I geometri er en vinkel et viktig mål på en geometrisk form. En vinkel er definert som graden av rotasjon rundt skjæringspunktet mellom to linjer eller plan som kreves for å bringe den ene i samsvar med den andre. Det finnes ulike typer vinkler, basert på måling av en vinkel. Det måles i grader eller radianer. En vinkel er en form dannet av to linjer eller stråler som divergerer fra et felles punkt kalt et toppunkt. Når to stråler krysses, dvs. når halvlinjer projiseres med et felles endepunkt, dannes det en vinkel. Nå kalles de vanlige endepunktene toppunkter, mens strålene er kjent som armene.

Typer vinkler

1. Spiss vinkel: En spiss vinkel er en vinkel som er større enn 0 grader og mindre enn 90 grader, dvs. den varierer fra 0° til 90° (begge eksklusive).
2. Rett vinkel: En rett vinkel er referert til som vinkelen som måler nøyaktig 90 grader.
3. Stump vinkel: En stump vinkel er en vinkel som er større enn 90 grader og mindre enn 180 grader, dvs. den varierer fra 90° til 180° (begge eksklusive).
4. Rett vinkel: En rett vinkel er referert til som en vinkel som måler nøyaktig 180 grader.
5. Refleksvinkel: En refleksvinkel er en vinkel som er større enn 180 grader og mindre enn 360 grader, dvs. den varierer fra 180° til 360° (begge eksklusive).
6. En komplett vinkel eller full rotasjon: En komplett vinkel omtales som vinkelen som måler nøyaktig 360 grader.

Det finnes også andre typer vinkler, for eksempel komplementære vinkler, supplerende vinkler og tilstøtende og ikke-tilstøtende vinkler.

• Komplementære vinkler: To vinkler sies å være komplementære hvis summen deres er en rett vinkel, dvs. 90°.
• Tilleggsvinkler: To vinkler sies å være supplerende hvis summen deres er lik 180°.
• Tilstøtende vinkler: To vinkler sies å være tilstøtende hvis de deler et felles toppunkt og en felles arm.
• Ikke-tilstøtende vinkler: To vinkler sies å være ikke-tilstøtende hvis de ikke deler en felles toppunkt og en felles arm.

Formelen for å finne vinkler

Det finnes ulike typer formler for å finne en vinkel; noen av dem er sentralvinkelformelen, dobbeltvinkelformelen, halvvinkelformelen, sammensatt vinkelformel, indre vinkelformel, etc.

• Vi bruker sentralvinkelformelen for å bestemme vinkelen til et segment laget i en sirkel.
• Vi bruker summen av formelen for indre vinkler for å bestemme den manglende vinkelen i en polygon.
• Vi bruker de trigonometriske forholdstallene for å finne den manglende vinkelen til en rettvinklet trekant.
• Vi bruker sinusloven eller cosinusloven for å finne den manglende vinkelen til en ikke-rettvinklet trekant.

Eksempel på spørsmål

Spørsmål 1: Finn vinkelen ved toppunktet B i den gitte trekanten ved å bruke en av de trigonometriske formlene for å finne vinkler.

Løsning:

gitt,

BC = 3 enheter = Tilstøtende side av θ.

AC = 4 enheter = Motsatt side av θ.

I dette tilfellet kjenner vi både motsatte og tilstøtende sider av θ. Derfor kan vi bruke tangentformelen for å finne θ.

⇒ tan θ = motsatt side/tilstøtende side

⇒ tan θ = 4/3

⇒ θ = tan^-1(4/3) ⇒ θ = 53,1°

Derfor er vinkelen ved toppunktet B 53,1°.

Spørsmål 2: Finn vinklene ved toppunktene X og Y, hvis ∠Z = 35° og x = 3 tommer, y = 8 tommer og z = 3,5 tommer.

Løsning:

gitt,

hvordan initialisere en matrise i java

∠Z = 35° og x = 6 tommer, y = 3 tommer og z = 3,5 tommer

Siden vi kjenner alle tre sidene og en vinkel, kan vi bruke sinusregelformelen.

Fra sinusregelformelen har vi

x/sin X = y/sin Y = z/sin Z

Nå,

y/sin Y = z/sin Z

⇒ 3/sin Y = 3,5/sin 35°

⇒ 3/uten Y = 3,5/0,574 {Siden, synd 35° = 0,574}

java pause

⇒ sin Y = 3 × (0,574/3,5) = 0,492

⇒ ∠Y = synd⁻¹(0,492) = 29,47°

Vi vet at summen av tre vinkler i en trekant er 180°.

⇒ ∠X + ∠Y + ∠Z = 180°

⇒ ∠X + 29,47° + 35° = 180°

⇒ ∠X = 180° – 64,47° = 115,53°

Derfor er ∠X = 115,53° og ∠Y = 29,47°.

Spørsmål 3: Beregn den femte indre vinkelen til en femkant hvis fire av dens indre vinkler er 110°, 85°, 136° og 105°.

Løsning:

Antall sider av en femkant (n) = 5.

Nå er summen av alle de 5 indre vinklene til en femkant = 180 (n -2)°

= 180 (5 – 2)° = 540°.

Summen av de gitte 4 indre vinklene = 110°+ 85°+ 136°+ og 105°= 436°.

Så den femte innvendige vinkelen = 540° – 436° = 104°

Dermed er den femte indre vinkelen til en femkant 104°.

Spørsmål 4: Bestem verdien av y og også mål på vinkler i den gitte figuren.

Løsning:

Fra den gitte figuren kan vi observere at (4y – 6)° og (3y + 5)° er komplementære vinkler, dvs. summen av (4y – 6)° og (3y + 5)° er 90 °.

⇒ (4y – 6)° + (3y + 5)° = 90°

⇒ (7y – 1)° = 90°

⇒ 7y = 90° + 1° = 91°

⇒ y = 91°/7 = 13°

Nå, (4y – 6)° = (4 ×13 – 6)° = (52 – 6)° = 46°

(3y + 5)° = (3 × 13 + 5)° = (39 + 5)° = 44°

Spørsmål 5: Finn vinkelen ved toppunktet Q i den gitte trekanten ved å bruke en av formlene for å finne vinkler.

Løsning:

Gitt, p = QR = 6 cm, q = PR = 9 cm, og r = PQ = 7 cm.

Siden vi kjenner alle tre sidene og en vinkel, kan vi bruke cosinusregelformelen for å finne vinkelpunktet Q.

markdown fotnoter

⇒ q²= s²+ r²– 2pr cos Q

⇒ 9²= 6²+ 7²– 2 (6)(7) cos Q

⇒ 81 = 36 + 49 – 84 cos Q

⇒ 81 = 85 – 84cos Q

⇒84 cos Q = 81 – 85

⇒ 84 cos Q = -4

⇒ cos Q = -4/84 = -1/21

⇒ ∠Q = cos^-1(-1/21) = 92,72°

Derfor er vinkelen ved toppunktet Q, ∠Q = 92,72°.

Spørsmål 6: Regn ut vinkelen til et segment laget i en sirkel hvis buelengden er 12π og radiusen er 9 cm.

Løsning:

gitt,

Buelengden = 12π

Radius (r) = 9 cm

Nå er vinkelformelen:

⇒ θ = (s×360°)/2pr

⇒ θ = (12π × 360°)/(2π × 5)

⇒ θ =12 ×360°/10

hva er desktop ini

⇒ θ = 240°

Derfor er vinkelen 240°.