kombinasjoner?

En permutasjon er en handling for å arrangere ting i en bestemt rekkefølge. Kombinasjoner er måtene å velge på r gjenstander fra en gruppe av n objekter, der rekkefølgen på det valgte objektet ikke påvirker den totale kombinasjonen.

Skriv eksempler på permutasjoner og kombinasjoner.

Antall ord på 3 bokstaver som kan dannes ved å bruke bokstavene i ordet sier, HEI;⁵P₃= 5!/(5-3)! dette er et eksempel på en permutasjon.
Antall kombinasjoner vi kan skrive ordene ved å bruke vokalene til ordet HELLO;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], dette er et eksempel på en kombinasjon.

Skriv formelen for å finne permutasjoner og kombinasjoner.

• Formel for beregning av permutasjoner: ⁿ Pr = n!/(n-r)!
• Formel for beregning av kombinasjoner: ⁿ Cr = n!/[r! (n-r)!]

Skriv noen virkelige eksempler på permutasjoner og kombinasjoner.

Sortering av personer, tall, bokstaver og farger er noen eksempler på permutasjoner.
Valg av meny, klær og emner er eksempler på kombinasjoner.

Hva er verdien av 0!?

Verdien av 0! = 1, er veldig nyttig for å løse permutasjons- og kombinasjonsproblemene.