I denne artikkelen skal vi diskutere den symmetriske forskjellen mellom to sett. Her vil vi også diskutere egenskapene til symmetrisk forskjell mellom to sett.
Håper denne artikkelen vil være nyttig for deg for å forstå den symmetriske forskjellen mellom to sett.
Hva er en symmetrisk forskjell?
En annen variant av forskjell er den symmetriske forskjellen. Anta at det er to sett, A og B. Den symmetriske forskjellen mellom begge settene A og B er mengden som inneholder elementene som er tilstede i begge settene bortsett fra felleselementene.
Den symmetriske forskjellen mellom to sett kalles også som disjunktiv forening . Symmetrisk forskjell mellom to sett er et sett med elementer som er i begge settene, men ikke i skjæringspunktet. Den symmetriske forskjellen mellom to sett A og B er representert ved A D B eller A ? B .
Vi kan forstå det gjennom eksempler.
Eksempel 1 Anta at det er to sett med noen elementer.
Sett A = {1, 2, 3, 4, 5}
Sett B = {3, 5}
Så den symmetriske forskjellen mellom de gitte settene A og B er {1, 2, 4}
Eller, vi kan si det A Δ B = {1, 2, 4} .
Eksempel 2 Anta at det er to sett med noen elementer.
Sett A = {a, b, c, k, m, n}
Sett B = {c, n}
Så den symmetriske forskjellen mellom de gitte settene A og B er {a, b, k, m}
Eller, vi kan si det A Δ B = {a, b, k, m} .
I Venn-diagrammet nedenfor kan du se den symmetriske forskjellen mellom de to settene.
Den delen som er skyggelagt med hudfargen i Venn-diagrammet ovenfor, er den symmetriske forskjellen mellom de gitte settene, dvs. A D B .
La oss se noen av egenskapene til symmetrisk forskjell mellom to sett.
Egenskaper
Det er noen av egenskapene til symmetrisk forskjell som er oppført som følger;
- Den symmetriske forskjellen kan representeres som foreningen av begge relative komplementene, dvs.
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - Den symmetriske forskjellen mellom to sett kan også uttrykkes som foreningen av to sett minus skjæringspunktet mellom dem -
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - Den symmetriske forskjellen er kommutativ så vel som assosiativ -
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - Det tomme settet er nøytralt (i matematikk sies et nøytralt element å være en spesiell type element som, når det kombineres med et hvilket som helst element på settet for å utføre en binær operasjon, lar elementet være uendret. Det er også kjent som Identitetselement ).
A Δ ∅ = A
A Δ A = ∅ - Hvis sett A er lik sett B, er den symmetriske forskjellen mellom begge settene -
A Δ B = ∅ {når A = B}
'Symmetrisk forskjell mellom to sett' v/s 'Differanse mellom to sett'
Forskjellen mellom to sett
Forskjellen mellom to sett A og B er et sett av alle de elementene som tilhører A, men som ikke tilhører B og er betegnet med A - B .
Eksempel: La A = {1, 2, 3, 4}
og B = {3, 4, 5, 6}
deretter A - B = {3, 4} og B - A = {5, 6}
Symmetrisk forskjell mellom to sett
Den symmetriske forskjellen mellom to sett, A og B, er settet som inneholder alle elementene som er i A eller B, men ikke i begge. Det er representert ved A D B eller A ? B .
Eksempel: La A = {1, 2, 3, 4}
og B = {3, 4, 5, 6}
så A Δ B = {1, 2, 5, 6}
La oss nå se noen eksempler for å forstå den symmetriske forskjellen mellom to sett klarere.
Spørsmål 1 - Anta at du har settene A = {10, 15, 17, 19, 20} og B = {15, 16, 18}. Finn ut forskjellen mellom begge settene A og B og finn også ut den symmetriske forskjellen mellom dem.
Løsning - gitt,
linkedlist og arraylist
A = {10, 15, 17, 19, 20}
og B = {15, 16, 18}
Forskjellen mellom begge settene er -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
Symmetrisk forskjell mellom begge settene er -
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Spørsmål 2 - Anta at du har settene A = {2, 4, 6, 8} og B = {2, 5, 7, 8}. Finn ut den symmetriske forskjellen B Δ A. Tegn også Venn-diagrammet for å representere den symmetriske forskjellen mellom begge gitte mengder.
Løsning - Gitt, A = {2, 4, 6, 8} og B = {2, 5, 7, 8}
Vi vet at B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
La oss prøve å løse spørsmålet trinn for trinn. Så det første trinnet er å finne foreningen av sett A og sett B.
Derfor, (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Etter det må vi beregne skjæringspunktet mellom begge settene.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Nå må vi finne forskjellen mellom foreningen og skjæringspunktet mellom sett A og B, som angitt i formelen,
Så, (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Derfor er B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Som vil være lik A Δ B, som nevnt ovenfor, 'Symmetrisk forskjell er kommutativ'. Nå vil vi vise den symmetriske forskjellen mellom begge settene via Venn-diagrammet.
I Venn-diagrammet vil vi først tegne to sirkler som representerer sett A og B. Som beregnet ovenfor er skjæringspunktet mellom begge settene {2, 8}, så vi listet disse elementene i det kryssende området. Deretter lister vi de gjenværende elementene i deres respektive settsirkler, dvs. {4, 6} i sett A og {5, 7} i sett B. Etter å ha arrangert elementene, vil Venn-diagrammet være -
Når vi ser på Venn-diagrammet ovenfor, er det en universalmengde U. Både sett A og B er delmengden av universalmengde U. Elementene {2, 8} er de kryssende elementene, så de er representert i det kryssende området. Området med lys oransje farge er foreningen av sett bortsett fra det kryssende området. Denne regionen er den symmetriske forskjellen mellom begge sett A og B, og vil bli representert som -
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Spørsmål 3 - Anta at du har settene A = {5, 6, 8, 9, 10} og B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Bevis at den symmetriske forskjellen er kommutativ ved å bruke de gitte settene.
Løsning - Gitt, A = {5, 6, 8, 9, 10} og B = {2, 7, 8, 9, 10}
Å bevise: A Δ B = B Δ A
Ta LHS,
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Så, A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Nå, ta RHS
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Så B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Derfor er A Δ B = B Δ A
Derfor er den symmetriske forskjellen kommutativ.