En rekursiv funksjon er en funksjon som verdien til enhver tid kan beregnes fra verdiene til funksjonen på noen tidligere punkter. Anta for eksempel en funksjon f(k) = f(k-2) + f(k-3) som er definert over ikke-negativt heltall. Hvis vi har verdien av funksjonen ved k = 0 og k = 2, kan vi også finne dens verdi ved et hvilket som helst annet ikke-negativt heltall. Med andre ord kan vi si at en rekursiv funksjon refererer til en funksjon som bruker sine egne tidligere punkter for å bestemme påfølgende ledd og dermed danner en termsekvens. I denne artikkelen vil vi lære om rekursive funksjoner sammen med visse eksempler.

Hva er rekursjon?

Rekursjon refererer til en prosess der en rekursiv prosess gjentar seg selv. Rekursiv er en slags funksjon av en og flere variabler, vanligvis spesifisert av en bestemt prosess som produserer verdier av den funksjonen ved kontinuerlig å implementere en bestemt relasjon til kjente verdier av funksjonen.

Her vil vi forstå rekursjonen ved hjelp av et eksempel.

Anta at du skal ta en trapp for å nå første etasje fra første etasje. Så for å gjøre dette, må du ta ett for ett trinn. Det er bare en måte å gå til det andre trinnet, som er til det bratte første trinnet. Anta at du vil gå til det tredje trinnet; du må ta det andre trinnet først. Her kan du tydelig se repetisjonsprosessen. Her kan du se at med hvert neste trinn legger du til forrige trinn som en gjentatt sekvens med samme forskjell mellom hvert trinn. Dette er selve konseptet bak den rekursive funksjonen.

til strengmetode i java

Steg 2: Trinn 1 + laveste trinn.

Trinn 3: Trinn 2 + Trinn 1 + laveste trinn.

Trinn 4: Trinn 3 + trinn 2 + trinn 1+ laveste trinn, og så videre.

Et sett med naturlige tall er det grunnleggende eksemplet på de rekursive funksjonene som starter fra en går til uendelig, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,…….infinitiv. Derfor viser settet med naturlige tall en rekursiv funksjon fordi du kan se en felles forskjell mellom hvert ledd som 1; det vises hver gang neste ledd gjentok seg med forrige ledd.

Hva er en rekursivt definert funksjon?

De rekursivt definerte funksjonene består av to deler. Den første delen tar for seg den minste argumentdefinisjonen, og på den annen side tar den andre delen for seg den n-te begrepsdefinisjonen. Det minste argumentet er angitt med f (0) eller f (1), mens det n-te argumentet er angitt med f (n).

Følg det gitte eksempelet.

Anta at en sekvens er 4,6,8,10

Den eksplisitte formelen for sekvensen ovenfor er f (n)= 2n + 2

Den eksplisitte formelen for sekvensen ovenfor er gitt av

f (0) = 2

f(n) = f (n-1) + 2

Nå kan vi få sekvensleddene ved å bruke den rekursive formelen som følger f(2 ) f (1) + 2

f(2) = 6

f (0) = 2

f(1) = f(0) + 2

f (1) = 2 + 2 = 4

f(2) = f (1) + 2

f(2) = 4 + 2 = 6

hoppe over listen

f(3) = f (2) + 2

f(3) = 6 + 2 = 8

Ved hjelp av ovennevnte rekursive funksjonsformel kan vi bestemme neste ledd.

Hva gjør funksjonen rekursiv?

Å gjøre en funksjon rekursiv trenger et eget ledd for å beregne neste ledd i sekvensen. For eksempel, hvis du vil beregne det n'te leddet i den gitte sekvensen, må du først kjenne det forrige leddet og leddet før det forrige leddet. Derfor må du kjenne det forrige leddet for å finne ut om sekvensen er rekursiv eller ikke rekursiv. Så vi kan konkludere med at hvis funksjonen trenger forrige ledd for å bestemme neste ledd i sekvensen, anses funksjonen som en rekursiv funksjon.

Formelen til den rekursive funksjonen

Hvis en₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, ……..a_n,……er mange sett eller en sekvens, må en rekursiv formel beregne alle termene som eksisterte tidligere for å beregne verdien av en

en_n= a_n-1+en₁

Formelen ovenfor kan også defineres som aritmetisk sekvens rekursiv formel. Du kan se tydelig i sekvensen nevnt ovenfor at det er en aritmetisk sekvens, som omfatter det første leddet etterfulgt av de andre leddene og en felles forskjell mellom hvert ledd. Den vanlige forskjellen refererer til et tall som du legger til eller trekker fra til dem.

En rekursiv funksjon kan også defineres som den geometriske sekvensen, hvor tallsettene eller en sekvens har en felles faktor eller felles forhold mellom seg. Formelen for den geometriske sekvensen er gitt som

en_n= a_{n-1 *}r

Vanligvis er den rekursive funksjonen definert i to deler. Den første er setningen av det første leddet sammen med formelen, og en annen er setningen av det første leddet sammen med regelen knyttet til de påfølgende leddene.

Hvordan skrive en rekursiv formel for aritmetisk rekkefølge

For å skrive den rekursive formelen for aritmetisk sekvensformel, følg de angitte trinnene

Trinn 1:

I det første trinnet må du sørge for om den gitte sekvensen er aritmetisk eller ikke (for dette må du legge til eller trekke fra to påfølgende ledd). Hvis du får samme utgang, blir sekvensen tatt som en aritmetisk sekvens.

Steg 2:

Nå må du finne den vanlige forskjellen for den gitte sekvensen.

Trinn 3:

Formuler den rekursive formelen ved å bruke den første termen og lag deretter formelen ved å bruke den forrige termen og felles forskjell; dermed vil du få det gitte resultatet

en_n= a_n-1+d

nå forstår vi den gitte formelen ved hjelp av et eksempel

anta at 3,5,7,9,11 er en gitt sekvens

I eksemplet ovenfor kan du enkelt finne at det er den aritmetiske sekvensen fordi hvert ledd i sekvensen øker med 2. Så den vanlige forskjellen mellom to ledd er 2. Vi kjenner formelen for rekursiv sekvens

en_n= a_n-1+d

gitt,

d = 2

en₁= 3

så,

en₂= a_(2-1)+ 2 = a₁+2 = 3+2 = 5

en₃= a_(3-1)+ 2 = a₂+2 = 5+2 = 7

fibonacci-sekvens java

en₄= a_(4-1)+ 2 = a₃+2 = 7+2 = 9

en₅= a_(5-1)+ 2 = a + 2 = 9+2 = 11, og prosessen fortsetter.

Hvordan skrive en rekursiv formel for geometrisk sekvens?

For å skrive den rekursive formelen for geometrisk sekvensformel, følg de gitte trinnene:

Trinn 1

I det første trinnet må du sørge for om den gitte sekvensen er geometrisk eller ikke (for dette må du multiplisere eller dele hvert ledd med et tall). Hvis du får samme utgang fra ett ledd til neste ledd, tas sekvensen som en geometrisk sekvens.

Steg 2

Nå må du finne det vanlige forholdet for den gitte sekvensen.

Trinn 3

Formuler den rekursive formelen ved å bruke det første leddet, og lag deretter formelen ved å bruke det forrige leddet og fellesforholdet; dermed vil du få det gitte resultatet

en_n= r_*en_n-1

Nå forstår vi den gitte formelen ved hjelp av et eksempel

rom

anta at 2,8,32, 128,.er en gitt sekvens

I eksemplet ovenfor kan du enkelt finne at det er den geometriske sekvensen fordi det påfølgende leddet i sekvensen oppnås ved å multiplisere 4 med det forrige leddet. Så det vanlige forholdet mellom to ledd er 4. Vi kjenner formelen for rekursiv sekvens

en_n= r_*en_n-1

en_n= 4

en_n-1= ?

gitt,

r = 4

en₁= 2

så,

en₂= a_(2-1)* 4 = a₁+ * 4 = 2* 4 = 8

en₃= a_(3-1)* 4 = a₂* 4 = 8 * 4 = 32

en₄= a_(4-1)* 4 = a₃* 4 = 32* 4 = 128, og prosessen fortsetter.

Eksempel på rekursiv funksjon

Eksempel 1:

Bestem den rekursive formelen for sekvensen 4,8,16,32,64, 128,...?

Løsning:

Gitt sekvens 4,8,16,32,64,128,…..

Den gitte sekvensen er geometrisk fordi hvis vi multipliserer det foregående leddet, får vi de påfølgende leddene.

For å bestemme den rekursive formelen for den gitte sekvensen, må vi skrive den i tabellform

Derfor er den rekursive formelen i funksjonsbegrepet gitt av

f(1) = 4, f(n) . f(n- 1)

I abonnentnotasjon er den rekursive formelen gitt av

en₁= 4, a_n= 2. a_n-1