logo

TechCodeview

Primtall

Hva er primtall?

EN primtall er definert som et naturlig tall større enn 1 og er delelig med bare 1 og seg selv.

Med andre ord er primtallet et positivt heltall større enn 1 som har nøyaktig to faktorer, 1 og selve tallet. De første primtallene er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. . .



Merk: 1 er verken primtall eller sammensatt. De resterende tallene, bortsett fra 1, er klassifisert som primtall og sammensatte tall.

primtall

Noen interessante fakta om primtall:

  • Bortsett fra 2, som er den minste primtall og det eneste partallsprimtall, alle primtall er oddetall.
  • Hvert primtall kan representeres i form av 6n + 1 eller 6n – 1 unntatt primtallene 2 og 3 , hvor n er et hvilket som helst naturlig tall.
  • 2 og 3 er bare to påfølgende naturlige tall som er primtall.
  • Goldbach formodning: Hvert partall større enn 2 kan uttrykkes som summen av to primtall.
  • Wilson teorem : Wilsons teorem sier at et naturlig tall p> 1 er et primtall hvis og bare hvis

(s – 1) ! ≡ -1 mot p
ELLER,
(s – 1) ! ≡ (p-1) mod s



enn-1≡ 1 (mod n)
ELLER,
enn-1% n = 1

  • Primtallssetning : Sannsynligheten for at et gitt, tilfeldig valgt tall n er primtall er omvendt proporsjonal med dets antall sifre, eller med logaritmen til n.
  • Lemoines formodning : Ethvert oddetall større enn 5 kan uttrykkes som summen av et oddetall (alle primtall bortsett fra 2 er oddetall) og et partall semiprimtall. Et semiprimtall er et produkt av to primtall. Dette kalles Lemoines formodning.

Egenskaper til primtall:

  • Hvert tall større enn 1 kan deles på minst ett primtall.
  • Hvert jevnt positivt heltall større enn 2 kan uttrykkes som summen av to primtall.
  • Bortsett fra 2 er alle andre primtall oddetall. Med andre ord kan vi si at 2 er det eneste partallsprimtallet.
  • To primtall er alltid coprime til hverandre.
  • Hvert sammensatt tall kan innregnes i primfaktorer, og hver for seg er alle disse unike i naturen.

Primtall og co-primtall:

Det er viktig å skille mellom primtall og co-primtall . Listet nedenfor er forskjellene mellom primtall og co-primtall.

  • Coprimtall betraktes alltid som et par, mens et primtall er et enkelt tall.
  • Co-primtall er tall som ikke har noen felles faktor bortsett fra 1. I motsetning til dette har ikke primtall en slik tilstand.
  • Et co-primtall kan enten være primtall eller sammensatt, men dets største fellesfaktor (GCF) må alltid være 1. I motsetning til sammensatte tall har primtall bare to faktorer, 1 og selve tallet.
  • Eksempel på co-priming: 1. 3 og 15 er co-prime. Faktorene 13 er 1 og 13 og faktorene 15 er 1, 3 og 5. Vi kan se at de bare har 1 som felles faktor, derfor er de coprimtall.
  • Eksempel på primtall: Noen få eksempler på primtall er 2, 3, 5, 7 og 11 osv.

Hvordan sjekke om et tall er primtall eller ikke?

Naiv tilnærming: Den naive tilnærmingen er å



Iterer fra 2 til (n-1) og sjekk om et tall i dette området deler seg n . Hvis tallet deler seg n , så er det ikke et primtall.

Tidskompleksitet: PÅ)
Hjelpeplass: O(1)

Naiv tilnærming (rekursiv): Rekursjon kan også brukes til å sjekke om et tall mellom 2 til n – 1 deler n. Hvis vi finner et tall som deler, returnerer vi usant.

Nedenfor er implementeringen av ideen ovenfor:

C++




// C++ program to check whether a number> // is prime or not using recursion> #include> using> namespace> std;> > // function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(>int> n)> {> >static> int> i = 2;> > >// corner cases> >if> (n == 0 || n == 1) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)> >return> true>;> > >// base cases> >if> (n % i == 0) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> }> > // Driver Code> int> main()> {> > >isPrime(35) ? cout <<>' true '> : cout <<>' false '>;> >return> 0;> }> > // This code is contributed by yashbeersingh42> 

>

>

Java




// Java program to check whether a number> // is prime or not using recursion> import> java.io.*;> > class> GFG {> > >static> int> i =>2>;> > >// Function check whether a number> >// is prime or not> >public> static> boolean> isPrime(>int> n)> >{> > >// Corner cases> >if> (n ==>0> || n ==>1>) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)> >return> true>;> > >// Base cases> >if> (n % i ==>0>) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> >}> > >// Driver Code> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(>35>)) {> >System.out.println(>'true'>);> >}> >else> {> >System.out.println(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by divyeshrabadiya07> 

>

>

Python3




# Python3 program to check whether a number> # is prime or not using recursion> > # Function check whether a number> # is prime or not> > > def> isPrime(n, i):> > ># Corner cases> >if> (n>=>=> 0> or> n>=>=> 1>):> >return> False> > ># Checking Prime> >if> (n>=>=> i):> >return> True> > ># Base cases> >if> (n>%> i>=>=> 0>):> >return> False> > >i>+>=> 1> > >return> isPrime(n, i)> > > # Driver Code> if> (isPrime(>35>,>2>)):> >print>(>'true'>)> else>:> >print>(>'false'>)> > # This code is contributed by bunnyram19> 

>

>

C#




// C# program to check whether a number> // is prime or not using recursion> using> System;> class> GFG {> > >static> int> i = 2;> > >// function check whether a number> >// is prime or not> >static> bool> isPrime(>int> n)> >{> > >// corner cases> >if> (n == 0 || n == 1) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)> >return> true>;> > >// base cases> >if> (n % i == 0) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> >}> > >static> void> Main()> >{> >if> (isPrime(35)) {> >Console.WriteLine(>'true'>);> >}> >else> {> >Console.WriteLine(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by divyesh072019> 

>

>

Javascript




> >// JavaScript program to check whether a number> >// is prime or not using recursion> > >// function check whether a number> >// is prime or not> >var> i = 2;> > >function> isPrime(n) {> > >// corner cases> >if> (n == 0 || n == 1) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)>return> true>;> > >// base cases> >if> (n % i == 0) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> >}> > >// Driver Code> > >isPrime(35) ? document.write(>' true '>) : document.write(>' false '>);> > >// This code is contributed by rdtank.> >>

.neste java 

>

>

Produksjon 

 false>

Tidskompleksitet: PÅ)
Hjelpeplass: O(N) hvis vi vurderer rekursjonsstakken. Ellers er det O(1).

Effektiv tilnærming: En effektiv løsning er å:

Iterer gjennom alle tall fra 2 å skvadratrot av n og for hvert tall sjekk om det deler n [fordi hvis et tall er uttrykt som n = xy og hvilken som helst av x eller y er større enn roten av n, den andre må være mindre enn rotverdien]. Hvis vi finner et tall som deler, returnerer vi usant.

Nedenfor er implementeringen:

C++14




// A school method based C++ program to> // check if a number is prime> #include> using> namespace> std;> > // Function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(>int> n)> {> >// Corner case> >if> (n <= 1)> >return> false>;> > >// Check from 2 to square root of n> >for> (>int> i = 2; i <=>sqrt>(n); i++)> >if> (n % i == 0)> >return> false>;> > >return> true>;> }> > // Driver Code> int> main()> {> >isPrime(11) ? cout <<>'true '> : cout <<>'false '>;> >return> 0;> }> 

>

>

Java




// A school method based Java program to> // check if a number is prime> import> java.lang.*;> import> java.util.*;> > class> GFG {> > >// Check for number prime or not> >static> boolean> isPrime(>int> n)> >{> > >// Check if number is less than> >// equal to 1> >if> (n <=>1>)> >return> false>;> > >// Check if number is 2> >else> if> (n ==>2>)> >return> true>;> > >// Check if n is a multiple of 2> >else> if> (n %>2> ==>0>)> >return> false>;> > >// If not, then just check the odds> >for> (>int> i =>3>; i <= Math.sqrt(n); i +=>2>) {> >if> (n % i ==>0>)> >return> false>;> >}> >return> true>;> >}> > >// Driver code> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(>19>))> >System.out.println(>'true'>);> > >else> >System.out.println(>'false'>);> >}> }> > // This code is contributed by Ronak Bhensdadia> 

>

>

Python3




# A school method based Python3 program> # to check if a number is prime> > > # import sqrt from math module> from> math>import> sqrt> > > > # Function check whether a number> # is prime or not> def> isPrime(n):> > ># Corner case> >if> (n <>=> 1>):> >return> False> > ># Check from 2 to sqrt(n)> >for> i>in> range>(>2>,>int>(sqrt(n))>+>1>):> >if> (n>%> i>=>=> 0>):> >return> False> > >return> True> > > # Driver Code> if> __name__>=>=> '__main__'>:> >if> isPrime(>11>):> >print>(>'true'>)> >else>:> >print>(>'false'>)> > # This code is contributed by Sachin Bisht> 

>

>

C#




// A school method based C# program to> // check if a number is prime> using> System;> > class> GFG {> > >// Function check whether a> >// number is prime or not> >static> bool> isPrime(>int> n)> >{> >// Corner case> >if> (n <= 1)> >return> false>;> > >// Check from 2 to sqrt(n)> >for> (>int> i = 2; i <= Math.Sqrt(n); i++)> >if> (n % i == 0)> >return> false>;> > >return> true>;> >}> > >// Driver Code> >static> void> Main()> >{> >if> (isPrime(11))> >Console.Write(>'true'>);> > >else> >Console.Write(>'false'>);> >}> }> > // This code is contributed by Sam007> 

>

>

Javascript

nummer alfabetet




// A school method based Javascript program to> // check if a number is prime> > > // Function check whether a number> // is prime or not> function> isPrime(n)> {> >// Corner case> >if> (n <= 1)> >return> false>;> > >// Check from 2 to n-1> >for> (let i = 2; i if (n % i == 0) return false; return true; } // Driver Code isPrime(11) ? console.log(' true') : console.log(' false'); // This code is contributed by Mayank Tyagi> 

>

>

PHP




// A school method based PHP program to // check if a number is prime // Function check whether a number // is prime or not function isPrime($n) { // Corner case if ($n <= 1) return false; // Check from 2 to n-1 for ($i = 2; $i <$n; $i++) if ($n % $i == 0) return false; return true; } // Driver Code if(isPrime(11)) echo('true'); else echo('false'); // This code is contributed by Ajit. ?>> 

>

>

Produksjon 

true>

Tidskompleksitet: O(sqrt(n))
Ekstra plass: O(1)

En annen effektiv tilnærming: Følg ideen nedenfor for å sjekke om tallet er primtall eller ikke:

Vi vil ta for oss noen få tall som 1, 2, 3, og tallene som er delbare med 2 og 3 i separate tilfeller og for gjenværende tall. Iterer fra 5 til sqrt(n) og sjekk for hver iterasjon om (den verdien) eller (den verdien + 2) deler n eller ikke, og øk verdien med 6 [fordi enhver primtall kan uttrykkes som 6n+1 eller 6n-1 ]. Hvis vi finner et tall som deler, returnerer vi usant.

Nedenfor er implementeringen av ideen ovenfor:

C++


sleng inn java unntakshåndtering



// A school method based C++ program to> // check if a number is prime> #include> using> namespace> std;> > // Function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(>int> n)> > > // Driver Code> int> main()> {> >isPrime(11) ? cout <<>'true '> : cout <<>'false '>;> >return> 0;> }> // This code is contributed by Suruchi kumari> 

>

>

C




// A school method based C program to> // check if a number is prime> #include> #include> > // Function check whether a number> // is prime or not> int> isPrime(>int> n)> n % 3 == 0)> >return> 0;> >// Check from 5 to square root of n> >// Iterate i by (i+6)> >for> (>int> i = 5; i * i <= n; i = i + 6)> >if> (n % i == 0> > // Driver Code> int> main()> {> >if> (isPrime(11) == 1)> >printf>(>'true '>);> >else> >printf>(>'false '>);> >return> 0;> }> // This code is contributed by Suruchi Kumari> 

>

>

Java




// Java program to check whether a number> import> java.lang.*;> import> java.util.*;> > class> GFG {> > >// Function check whether a number> >// is prime or not> >public> static> boolean> isPrime(>int> n)> >> >if> (n <=>1>)> >return> false>;> > >// Check if n=2 or n=3> >if> (n ==>2> > > >// Driver Code> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(>11>)) {> >System.out.println(>'true'>);> >}> >else> {> >System.out.println(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by Sayan Chatterjee> 

>

>

Python3




import> math> > def> is_prime(n:>int>)>->>>bool>:> > ># Check if n=1 or n=0> >if> n <>=> 1>:> >return> 'false'> > ># Check if n=2 or n=3> >if> n>=>=> 2> or> n>=>=> 3>:> >return> 'true'> > ># Check whether n is divisible by 2 or 3> >if> n>%> 2> =>=> 0> or> n>%> 3> =>=> 0>:> >return> 'false'> > ># Check from 5 to square root of n> ># Iterate i by (i+6)> >for> i>in> range>(>5>,>int>(math.sqrt(n))>+>1>,>6>):> >if> n>%> i>=>=> 0> or> n>%> (i>+> 2>)>=>=> 0>:> >return> 'false'> > >return> 'true'> > if> __name__>=>=> '__main__'>:> >print>(is_prime(>11>))> 

>

>

C#




// C# program to check whether a number> using> System;> class> GFG {> > >// Function check whether a number> >// is prime or not> >public> static> bool> isPrime(>int> n)> >> > >// Driver Code> >public> static> void> Main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(11)) {> >Console.WriteLine(>'true'>);> >}> >else> {> >Console.WriteLine(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by Abhijeet> // Kumar(abhijeet_19403)> 

>

>

Javascript




// A school method based JS program to> // check if a number is prime> > > // Function check whether a number> // is prime or not> function> isPrime(n)> n % (i + 2) == 0)> >return> false>;> > >return> true>;> > > // Driver Code> isPrime(11) ? console.log(>'true'>) : console.log(>'false'>);> > > // This code is contributed by phasing17> 

>

>

Produksjon 

true>

Tidskompleksitet: O(sqrt(n))
Ekstra plass: O(1)

Effektive løsninger

  • Primalitetstest | Sett 1 (introduksjon og skolemetode)
  • Primalitetstest | Sett 2 (Fermat-metode)
  • Primalitetstest | Sett 3 (Miller–Rabin)
  • Primalitetstest | Sett 4 (Solovay-Strassen)
  • Lucas Primalitetstest

Algoritmer for å finne alle primtall mindre enn N.

  • Sil av Eratosthenes
  • Sil av Eratosthenes i 0(n) tidskompleksitet
  • Segmentert sil
  • Sil av Sundaram
  • Bitvis Sil
  • Nylige artikler om Sieve!

Flere problemer knyttet til primtall

  • Finn to distinkte primtall med en gitt produkt
  • Skriv ut alle primtall mindre enn eller lik N
  • Rekursivt program for primtall
  • Finn to primtall med en gitt sum
  • Finn det høyest forekommende sifferet i primtall i et område
  • Prime Factorization ved hjelp av Sieve O(log n) for flere spørringer
  • Program for å skrive ut alle primfaktorer for et gitt tall
  • Minste primfaktor for tall til n
  • Hovedfaktorer for LCM av array-elementer – techcodeview.com
  • Program for Goldbachs formodning
  • Primtall og Fibonacci
  • Sammensatt tall
  • Nylige artikler om primtall!