Predikatlogikk omhandler predikater, som er proposisjoner, består av variabler.

Predikatlogikk - Definisjon

Et predikat er et uttrykk for en eller flere variabler bestemt på et bestemt domene. Et predikat med variabler kan lages til en proposisjon ved enten å autorisere en verdi til variabelen eller ved å kvantifisere variabelen.

• Tenk på at E(x, y) angir 'x = y'
• Tenk på at X(a, b, c) angir 'a + b + c = 0'
• Tenk på at M(x, y) angir 'x er gift med y.'

Kvantifier:

Variabelen av predikater er kvantifisert av kvantifiserere. Det er to typer kvantifiserer i predikatlogikk - Eksistensiell kvantifiserer og Universalkvantifiserer.

Eksistensiell kvantifier:

Hvis p(x) er en proposisjon over universet U. Da er den betegnet som ∃x p(x) og lest som 'Det finnes minst én verdi i universet av variabel x slik at p(x) er sann. Kvantifisereren ∃ kalles den eksistensielle kvantifisereren.

Det er flere måter å skrive en proposisjon på, med en eksistensiell kvantifier, dvs.

(∃x∈A)p(x) eller ∃x∈A slik at p (x) eller (∃x)p(x) eller p(x) er sant for noen x ∈A.

Universal kvantifier:

Hvis p(x) er en proposisjon over universet U. Da er den betegnet som ∀x,p(x) og lest som 'For hver x∈U, er p(x) sann.' Kvantifikatoren ∀ kalles Universal Quantifier.

Det er flere måter å skrive en proposisjon på, med en universell kvantifiserer.

∀x∈A,p(x) eller p(x), ∀x ∈A Eller ∀x,p(x) eller p(x) er sann for alle x ∈A.

Negering av kvantifiserte forslag:

Når vi negerer en kvantifisert proposisjon, dvs. når en universelt kvantifisert proposisjon er negert, får vi en eksistensielt kvantifisert proposisjon, og når en eksistensielt kvantifisert proposisjon er negert, får vi en universelt kvantifisert proposisjon.

De to reglene for negasjon av kvantifisert proposisjon er som følger. Disse kalles også DeMorgans lov.

Eksempel: Forkast hvert av følgende forslag:

1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)

Sol: ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y∼q(y)

2. (∃x∈U) (x+6=25)

Sol: ~( ∃ x∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25

3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)

Sol: ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x ∼ p(x)∧∃y~q(y))

Proposisjoner med flere kvantifiserere:

Forslaget som har mer enn én variabel kan kvantifiseres med flere kvantifiserere. De multiple universelle kvantifikatorene kan ordnes i hvilken som helst rekkefølge uten å endre betydningen av den resulterende proposisjonen. Dessuten kan de flere eksistensielle kvantifikatorene ordnes i hvilken som helst rekkefølge uten å endre betydningen av proposisjonen.

Proposisjonen som inneholder både universelle og eksistensielle kvantifiserere, rekkefølgen på disse kvantifikatorene kan ikke utveksles uten å endre betydningen av proposisjonen, for eksempel betyr proposisjonen ∃x ∀ y p(x,y) 'Det finnes noen x slik at p (x, y) er sant for hver y.'

hvis og annet i bash

Eksempel: Skriv negasjonen for hver av de følgende. Finn ut om det resulterende utsagnet er sant eller usant. Anta U = R.

1.∀ x ∃ m(x²

Sol: Negasjon av ∀ x ∃ m(x²2≧m). Betydningen av ∃ x ∀ m (x²≧m) er at det eksisterer for noen x slik at x²≧m, for hver m. Utsagnet er sant ettersom det er noe større x slik at x²≧m, for hver m.

2. ∃ m∀ x(x²

Sol: Negering av ∃ m ∀ x (x²2≧m). Betydningen av ∀ m∃x (x²≧m) er at for hver m eksisterer det for noen x slik at x²≧m. Utsagnet er sant som for hver m, det eksisterer for noen større x slik at x²≧m.