Quotient Rule er en metode for å finne den deriverte av en funksjon som er kvotienten til to andre funksjoner. Det er en metode som brukes for å differensiere problemer der en funksjon er delt med en annen. Vi bruker kvotientregelen når vi skal finne den deriverte av en funksjon av formen: f(x)/g(x).

La oss lære om kvotientregelen i kalkulus, dens formel og avledning, ved hjelp av løste eksempler.

Definisjon av kvotientregel

Kvotientregel er regelen om differensiering av de funksjonene som er gitt i form av brøker , hvor begge teller og nevner er individuelle funksjoner. Quotient Rule er en grunnleggende teknikk i kalkulus for å finne den deriverte av en funksjon som er kvotienten (forholdet) av to differensierbare funksjoner . Det gir en metode for å differensiere uttrykk der en funksjon er delt med en annen.

Anta at vi får en funksjon f(x) = g(x)/h(x), deretter differensiering av f(x), f'(x) er funnet som,

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

Kvotientregelformel

Kvotientregelformelen er formelen som brukes for å finne differensieringen av funksjonen som uttrykkes som kvotientfunksjonen. Nedenfor er formelen for kvotientregelen er,

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Hvor,

• u(x) er den første funksjonen som er en differensierbar funksjon,
• u'(x) er den deriverte av funksjonen u(x),
• v(x) er den andre funksjonen som er en differensierbar funksjon, og
• v'(x) er den deriverte av funksjonen v(x).

Kvotientregelbevis

Vi kan utlede kvotientregelen ved å bruke følgende metoder:

• Bruke kjederegel
• Bruk av implisitt differensiering
• Bruke derivat- og grenseegenskaper

La oss nå lære om dem i detalj.

Utledning av kvotientregel ved hjelp av kjederegel

Å bevise: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Gitt: H(x) = f(x)/g(x)

Bevis:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

Ved å bruke produktregelen,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

Ved å bruke maktregelen,

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)]/g ² (x)

Dermed er kvotientregelen bevist.

Les mer:

• Kjederegel

Utledning av kvotientregel ved bruk av implisitt differensiering

La oss ta en differensierbar funksjon f(x), slik at f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

ved å bruke produktregelen,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Løser nå for f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

Erstatter verdien av f(x) som, f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (x)

Dermed er kvotientregelen bevist.

Les mer

• Implisitt differensiering

Utledning av kvotientregel ved bruk av derivat- og grenseegenskaper

La oss ta en differensierbar funksjon f(x) slik at f(x) = u(x)/v(x),

Vi vet det,

f'(x) = lim_h→0[f(x+h) – f(x)] / h

Erstatter verdien av f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = lim_h→0[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / h

f'(x) = lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

Fordeling av grensen,

f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lim_h→01/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/v(x).v(x)}

hva er rom

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lim_h→0[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/in²(x)}

⇒ f'(x) = v(x){lim_h→0[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lim_h→0[-v(x+h) + v(x)] / h}.{ 1/in²(x)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (x)

Som er den nødvendige kvotientregelen.

Les mer

• Egenskaper for grenser
• Regler for derivater

Hvordan bruke kvotientregel i differensiering?

For å bruke kvotientregelen følger vi følgende trinn:

Trinn 1: Skriv de enkelte funksjonene som u(x) og v(x).

Steg 2: Finn den deriverte av den individuelle funksjonen u(x) og v(x), dvs. finn u'(x) og v'(x). Bruk nå kvotientregelformelen,

f'(x) = [u(x)/v(x)]' = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Trinn 3: Forenkle ligningen ovenfor og den gir differensieringen av f(x).

Vi kan forstå dette konseptet ved hjelp av et eksempel.

Eksempel: Finn f'(x) hvis f(x) = 2x ³ /(x+2)

gitt,

f(x) = 2x³/(x + 2)

Ved å sammenligne med f(x) = u(x)/v(x), får vi

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

Skiller nå u(x) og v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

Ved å bruke Quotient-regelen,

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)•6x²– 2x³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+ 12x²– 2x³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+ 12x²​)/(x + 1)²

Produkt- og kvotientregel

Produktregelen for differensiering brukes til å finne differensieringen av en funksjon når funksjonen er gitt som produkt av to funksjoner.

Produktdifferensieringsregel sier at hvis P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Mens kvotient differensieringsregel brukes til å skille en funksjon som er representert som deling av to funksjoner, dvs. f(x) = p(x)/q(x).

Deretter utledet f(x) ved å bruke kvotientregel beregnes som,

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (x)

Må lese

• Produktregel i kalkulus
• Kjederegel
• Formel for differensiering og integrering
• Logaritmisk differensiering
• Grunnleggende om kalkulus
• Anvendelse av derivater

Eksempler på kvotientregel

La oss løse noen eksempelspørsmål om kvotientregelen.

Eksempel 1: Differensiere old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

Løsning:

Både teller- og nevnerfunksjoner er differensierbare.

Bruk av kvotientregel,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Eksempel 2: Differensiere, f(x) = tan x.

Løsning:

for loop i java

tan x skrives som sinx/cosx, dvs.

tan x = (sin x) / (cos x)

Både teller- og nevnerfunksjoner er differensierbare.

Bruk av kvotientregel,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Eksempel 3: Differensiere, f(x)= e ^x /x ²

Løsning:

Både teller- og nevnerfunksjoner er differensierbare.

Bruk av kvotientregel,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Eksempel 4: Differensiere, y=frac{cosx}{x^2}

Løsning:

Både teller- og nevnerfunksjoner er differensierbare.

Bruk av kvotientregel,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Eksempel 5: Differensiere, f(p) = p+5/p+7

Løsning:

Både teller- og nevnerfunksjoner er differensierbare.

Bruk av kvotientregel,

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Praksisproblemer

Her er noen få øvingsproblemer på kvotientregelen du kan løse.

P1. Finn den deriverte av f(x) = (x ² + 3)/(uten x)

P2. Finn den deriverte av f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. Finn den deriverte av f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Finn den deriverte av f(x) = (x.sin x)/(x ² )

Quotient Rule of Derivative – Vanlige spørsmål

Hva er kvotientregelen for differensiering?

Differensieringsregel for kvotient er regelen som brukes for å finne differensieringen av funksjonen som er gitt i kvotientformen, dvs. en funksjon gitt som deling av to funksjoner.

Hva er kvotientregelformel?

Kvotientregelformelen er,

f'(x) = [u(x)/v(x)]' = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Denne formelen gir differensieringen av funksjonen som er representert som f(x)/g(x).

Hvordan utlede formelen for kvotientregelen?

Kvotientregel kan utledes ved hjelp av tre metoder,

• Etter derivat- og grenseegenskaper
• Ved implisitt differensiering
• Etter kjederegel

Hvordan bruke kvotientregelen?

Kvotientregel brukes til å finne differensieringen av funksjonen uttrykt som delingen av to funksjoner som inkluderer alle funksjonene til formen f(x) og g(x), slik at individuell differensiering av f(x) og g(x) eksisterer og g(x) kan aldri være null.

Hvordan finner du den deriverte av en divisjonsfunksjon?

Derivert av divisjonsfunksjonen er lett å finne ved å bruke kvotientregelformelen, dvs. hvis vi må finne differensieringen av H(x) slik at H(x) uttrykkes som H(x) = f(x)/g(x) da er dens derivert uttrykt som,

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Hva er grensen for kvotientregelen?

Quotient Regel for limits sier at grensen for en kvotient funksjoner er lik kvotienten av grensen for hver funksjon.