Kunnskap om matriser er nødvendig for ulike grener av matematikken. Matriser er et av de kraftigste verktøyene i matematikk. Fra matriser kommer det Determinanter, Nå ser vi en av egenskapene til Determinanten i denne artikkelen.

I denne artikkelen ser vi hvordan du finner Adjoint av en matrise. Å vite om Adjoint av en matrise vi må vite om Kofaktor av en matrise.

Innholdsfortegnelse

• Adjoint av en matrisedefinisjon
• Minor av en matrise
• Kofaktor for en matrise
• Transponering av matrise
• Hvordan finne adjoint til en matrise?
• Egenskaper til adjoint av en matrise
• Finne invers ved hjelp av adjoint av en matrise

Adjoint av en matrisedefinisjon

Adjointen til en matrise er transponeringsmatrisen til kofaktoren til den gitte matrisen. For at enhver kvadratisk matrise A skal beregne dens adj. matrise må vi først beregne kofaktormatrisen til den gitte matrisen og deretter finne dens determinant. Følg disse trinnene for å beregne Ajoint av en matrise:

Trinn 1 : Regn ut minor av alle elementene i den gitte matrisen A.

Steg 2: Finn kofaktormatrisen C ved å bruke de mindre elementene.

Trinn 3: Finn Adjoint-matrisen til A ved å ta transponeringen av kofaktormatrisen C.

For en hvilken som helst 2×2 matrise A er bildet av dens adjoint vist nedenfor,

La oss nå lære om minor, kofaktor og transponering av matrisen.

Minor av en matrise

Matrisens minor er matrisen eller elementet som beregnes ved å skjule raden og kolonnen i matrisen til elementet som minoren er beregnet for. For 2×2-matrisen er minor elementet som vises ved å skjule raden og kolonnen til elementet som minor er beregnet for.

Lære mer om, Mindreårige og kofaktorer

Kofaktor for en matrise

Kofaktoren er tallet vi får når vi fjerner kolonnen og raden til et angitt element i en matrise. Det betyr å ta ett element fra en matrise og slette hele raden og kolonnen til det elementet fra matrisen, deretter hvilke elementer som er tilstede i den matrisen, som kalles kofaktor.

Hvordan finne kofaktor for en matrise

For å finne kofaktoren til et element i en matrise kan vi bruke følgende trinn:

Trinn 1: Slett hele raden og kolonnen som inneholder elementet som vurderes.

Steg 2: Ta de resterende elementene slik de er i matrisen etter trinn 1.

Trinn 3: Finn determinanten for matrisen dannet i trinn 2 som kalles liten av elementet.

Trinn 4: Bruk nå formelen for kofaktoren til element a_ijdvs. (-1)^i+jM_ijder Mij er moll av elementet i i^thrad og j^thkolonne som allerede er beregnet i trinn 3.

Trinn 5: Resultatet av trinn 4 er kofaktoren til elementet som vurderes, og på samme måte kan vi beregne kofaktoren til hvert element i matrisen for å finne kofaktormatrisen til den gitte matrisen.

Eksempel: Finn kofaktormatrise av old{A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

Løsning:

Gitt matrise erA =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix}

La oss finne kofaktoren til element i første rad tredje kolonne, dvs. 3.

Trinn 1: Slett hele raden og kolonnen som inneholder elementet som vurderes.

dvs., egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix}

Steg 2: Ta de resterende elementene slik de er i matrisen etter trinn 1.

dvs.,egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix}

Trinn 3: Finn determinanten for matrisen dannet i trinn 2 som kalles minor av elementet.

Mindre på 3 tommerA = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32

Trinn 4: Bruk nå formelen for kofaktoren til element a_ijdvs. (-1)^i+jM_ij

Kofaktor for element 3 = (-1)¹⁺³(32) = 32

Trinn 5: Fortsett prosedyren for alle elementene for å finne kofaktormatrisen til A,

dvs. kofaktormatrise av A =egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}

Transponering av matrise

Transponering av en matrise er matrisen som dannes ved å endre radene og kolonnene i matrisen med hverandre. Transponeringen av matrisen A er betegnet som A^Teller A^'. Hvis rekkefølgen til matrisen A er m×n, så er rekkefølgen til transponeringsmatrisen n×m.

Lære mer om, Transponere en matrise

Hvordan finne adjoint til en matrise?

For å finne tilknytningen til en matrise må vi først finne kofaktoren til hvert element, og deretter finne 2 trinn til. se trinnene nedenfor,

Trinn 1: Finn kofaktoren til hvert element som er tilstede i matrisen.

Steg 2: Lag en annen matrise med kofaktorene som elementer.

Trinn 3: Finn nå transponeringen av matrisen som kommer fra etter trinn 2.

Hvordan finne adjoint av en 2×2 matrise

La oss vurdere et eksempel for å forstå metoden for å finne adjunkten til 2×2-matrisen.

Eksempel: Finn Adjoint av old{ ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix}} .

Løsning:

Gitt matrise er ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix}

Trinn 1: Finn kofaktoren til hvert element.

Kofaktor for element ved A[1,1]: 5

Kofaktor for element ved A[1,2]: -4

Kofaktor for element ved A[2,1]: -3

Kofaktor for element ved A[2,2]: 2

Steg 2: Lag matrise fra Cofactors

dvs.,old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}}

Trinn 3: Transponering av kofaktormatrise,

old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}

Hvordan finne adjoint til en 3×3-matrise

La oss ta et eksempel på en 3×3-matrise for å forstå hvordan vi beregner adjoint til den matrisen.

Eksempel: Finn Adjoint av old{A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

Løsning:

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Trinn 1: Finn kofaktoren til hvert element.

C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3

Steg 2: Lag matrise fra Cofactors

regex java

C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix}

Trinn 3: Transponer matrise C til adjoint til gitt matrise.

operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix}

Som er adjoint av gitt matrise A.

Egenskaper til adjoint av en matrise

Adjoint av en matrise har forskjellige egenskaper, noen av disse egenskapene er som følger:

• A(Adj A) = (Adj A)A = |A| Jeg_n
• Adj(BA) = (Adj B) (Adj A)
• |Adj A| = |A|^n-1
• Adj(kA) = k^n-1(Adj A)

Finne invers ved hjelp av adjoint av en matrise

Å finne inversen er en av de viktige bruksområdene til Adjoint of the Matrix. For å finne inversen til en matrise ved å bruke Adjoint kan vi bruke følgende trinn:

Trinn 1: Finn determinant for matrisen .

Steg 2: Hvis determinanten er null, er ikke matrisen inverterbar, og det er ingen invers.

Trinn 3: Hvis determinanten ikke er null, finn adjointen til matrisen.

Trinn 4: Del adjointen til matrisen med determinanten til en matrise.

Trinn 5: Resultatet av trinn 4 er inversen av den gitte matrisen.

Eksempel: Finn det motsatte av old{A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

Løsning:

Gitt matriseA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

|A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)

⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)

⇒ |A| = -3 + 12 – 9 = 0

Dermed eksisterer ikke invers av A.

Lære mer om, Invers av en matrise

Løste eksempler på adjoint av en matrise

Eksempel 1: Finn Adjoint til den gitte matrisen A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} .

Løsning:

Trinn 1: For å finne kofaktoren til hvert element

For å finne kofaktoren til hvert element, må vi slette raden og kolonnen til hvert element en etter en og ta de nåværende elementene etter sletting.

Kofaktor for elementer ved A[0,0] = 1 : +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4

Kofaktor for elementer ved A[0,1] = 2 : -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33

Kofaktor for elementer ved A[0,2] = 3 : +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32

Kofaktor for elementer ved A[2,0] = 7 : -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6

Kofaktor for elementer ved A[2,1] = 4 : +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9

Kofaktor for elementer ved A[2,2] = 5 : -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4

Kofaktor for elementer ved A[3,0] = 6 : +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2

Kofaktor for elementer ved A[3,1] = 8 : -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16

Kofaktor for elementer ved A[3,2] = 9 : +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10

Matrisen ser slik ut med kofaktorene:

A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix}

Den endelige kofaktormatrisen:

A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix}

Trinn 2: Finn transponeringen av matrisen oppnådd i trinn 1

adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix}

Dette er Adjoint av matrisen.

Eksempel 2: Finn Adjoint til den gitte matrisen A =egin{bmatrix} -1 & -2 & -2 2 & 1 & -2 2 & -2 & 1 end{bmatrix} .

Løsning:

Trinn 1: For å finne kofaktoren til hvert element

For å finne kofaktoren til hvert element, må vi slette raden og kolonnen til hvert element en etter en og ta de nåværende elementene etter sletting.

Kofaktor for element ved A[0,0] = -1 :+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3

Kofaktor for elementer ved A[0,1] = -2 :-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6

Kofaktor for elementer ved A[0,2] = -2 :+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6

Kofaktor for elementer ved A[2,0] = 2:-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6

Kofaktor for elementer ved A[2,1] = 1 : +egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3

Kofaktor for elementer ved A[2,2] = -2 :-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6

Kofaktor for elementer ved A[3,0] = 2:+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6

Kofaktor for elementer ved A[3,1] = -2 :-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6

Kofaktor for elementer ved A[3,2] = 1 :+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3

Den endelige kofaktormatrisen:

A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix}

Trinn 2: Finn transponeringen av matrisen oppnådd i trinn 1

adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix}

Dette er Adjoint av matrisen.

Vanlige spørsmål om Adjoint of a Matrix

Hva er adjoint av en matrise?

Adjointen til en kvadratisk matrise er transponeringen av matrisen av kofaktorer til den opprinnelige matrisen. Det er også kjent som adjugatmatrisen.

Hvordan beregnes adjoint av en matrise?

For å beregne adjunkten til en matrise, må du finne kofaktormatrisen til den gitte matrisen og deretter transponere den.

Hva er bruk av adjoint av en matrise?

Nøkkelapplikasjonen eller bruken av adjoint til en matrise er å finne inversen til inverterbare matriser.

Hva er forholdet mellom invers av en matrise og dens adjoint?

Den inverse av en matrise oppnås ved å dele dens adjoint med dens determinant. Det vil si at hvis A er en kvadratisk matrise og det(A) ikke er null, da

EN ^-1 = adj(A)/det(A)

Hva er Adjugate Matrix?

Adjoint matrisen kalles også Adjugate Matrix. Det er transponeringen av kofaktoren til den gitte matrisen.

Hva er forskjellen mellom adjoint og transponering av en matrise?

Adjointen til en matrise er transponeringen av matrisen av kofaktorer, mens transponeringen av en matrise oppnås ved å bytte ut rader og kolonner.

Er en kvadratisk matrise alltid inverterbar?

Nei, kvadratisk matrise er ikke alltid inverterbar. En kvadratisk matrise er bare inverterbar hvis den har en determinant som ikke er null.

Kan adjoint av en ikke-kvadratisk matrise beregnes?

Nei, adjointen til en matrise kan bare beregnes for en kvadratisk matrise på grunn av definisjonen av den.