Area Under Curve er areal omsluttet av kurve og koordinataksene, det beregnes ved å ta veldig små rektangler og deretter ta summen deres hvis vi tar uendelig små rektangler så beregnes summen deres ved å ta grensen for funksjonen som er dannet på denne måten.

For en gitt funksjon f(x) definert i intervallet [a, b], er arealet (A) under kurven til f(x) fra 'a' til 'b' gitt av A = ∫ _en ^b f(x)dx . Arealet under en kurve beregnes ved å ta den absolutte verdien av funksjonen over intervallet [a, b], summert over området.

I denne artikkelen vil vi lære om området under kurven, dets applikasjoner, eksempler og andre i detalj.

Innholdsfortegnelse

• Hva er Area Under Curve?
• Beregning av arealet under kurven
• Bruk av Reimann Sums
• Bruk av bestemte integraler
• Tilnærmet område under kurve
• Beregner areal under kurve
• Formler for område under kurve

Hva er Area Under Curve?

Area Under the Curve er arealet omsluttet av en hvilken som helst kurve med x-aksen og gitte grensebetingelser, dvs. området avgrenset av funksjonen y = f(x), x-aksen og linjen x = a, og x = b. I noen tilfeller er det bare én eller ingen grensebetingelse da kurven skjærer x-aksen enten en eller to ganger.

Areal under kurven kan beregnes ved hjelp av ulike metoder som Reimann sum, og Sikker integral og vi kan også tilnærme arealet ved å bruke de grunnleggende formene, dvs. trekant, rektangel, trapes, etc.

Les i detalj: Regning i matematikk

Beregning av arealet under kurven

For å beregne arealet under en kurve kan vi bruke følgende metoder som:

• Bruk av Reimann Sums
• Bruk av bestemte integraler
• Bruke tilnærming

La oss studere disse metodene i detalj som følger:

Bruk av Reimann Sums

Reimann Sums beregnes ved å dele en gitt funksjons graf i mindre rektangler og summere arealene til hvert rektangel. Jo flere rektangler vi vurderer ved å dele det angitte intervallet, desto mer presist er arealet beregnet ved denne tilnærmingen; Likevel, jo flere delintervaller vi vurderer, desto vanskeligere blir beregningene.

Reimann Sum kan klassifiseres i ytterligere tre kategorier som:

• Venstre Reimann Sum
• Høyre Reimann Sum
• Midtpunkt Reimann Sum

Areal som bruker Reimann-summen er gitt som følger:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

hvor,

• f(x _Jeg ) er verdien av funksjonen som integreres på Jeg ^th prøvepunkt
• Δx = (b-a)/n er bredden på hvert delintervall,
  • en og b er grensene for integrering og
  • n er antall delintervaller
• ∑ representerer summen av alle leddene fra i=1 til n,

Eksempel: Finn arealet under kurven for funksjon, f(x) = x ² mellom grensene x = 0 og x = 2.

Løsning:

Vi ønsker å finne arealet under kurven til denne funksjonen mellom x = 0 og x = 2. Vi vil bruke en venstre Reimannssum med n = 4 delintervaller for å tilnærme arealet.

La oss beregne arealet under kurven ved å bruke 4 delintervaller.

Således, bredde på delintervaller, Δx = (2-0)/4 = 0,5

Alle de 4 delintervallene er,

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

x₀= 0, x₁= 0,5, x₂= 1, x₃= 1,5, x₄= 2

Nå kan vi evaluere funksjonen ved disse x-verdiene for å finne høydene til hvert rektangel:

f(x₀) = (0)²= 0
f(x₁) = (0,5)²= 0,25
f(x₂) = (1)²= 1
f(x₃) = (1,5)²= 2,25
f(x₄) = (2)²= 4

Arealet under kurven kan nå tilnærmes ved å summere arealene til rektanglene dannet av disse høydene:

A ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0,5[0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Derfor er areal under kurven til f(x) = x²mellom x = 0 og x = 2, tilnærmet ved hjelp av en venstre Reimann Sum med 4 delintervaller, er omtrent 1,25.

Bruk av bestemte integraler

Definite Integral er nesten det samme som Reimann-summen, men her nærmer antallet delintervaller seg uendelig. Hvis funksjonen er gitt for intervall [a, b], er bestemt integral definert som:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

Et bestemt integral gir det nøyaktige arealet under kurven, i motsetning til Reimann-summen. Det bestemte integralet beregnes ved å finne antideriverten til funksjonen og evaluere den ved grensene for integrasjon.

Område med hensyn til X-aksen

Kurven vist i bildet nedenfor er representert ved å bruke y = f(x). Vi må beregne arealet under kurven i forhold til x-aksen. Grenseverdiene for kurven på x-aksen er henholdsvis a og b. Arealet A under denne kurven i forhold til x-aksen beregnes mellom punktene x = a og x = b. Tenk på følgende kurve:

Formel for areal under kurven w.r.t til x-aksen er gitt av:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

java få gjeldende tid

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

hvor,

• EN er Area Under Curve
• og eller f(x) er kurvelikning
• en, og b er x-verdier eller integrasjonsgrense, som vi må beregne areal for

Område med hensyn til Y-akse

Kurven vist i bildet ovenfor er representert ved hjelp av x = f(y). Vi må beregne arealet under kurven med hensyn til Y-aksen. Grenseverdiene for kurven på Y-aksen er henholdsvis a og b. Arealet A under denne kurven i forhold til Y-aksen mellom punktene y = a og y = b. Tenk på følgende kurve:

Formel for område under kurven w.r.t til y-aksen er gitt av:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

hvor,

• EN er Area Under Curve
• x eller f(y) er kurvelikning
• a, b er y-avskjæringer

Lære mer, Område mellom to kurver

Tilnærmet område under kurve

Å tilnærme arealet under kurven innebærer å bruke enkle geometriske former, for eksempel rektangler eller trapeser, for å estimere arealet under kurven. Denne metoden er nyttig når funksjonen er vanskelig å integrere eller når det ikke er mulig å finne en antiderivert av funksjonen. Nøyaktigheten av tilnærmingen avhenger av størrelsen og antallet av formene som brukes.

Beregner areal under kurve

Vi kan enkelt beregne arealet til de forskjellige kurvene ved å bruke konseptene som er diskutert i den gitte artikkelen. La oss nå vurdere noen eksempler på beregning av arealet under kurven for noen vanlige kurver.

Område under kurve: parabel

Vi vet at en standardparabel er delt inn i to symmetriske deler av enten x-aksen eller y-aksen. Anta at vi tar en parabel y²= 4ax og deretter skal arealet beregnes fra x = 0 til x = a. Og om nødvendig dobler vi arealet for å finne arealet til parablen i begge kvadrantene.

Beregner areal,

og²= 4aks

y = √(4ax)

A = 2∫₀^eny.dx

A = 2∫₀^en√(4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^en√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Dermed er areal under parabelen fra x = 0 til x = a 8/3a ² kvadratiske enheter

Område under kurve: Sirkel

En sirkel er en lukket kurve hvis omkrets alltid er i lik avstand fra sentrum. Arealet beregnes ved først å beregne arealet i første kvadrant og deretter multiplisere det med 4 for alle fire kvadrantene.

Anta at vi tar en sirkel x²+ og²= a²og deretter skal arealet beregnes fra x = 0 til x = a i første kvadrant. Og om nødvendig firdobler vi arealet for å finne arealet av sirkelen.

Beregner areal,

x²+ og²= a²

y = √(a²– x²).dx

A = 4∫₀^eny.dx

A = 4∫₀^en√(a²– x²).dx

A = 4[x/2√(a²– x²) + a²/2 uten^-1(x/a)]^en₀

A = 4[{(a/2).0 + a²/2.uten^-1} – 0]

A = 4(a²/2)(p/2)

A = πa²

Dermed er areal under sirkelen pa ² kvadratiske enheter

Område under kurve: Ellipse

En sirkel er en lukket kurve. Arealet beregnes ved først å beregne arealet i første kvadrant og deretter multiplisere det med 4 for alle fire kvadrantene.

Anta at vi tar en sirkel (x/a)²+ (y/b)²= 1 og deretter skal arealet beregnes fra x = 0 til x = a i første kvadrant. Og om nødvendig firedobbler vi området for å finne området til ellipsen.

Beregner areal,

(x/a)²+ (y/b)²= 1

y = b/a√(a²– x²).dx

A = 4∫₀^eny.dx

A = 4b/a∫₀^en√(a²– x²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²– x²) + a²/2 uten^-1(x/a)]^en₀

A = 4b/a[{(a/2).0 + a²/2.uten^-1} – 0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

Dermed er området under ellipsen πab kvadratiske enheter.

Formler for område under kurve

Formel for ulike typer beregning av Area Under Curve er tabellert nedenfor:

Les også

• Integraler
• Område som bestemt integral

Eksempeleksempler på Area Under Curve

Eksempel 1: Finn arealet under kurven y ² = 12x og X-aksen.

Løsning:

Den gitte kurvelikningen er y²= 12x

Dette er en ligning av parabel med a = 3 så, y²= 4(3)(x)

Grafen for det nødvendige området vises nedenfor:

X-aksen deler parabelen ovenfor i 2 like deler. Så vi kan finne arealet i første kvadrant og deretter multiplisere det med 2 for å få det nødvendige arealet

Så vi kan finne det nødvendige området som:

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

hvordan konvertere streng til heltall java

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 kvm enheter

Eksempel 2: Regn ut arealet under kurven x = y ³ – 9 mellom punktene y = 3 og y = 4.

Løsning:

Gitt er kurvens ligning x = y³– 9

Grensepunkter er (0, 3) og (0, 4)

Siden kurvelikningen har formen x = f(y) og punktene også er på Y-aksen, vil vi bruke formelen,

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 kvm enheter

Eksempel 3: Regn ut arealet under kurven y = x ² – 7 mellom punktene x = 5 og x = 10.

Løsning:

Gitt er kurven y = x²−7 og grensepunktene er (5, 0) og (10, 0)

Dermed er arealet under kurven gitt av:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 kvm enheter

Eksempel 4: Finn arealet som er omsluttet av parabelen y ² = 4ax og linjen x = a i første kvadrant.

Løsning:

Kurven og linjen kan tegnes som følger:

Nå er kurvelikningen y²= 4aks

Grensepunkter kommer ut til å være (0, 0) og (a, 0)

Så arealet med hensyn til X-aksen kan beregnes som:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

Eksempel 5: Finn området dekket av sirkelen x ² + og ² = 25 i første kvadrant.

Løsning:

Gitt, x²+ og²= 25

Kurven kan tegnes som:

Nødvendig område har blitt skyggelagt i figuren ovenfor. Fra ligningen kan vi se at radiusen til sirkelen er 5 enheter.

Som, x²+ og²= 25

y = sqrt{25-x^2}

For å finne området skal vi bruke:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 kvm enheter

Vanlige spørsmål om Area Under Curve

Definer område under en kurve.

Område som er omsluttet av kurven, aksen og grensepunktene refereres til som området under kurven. Ved hjelp av koordinataksene og integrasjonsformelen er arealet under kurven bestemt som et todimensjonalt område.

Hvordan beregne areal under en kurve?

Det er tre metoder for å finne arealet under kurven, det er:

• Reimann Sums involvere å dele kurven i mindre rektangler og legge til arealene deres, med antall delintervaller som påvirker nøyaktigheten av resultatet.
• Bestemte integraler ligner på Reimann Sums, men bruker et uendelig antall delintervaller for å gi et nøyaktig resultat.
• Tilnærmingsmetoder brukes kjente geometriske former for å tilnærme arealet under kurven.

Hva er forskjellen mellom en bestemt integral og en Reimann-sum?

Hovedforskjellen mellom en bestemt integral og en Reimann-sum er at en bestemt integral representerer det eksakte arealet under en gitt kurve, mens en Reimann-sum representerer den omtrentlige verdien av området og nøyaktigheten til summen avhenger av den valgte partisjonsstørrelsen.

Kan Area Under Curve være negativt?

Hvis kurven er under aksen eller ligger i koordinataksens negative kvadranter, er arealet under kurven negativt. Også i dette tilfellet beregnes arealet under kurven ved hjelp av den konvensjonelle tilnærmingen, og løsningen blir deretter modulert. Selv i tilfeller der svaret er negativt, blir bare områdets verdi tatt i betraktning, ikke svarets negative fortegn.

Hva representerer Area Under Curve i statistikk?

Area under curve (ROC) er et mål på nøyaktigheten til en kvantitativ diagnostisk test.

Hvordan tolker du tegn på område under en kurve?

Tegn på areal viser at området under kurven er over x-aksen eller under x-aksen. Hvis arealet er positivt, er arealet under kurven over x-aksen, og hvis det er negativt, er arealet under kurven under x-aksen.

Hvordan er området under kurve tilnærmet?

Ved å segmentere området i bittesmå rektangler, kan området under kurven estimeres grovt. Og ved å legge til arealene til disse rektanglene kan man få arealet under kurven.