Proposisjonell logikk er en gren av matematikk som studerer de logiske relasjonene mellom proposisjoner (eller utsagn, setninger, påstander) tatt som en helhet, og koblet sammen via logiske koblinger.

I denne artikkelen har vi dekket i detalj om proposisjonell logikk og relaterte emner.

Innholdsfortegnelse

• Hva er logikk?
• Proposisjonell logikk
• Sannhetstabell
• 1. Negasjon
• 2. Konjunksjon
• 3. Disjunksjon
• 4. Eksklusiv eller
• 5. Implikasjon
• 6. Bibetinget eller dobbel implikasjon

Hva er logikk?

Logikk er grunnlaget for all matematisk resonnement og all automatisert resonnering. Logikkens regler spesifiserer betydningen av matematiske utsagn. Disse reglene hjelper oss å forstå og resonnere med utsagn som –

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Som på enkel engelsk betyr Det finnes et heltall som ikke er summen av to kvadrater .

Viktigheten av matematisk logikk

Logikkens regler gir nøyaktig mening til matematiske utsagn. Disse reglene brukes til å skille mellom gyldige og ugyldige matematiske argumenter. Bortsett fra dens betydning for å forstå matematisk resonnement, har logikk mange bruksområder innen informatikk, som varierer fra design av digitale kretser til konstruksjon av dataprogrammer og verifisering av programmers riktighet.

Proposisjonell logikk

Hva er et forslag? Et forslag er logikkens grunnleggende byggestein. Det er definert som en deklarativ setning som enten er sann eller usann, men ikke begge deler. De Sannhetsverdi av en proposisjon er True (betegnet som T) hvis det er en sann uttalelse, og False (betegnet som F) hvis det er en usant utsagn. For eksempel,

1. Solen står opp i øst og går ned i vest.
2. 1 + 1 = 2
3. 'b' er en vokal.

Alle setningene ovenfor er forslag, der de to første er gyldige (sann) og den tredje er ugyldige (falske). Noen setninger som ikke har en sannhetsverdi eller kan ha mer enn én sannhetsverdi, er ikke proposisjoner. For eksempel,

1. Hva er klokka?
2. Gå ut og lek
3. x + 1 = 2

Setningene ovenfor er ikke påstander da de to første ikke har en sannhetsverdi, og den tredje kan være sann eller usann. For å representere forslag, proposisjonelle variabler er brukt. Ved konvensjon er disse variablene representert med små alfabeter som f.eksp,:q,:r,:s . Området for logikk som omhandler proposisjoner kalles proposisjonskalkyle eller proposisjonell logikk . Det inkluderer også å produsere nye forslag ved å bruke eksisterende. Proposisjoner konstruert ved hjelp av en eller flere proposisjoner kalles sammensatte forslag . Forslagene er kombinert sammen vha Logiske koblinger eller Logiske operatører .

Proposisjonell logikk

hva gjør en pc rask

Sannhetstabell

Siden vi trenger å vite sannhetsverdien til en proposisjon i alle mulige scenarier, vurderer vi alle mulige kombinasjoner av proposisjonene som er slått sammen av logiske forbindelser for å danne den gitte sammensatte proposisjonen. Denne samlingen av alle mulige scenarier i et tabellformat kalles en sannhetstabell . Mest vanlige logiske koblinger-

1. Negasjon

Hvisp er et forslag, så negasjonen avp er betegnet med eg p , som når oversatt til enkelt engelsk betyr- Det er ikke slik at s eller rett og slett ikke s . Sannhetsverdien av -s er det motsatte av sannhetsverdien av s . Sannhetstabellen til -s er:

Eksempel, Negasjon av Det regner i dag, er Det er ikke slik det regner i dag eller rett og slett Det regner ikke i dag.

2. Konjunksjon

For to forslagp ogq , deres konjunksjon er betegnet medpwedge q , som betyrp ogq . Konjunksjonenpwedge q er sant når begge delerp ogq er sanne, ellers usanne. Sannhetstabellen tilpwedge q er:

Eksempel, Sammenheng av proposisjonenep – I dag er det fredag ​​ogq - Det regner i dag,pwedge q er i dag er det fredag ​​og det regner i dag. Dette forslaget gjelder bare på regnfulle fredager og er feil på alle andre regnværsdager eller på fredager når det ikke regner.

3. Disjunksjon

For to forslagp ogq , deres disjunksjon er betegnet medpvee q , som betyrp ellerq . Disjunksjonenpvee q er sant når entenp ellerq er sant, ellers usant. Sannhetstabellen tilpvee q er:

Eksempel, Disjunksjon av proposisjonenep – I dag er det fredag ​​ogq - Det regner i dag,pvee q er i dag er det fredag ​​eller det regner i dag. Dette forslaget er sant på alle dager som er en fredag ​​eller en regnværsdag (inkludert regnfulle fredager) og er feil på alle andre dager enn fredag ​​når det heller ikke regner.

4. Eksklusiv Or

For to forslagp ogq , deres eksklusive eller er betegnet medpoplus q , som betyr entenp ellerq men ikke begge deler. Den eksklusive ellerpoplus q er sant når entenp ellerq er sant, og usant når begge er sanne eller begge er usanne. Sannhetstabellen tilpoplus q er:

Eksempel, Eksklusivt eller av forslagenep – I dag er det fredag ​​ogq - Det regner i dag,poplus q er enten fredag ​​i dag eller så regner det i dag, men ikke begge deler. Dette forslaget er sant på alle dager som er en fredag ​​eller en regnfull dag (ikke inkludert regnfulle fredager) og er feil på alle andre dager enn fredager når det ikke regner eller regner fredager.

5. Implikasjon

For to forslagp ogq , erklæringen ifp deretterq kalles en implikasjon og er betegnet medp ightarrow q . I implikasjonenp ightarrow q ,p kalles hypotese eller forutgående eller premiss ogq kalles konklusjon eller konsekvens . Implikasjonen erp ightarrow q kalles også a betinget uttalelse . Implikasjonen er falsk nårp er sant ogq er usann ellers er det sant. Sannhetstabellen tilp ightarrow q er:

Man kan lure på hvorforp ightarrow q sant nårp er falsk. Dette er fordi implikasjonen garanterer at nårp ogq er sanne, så er implikasjonen sann. Men implikasjonen garanterer ikke noe når premissetp er falsk. Det er ingen måte å vite om implikasjonen er falsk eller ikkep skjedde ikke. Denne situasjonen er lik den uskyldige inntil bevist skyldig holdning, noe som betyr at implikasjonenp ightarrow q anses som sant inntil det er bevist usant. Siden vi ikke kan kalle implikasjonenp ightarrow q falsk nårp er falsk, er vårt eneste alternativ å kalle det sant.

Dette følger av Eksplosjonsprinsipp som sier: En falsk utsagn innebærer alt Betingede utsagn spiller en svært viktig rolle i matematisk resonnement, og derfor brukes en rekke terminologier for å uttrykkep ightarrow q , hvorav noen er oppført nedenfor.

Hvis p, så er qp tilstrekkelig for qq når pa nødvendig betingelse for p er qp bare hvis qq med mindre ≠pq følger av p

Eksempel, Hvis det er fredag ​​så regner det i dag er et forslag som er av formenp ightarrow q . Forslaget ovenfor er sant hvis det ikke er fredag ​​(premisset er usant) eller hvis det er fredag ​​og det regner, og det er usant når det er fredag, men det regner ikke.

legg til i array java

6. Bibetinget eller dobbel implikasjon

For to forslagp ogq , uttalelsenp hvis og bare hvis (iff)q kalles en bibetinget og den er betegnet medpleftrightarrow q . Uttalelsenpleftrightarrow q kalles også a bi-implikasjon .pleftrightarrow q har samme sannhetsverdi som(p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) Implikasjonen er sann nårp ogq har samme sannhetsverdier, og er usann ellers. Sannhetstabellen tilpleftrightarrow q er:

Noen andre vanlige måter å uttrykke seg påpleftrightarrow q er:

p er nødvendig og tilstrekkelig for qif p deretter q, og omvendt p hvis q

Eksempel: Det regner i dag hvis og bare hvis det er fredag ​​i dag. er et forslag som er av formenpleftrightarrow q . Forslaget ovenfor er sant hvis det ikke er fredag ​​og det ikke regner eller hvis det er fredag ​​og det regner, og det er usant når det ikke er fredag ​​eller det ikke regner. Trening:

dynamisk programmering

1) Tenk på følgende utsagn:

• P: Gode mobiltelefoner er ikke billige.
• Spørsmål: Billige mobiltelefoner er ikke bra.
• L: P betyr Q
• M: Q antyder P
• N: P er ekvivalent med Q

Hvilken av følgende om L, M og N er RIKTIG? (Gate 2014)

(EN) Bare L er SANN.

(B) Bare M er SANN.

(C) Bare N er SANN.

(D) L, M og N er SANN.

For løsning, se GATE | GATE-CS-2014-(Sett-3) | Spørsmål 11

2) Hvilken av følgende tilsvarer ikke p?q (Gate 2015)

(A)( eg p vee q)wedge(p vee eg q ) (B)( eg p vee q)wedge(q ightarrow p ) (C)( eg p wedge q)vee(p wedge eg q ) (D)( eg p wedge eg q)vee(p wedge q )

For løsning, se GATE | GATE-CS-2015 (sett 1) ​​| Spørsmål 65