Nullpunkter i et polynom er de reelle, imaginære eller komplekse verdiene når de settes i polynomet i stedet for en variabel, blir resultatet null (som navnet antyder null også). Polynomer brukes til å modellere noen fysiske fenomener som skjer i det virkelige liv, de er veldig nyttige for å beskrive situasjoner matematisk.

Nullpunktene til et polynom er alle x-verdiene som gjør polynomet lik null. Nullpunktene i et polynom forteller oss om x-avskjæringene til polynomets graf. I denne artikkelen vil vi diskutere om nuller av et polynom, hvordan finne dem, faktorsetningen osv.

Innholdsfortegnelse

• Hva er nuller av polynomer?
• Null av polynomformel
• Hvordan finne null av et polynom?
• For lineært polynom
• For kvadratisk polynom
• For kubisk polynom
• Faktorteorem
• Forholdet mellom nuller og koeffisient
• Forholdet mellom nuller og koeffisient for kvadratisk ligning
• Forholdet mellom nuller og koeffisient for kubikklikning
• Danner ligning med null av polynom
• Null i graf over polynomer
• Grunnleggende teorem for lineær algebra
• Multiplisiteten av en rot
• Artikler relatert til Zeros of Polynomial
• Eksempelproblemer på null av polynom
• Øv problemer på null av polynom

Hva er nuller av polynomer?

For et polynom P(x), sier vi at x = a er null av polynomet hvis P(a) = 0, og alle slike nuller i et polynom kalles vanligvis null i et polynom. Tenk for eksempel på f(x) = 3x – 12. Sett nå x = 4 i polynomet, dvs. f(4) = 3×4 – 12 = 0. Dermed er x = 4 null av polynomet f( x) = 3x – 12.

Eksempel: For f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6, er x = 1 null?

Løsning:

For å sjekke om hvis x = 1 er null av f(x) = x³– 6x²+ 11x – 6 eller ikke, sett x = 1 tommer (x)

f(1) = (1)³– 6×(1)²+ 11×(1) – 6

⇒ f(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 12 -12 = 0

Dermed er x = 1 en null av f(x).

Null av polynomformel

For et lineært polynom med formen ax + b, er dets null gitt av x = -b/a.

For et kvadratisk polynom av form akse²+ bx + c, dens null er gitt av x = {- b ± √D}/2a hvor D er Diskriminerende gitt av b²– 4ac.

Hvordan finne null av et polynom?

Vi kan finne nullpunktene til polynomet for ulike typer polynomer ved å bruke ulike metoder som er omtalt nedenfor.

• For lineært polynom
• For kvadratisk polynom
• For kubisk polynom

For lineært polynom

For lineære polynomer er det lettest å finne null. ettersom det bare er en null, og som også kan beregnes ved enkel omorganisering av polynomet etter det likestilte polynomet til 0.

Finn for eksempel null for lineært polynom f(x) = 2x – 7.

Løsning:

For å finne null av f(x), lik f(x) til 0.

⇒ 2x – 7 = 0

⇒ 2x = 7

⇒ x = 7/2

For kvadratisk polynom

Det finnes ulike metoder for å finne røtter eller nuller av et kvadratisk polynom som å dele mellomleddet, en kvadratisk formel som også er kjent som Shree Dharacharya-formelen, og fullføre kvadratet som ligner litt på kvadratisk formel, ettersom kvadratisk formel kommer fra å fullføre kvadratet for den generelle andregradsligningen.

Lære mer om løse andregradsligninger eller polynomer og hvordan de løses. Følgende eksempler viser metoden for å finne nuller av kvadratiske polynomer i detalj.

Eksempel 1: Finn ut nullene for P(x) = x ² + 2x – 15.

Svar:

x²+ 2x – 15 = 0

⇒ x²+ 5x – 3x – 15 = 0

⇒ x(x + 5) – 3(x + 5) = 0

⇒ (x – 3) (x + 5) = 0

unntakshåndtering i java

⇒ x = 3, -5

Eksempel 2: Finn ut nullene for P(x) = x ² – 16x + 64.

Svar:

x²– 16x + 64 = 0

Sammenligner med øks²+ bx + c = 0,

vi får a = 1, b = -16 og c = 64.

Dermed,

⇒ x = 8, 8

For kubisk polynom

For å finne nuller av kubikk er det mange måter, for eksempel rasjonell rotteorem og lang divisjon sammen. En metode for å finne røtter av kubisk eller et hvilket som helst høyere grads polynom er som følger:

Trinn 1: Bruk det rasjonelle rotteoremet for å finne de mulige røttene. dvs. hvis et polynom har en rasjonell rot må det være divisjonen av p/q, der p er heltallskonstanten og q er den ledende koeffisienten.

Steg 2: Etter å ha funnet én rot, del polynomet med faktoren dannet av den roten ved å bruke lang divisjon og skriv polynomet som et produkt av kvotient og utbytte.

Trinn 3: Hvis kvotienten er et kvadratisk uttrykk, løs det ved metodene ovenfor nevnt for kvadratiske polynomer. Hvis ikke et polynom på en grad 2, gjenta trinn 1 og 2 til kvotienten blir et polynom med grad 2.

Trinn 4: Resultatet av trinn 3 er de nødvendige faktorene, og ved å likestille faktoren til 0 kan vi finne nullpunktene til polynomet.

Eksempel: Finn nullene til det kubiske polynomet p(x) = x ³ + 2x ² – 5x – 6.

Løsning:

p(x) = x³+ 2x²– 5x – 6

Som p/q = -6

Ved rasjonell rotteorem er alle mulige rasjonelle røtter til polunomialet divisorer av p/q.

Dermed er divisorer = ±1, ±2, ±3, ±6

x = -1, i p(x), får vi

p(-1) = (-1)³+ 2(-1)²– 5(-1) – 6

⇒ p(-1) = -1 + 2 + 5 – 6 = 0

Ved faktorteorem er altså x + 1 faktoren til p(x).

Altså x³+ 2x²– 5x – 6 = (x+1)(x²+x – 6)

⇒ x³+ 2x²– 5x – 6 = (x+1)(x-2)(x+3)

For nuller, p(x) = 0,

Nullpunkter for p(x) er x = -1, x = 2 og x = -3.

Faktorteorem

For polynomet P(x) sier faktorsetningen at hvis x =a er null av P(X) hvis x – er a en faktor av P(x). dvs. begge de følgende betingelsene skal gjelde.

• Hvis a er en null av P(x), vil x−a være en faktor av P(x)
• Hvis x−a er en faktor av P(x), vil a være en null av P(x)

Dette kan bekreftes ved å se på tidligere eksempler. Faktorteorem kan føre til noen interessante resultater, som er som følger:

Resultat 1: Hvis P(x) er et polynom av grad n, og r er en null av P(x), kan P(x) skrives i følgende form:

P(x) = (x – r) Q(x)

Hvor Q(x) er et polynom av grad n-1 og kan finnes ut ved å dele P(x) med (x – r).

Resultat 2: Hvis P(x) = (x-r)Q(x) og x = t er en null av Q(x), så vil x = t også være en null av P(x).

For å bekrefte faktumet ovenfor,

La oss si at t er null Q(x), som betyr Q(t) = 0.

Vi vet at r er null av polynomet P(x), hvor P(x) = (x – r) Q(x),

Så vi må sjekke om x = t også er en null av P(x), la oss sette x = t i P(x)

⇒ P(t) = (t – r) Q(t) = 0

Så, x = t er også en null P(x).

Derfor bevist.

Forholdet mellom nuller og koeffisient

Forholdet mellom nullene og koeffisienten til kvadratisk og kubikkligningen er diskutert nedenfor.

Forholdet mellom nuller og koeffisient for kvadratisk ligning

For en andregradsligning av formen akse²+ bx + c = 0, hvis de to nullene i andregradsligningen er α og β, så

• Sum av rot = α + β = -b/a
• Produkt av røtter = α × β = c/a

Forholdet mellom nuller og koeffisient for kubikklikning

Hvis α, β og γ er roten til den kubiske polynomøksen³+ bx²+ cx + d = 0, så er forholdet mellom dens nuller og koeffisienter gitt som følger:

• a + b + c = -b/a
• α × β × γ= -d/a
• αβ + αγ + βγ = c/a

Danner ligning med null av polynom

• For et kvadratisk polynom med null α og β, er kvadratisk polynom gitt av

x ² – (a + b)x + ab .

• For et kubisk polynom med tre nuller α, β og γ, er det kubiske polynomet gitt av

x ³ – (a + b + c )x ² + (ab + ag + bg)x – abg

Null i graf over polynomer

I grafen til et hvilket som helst polynom y = f(x), er reelle nuller punktet der grafen skjærer eller berører x-aksen. (ettersom en graf med en tenkt null aldri kutter x-aksen). Med andre ord, hvis det er 3 reelle løsninger av et kubisk polynom, skjærer grafen til det kubiske polynomet x-aksen tre ganger, men hvis det bare er én reell løsning for et kubisk polynom, skjærer grafen bare x-aksen en gang.

Grunnleggende teorem for lineær algebra

Hvis P(x) er et polynom av grad n, vil P(x) ha nøyaktig n nuller, hvorav noen kan gjenta seg.

numpy linspace

Dette betyr at hvis vi lister opp alle nullene og lister hver enkelt k ganger når k er multiplisiteten. Vi vil ha nøyaktig n tall i listen. Dette kan være nyttig da det kan gi oss en idé om hvor mange nuller som skal være der i et polynom. Så vi kan slutte å lete etter nuller når vi når vårt nødvendige antall nuller.

Multiplisiteten av en rot

Anta at vi har et polynom P(x) = 0 som faktoriseres til,

P(x) = (x – r) ^k (x – a) ^m

Hvis r er null i et polynom og eksponenten på leddet som ga roten er k, sier vi at r har mangfold k . Nuller med multiplisitet 1 kalles ofte enkel nuller og nuller med en multiplisitet på 2 kalles dobbeltrøtter av polynomet.

Eksempel: P(x) er et grad-5 polynom som er blitt faktorisert for deg. List opp røttene og deres mangfold.

P(x) = 5x ⁵ -20x ⁴ +5x ³ +50x ² −20x−40=5(x+1) ² (x−2) ³

Løsning:

Gitt, P(x) = 5 (x+1)²(x−2)³

⇒ P(x) = 5(x+1)(x+1)(x+1)(x−2)(x−2)

For å finne nuller, P(x) = 0

⇒ x = -1, -1, 2, 2, 2

Legg merke til at -1 forekommer to ganger som en null, så dens multiplisitet er 2 mens multiplisiteten til null 2 ​​er 3.

Artikler relatert til Zeros of Polynomial

• Polynom
• Røttene til kvadratisk ligning
• Algebraisk uttrykk

Eksempelproblemer på null av polynom

Oppgave 1: Gitt at x = 2 er en null av P(x) = x ³ +2x ² −5x−6. Finn de to andre nullene.

Løsning:

Fra den fundamentale teoremet vi studerte tidligere, kan vi si at P(x) vil ha 3 nuller fordi det er et tregraders polynom. En av dem er x = 2.

Så vi kan skrive om P(x),

P(x) = (x – 2) Q(x)

For å finne de to andre nullene, må vi finne ut Q(x).

Q(x) kan bli funnet ut ved å dele P(x) med (x-2).

Etter deling kommer Q(x) ut til å være,

Q(x) = x²+ 4x + 3

De resterende to nullene kan bli funnet ut fra dette,

Q(x) = x²+ 3x + x + 3

⇒ x(x + 3) + 1(x + 3)

⇒ (x + 1) (x + 3)

Q(x) = 0,

x = -1, -3

Dermed er de to andre nullene x = -1 og x = -3.

Oppgave 2: Gitt at x = r er null i et polynom, finn ut de andre nullene i polynomet.

P(x) = x ³ -6x ² −16x; r = −2

Løsning:

Vi vet at x = -2 er en null,

Så P(x) kan skrives om som, P(x) = (x + 2) Q(x) {Ved å bruke divisjonsalgoritme}

Nå for å finne Q(x), gjør vi det samme som vi gjorde i forrige spørsmål, vi deler P(x) med (x + 2).

Vi får,

Q(x) = x²– 8x

For å finne de to andre nullene, faktoriser Q(x)

Q(x) = x (x – 8) = 0

Så nullpunktene er x = 0, 8.

Dermed har vi tre nuller, x = -2, 0, 8.

Oppgave 3: Finn nullpunktene til polynomet, 4x ³ -3x ² -25x-6 = 0

Løsning:

Trikset for å løse polynomlikninger med grad 3,

Finn det minste heltallet som kan gjøre polynomverdien 0, start med 1,-1,2, og så videre...

vi finner at for x = -2 får vi verdien av uttrykket til null.

Derfor er en av røttene -2.

I henhold til faktorteorem hvis a er en av nullpunktene til polynomet, er (x-a) derfor faktoren til gitt polynom.

Etter dette er {x – (-2)} = (x+2) en faktor pof over polynomet.

Vi får en andregradsligning og en nuller er der allerede.

(4x²-11x-3)(x+2) = 0

Faktoriser den kvadratiske ligningen,

(4x²-12x+x-3)(x+2) = 0

[4x(x-3)+1(x-3)](x+2) = 0

(4x+1)(x-3)(x+2) = 0

x = -2, x = 3, x = -1/4

Oppgave 4: Finn nullpunktene til polynomet, 4x ⁶ – 16x ⁴ = 0

Løsning:

Polynomet har opptil grad 6, derfor finnes det 6 nuller av polynomet.

4x⁴(x²-4) = 0

4x⁴(x²-2²) = 0

4x⁴[(x+2)(x-2)] = 0

Derfor er x= 0, 0, 0, 0, 2, -2

Oppgave 5: Finn nullene til polynomfunksjonen f(x) = x ³ – 2x ² – 5x + 6

Løsning:

For å finne nullpunktene til dette polynomet setter vi f(x) = 0 og løser for x:

f(x) = x³– 2x²– 5x + 6 = 0

Som d/a = 6

Ved rasjonell rotteorem er alle mulige rasjonelle røtter til polunomialet,

Divisorer for d/a = ±1, ±2, ±3, ±6

x = 1, i p(x), får vi

f(1) = (1)³– 2(1)²– 5(1) – 6

f(-1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0

Ved faktorteorem er altså x – 1 faktoren til p(x).

Altså x³+ 2x²– 5x – 6 = (x-1)(x²-x – 6)

x³+ 2x²– 5x – 6 = (x-1)(x+2)(x-3)

For nuller, p(x) = 0,

Nullpunkter for p(x) er x = 1, x = -2 og x = 3.

Øv problemer på null av polynom

1. Finn alle nullpunktene til polynomet f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6

2. Bestem alle nullpunktene til polynomet g(x) = 2x ⁴ – 7x ³ + 3x ² + 4x – 4

3. Finn nullpunktene til polynomet h(x) = x ⁵ – 3x ⁴ + 2x ³ – 6x ² + x + 2

4. Bestem alle nullpunktene til polynomet p(x) = 3x ⁴ – 16x ³ + 18x ² + 16x – 12.

Vanlige spørsmål om Zeros of Polynomial

Hva er nuller i et polynom?

Disse slike reelle verdiene, for verdien av polynomet blir 0, dvs. hvis p(x) er et polynom, og p(a) = 0, så er x = a null av p(x).

Hvordan finne nullene til et polynom?

Det er forskjellige metoder for forskjellige polynomer for å finne nuller, for eksempel for kvadratisk spilling av mellomleddet og kvadratisk formel. For lineær, enkel omorganisering av variabler og for kubikk bruker vi en kombinasjon av rasjonell rotteorem, lang divisjon, faktorsetning og restsetning.

Kan et polynom ha mer enn ett null?

Ja, et polynom kan ha mer enn én null, faktisk kan polynomet på n grader ha maksimalt n reelle nuller.

Hva er multiplisiteten til en null i et polynom?

I faktoriseringsprosessen kom en faktor eller en null av et polynom, så kom det flere ganger en faktor eller en null, det kalles multiplisiteten til den roten.

Hva er Algebras grunnleggende teorem?

Grunnsetningen til algebra sier Hvis P(x) er et polynom av grad n, vil P(x) ha nøyaktig n nuller, hvorav noen kan gjenta seg.

Har et polynom med en grad n alltid n ekte røtter?

Nei, et polynom med grad n har ikke alltid n reelle røtter, siden noen røtter kan være imaginære eller komplekse tall.

Hva er graden av nullpolynom?

Graden av nullpolynom er null.

saira banu skuespiller