Aritmetisk progresjon, også kjent som A.P. er en sekvens i matematikk der forskjellen mellom de to påfølgende leddene er en konstant. Konstanten er kjent som den vanlige forskjellen. Den aritmetiske progresjonen er en rekkefølge av tall i rekkefølge, der forskjellen mellom to påfølgende tall er en konstant verdi.

I denne artikkelen vil vi lære om aritmetisk progresjonsdefinisjon, aritmetiske progresjonsformler, relaterte eksempler og andre i detalj.

nulle nuller

Innholdsfortegnelse

• Hva er aritmetisk progresjon?
• Notasjoner i aritmetisk progresjon
• Vanlig forskjell på aritmetisk progresjon
• Første termin av aritmetisk progresjon
• Nte term av aritmetisk progresjon
• Summen av aritmetisk progresjon
• Aritmetisk progresjonsformel (AP-formler)

Hva er aritmetisk progresjon?

Aritmetisk progresjon (AP) er en tallsekvens der forskjellen mellom to påfølgende tall er en konstant verdi. Med andre ord kan aritmetisk progresjon defineres som En matematisk sekvens der forskjellen mellom to påfølgende ledd alltid er en konstant.

For eksempel er tallrekken: 1, 2, 3, 4, 5, 6, … i aritmetisk progresjon, som har en felles forskjell (d) mellom to påfølgende ledd (si 1 og 2) lik 1 (2 – 1). En felles forskjell mellom to påfølgende ledd kan sees, partall for oddetall og partall som 2 er lik. I AP er tre hovedbegreper Common difference (d), nth Term (a_n), og summen av de første n leddene (S_n); alle tre ledd representerer egenskapene til AP. La oss ta en titt på hva den vanlige forskjellen er i detalj,

Vi kommer over forskjellige ord som sekvens, serie og progresjon i AP; nå, la oss se hva hvert ord definerer,

• Sekvens er en endelig eller uendelig liste over tall som følger et bestemt mønster. For eksempel er 0, 1, 2, 3, 4, 5… sekvensen, som er en uendelig sekvens av hele tall.

• Serie er summen av elementene som sekvensen tilsvarer. For eksempel 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. er rekken av naturlige tall. Hvert tall i en sekvens eller en serie kalles et begrep. Her er 1 et begrep, 2 er et begrep, 3 er et begrep osv.

• Progresjon er en sekvens der det generelle begrepet kan uttrykkes ved hjelp av en matematisk formel eller sekvensen, som bruker en matematisk formel som kan defineres som progresjon.

Merk: Det er hovedsakelig tre typer progresjon:

1. Aritmetisk progresjon (AP)
2. Geometrisk progresjon (GP)
3. Harmonisk progresjon (HP)

Notasjoner i aritmetisk progresjon

Vi vil komme over følgende notasjoner i aritmetisk progresjon:

• Første semester ⇢ en
• Felles forskjell ⇢ d
• N. termin ⇢ en _n
• Summen av første n vilkår ⇢ S _n

Generell form for aritmetisk progresjon er a, a + d, a + 2d … a + (n – 1)d

Her er noen eksempler på AP:

• 6, 13, 20, 27, 34,41,...
• 91, 81, 71, 61, 51, 41, …
• p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
• -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,...

Vanlig forskjell på aritmetisk progresjon

Felles forskjell er angitt med d i aritmetisk progresjon. Det er forskjellen mellom neste periode og den før den. For aritmetisk progresjon er den alltid konstant eller den samme. Med et ord, hvis den vanlige forskjellen er konstant i en bestemt sekvens, kan vi si at dette er A.P. Hvis sekvensen er en_1,en₂, a₃, a₄, og så videre.

Med andre ord, den vanlige forskjellen i den aritmetiske progresjonen er betegnet med d. Forskjellen mellom det påfølgende leddet og det foregående leddet. Den er alltid konstant eller den samme for aritmetisk progresjon. Med andre ord kan vi si at i en gitt sekvens, hvis den felles forskjellen er konstant eller den samme, kan vi si at den gitte sekvensen er i Aritmetisk progresjon (AP).

Formelen for å finne den felles forskjellen er,

d = (a _{n + 1} – a _n ) = (a _n – a _n-1 )

• Hvis den felles forskjellen er positiv, da AP øker . For eksempel 4, 8, 12, 16... i disse seriene øker AP

• Hvis fellesforskjellen er negativ da AP synker . For eksempel -4, -6, -8..., her synker AP.

• Hvis fellesforskjellen er null da AP vil være konstant . For eksempel 1, 2, 3, 4, 5..., her er AP konstant.

Sekvens av aritmetisk progresjon vil være som en ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,…

Felles forskjell (d) = en ₂ – a ₁ = d

en ₃ – a ₂ = d

en ₄ – a ₃ = d og så videre.

Første termin av aritmetisk progresjon

Aritmetisk progresjon kan skrives i form av felles forskjell (d) som:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n – 1)d

inkluderer c-programmering

hvor,

• a er første termin av AP
• d er vanlig forskjell på AP

Nte term av aritmetisk progresjon

Det n-te leddet kan bli funnet ved å bruke formelen nevnt nedenfor,

T _n = a + (n − 1)d

hvor,

• a er første termin av AP
• d er felles forskjell
• n er antall vilkår
• T_ner n. ledd

Nte term av aritmetisk progresjon

Merk: Oppførselen til aritmetisk rekkefølge er basert på verdien av en felles forskjell.

• Hvis d er positiv, vil leddene øke til positiv uendelig.
• Hvis d er negativ, øker vilkårene til medlemmene til negativ uendelig

Summen av aritmetisk progresjon

Formel for aritmetisk progresjonssum er forklart nedenfor; vurdere et AP som består av n ledd.

S = n/2 [2a + (n − 1) d]

Summen av aritmetisk progresjon når første og siste ledd er gitt,

S = n/2 (første termin av AP + siste termin av AP)

S = N/2[a+ a _n ]

Aritmetisk progresjonsformel (AP-formler)

For en AP med første ledd 'a' og felles forskjell 'd', er dens forskjellige formler:

• Felles forskjell på AP: d = a ₂ – a ₁ = a ₃ – a ₂ = a ₄ – a ₃ = … = a _n – a _n-1

• nte periode for AP: en _n = a + (n – 1)d

• Sum av n vilkår for AP: S _n = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , hvor l er siste ledd i den aritmetiske progresjonen.

Sammendrag av aritmetisk progresjon

• Aritmetisk progresjon (AP) er en tallsekvens der forskjellen mellom to påfølgende tall er en konstant verdi. For eksempel tallserien: 1, 2, 3, 4, 5, 6,...

• Generell form for aritmetisk progresjon er a, a + d, a + 2d, a + 3d ...

• Formel for n. ledd av aritmetisk progresjon er en _n = a + (n – 1)d

• Summen av første n ledd eller den aritmetiske sumformelen er S _n = n/2[2a + (n – 1) d] , S _n = n/2[a + a _n ]

Artikkel relatert til aritmetisk progresjon:

• Oppsummeringsformel
• Summen av naturlige tall
• Aritmetisk progresjon og geometrisk progresjon

Eksempler på aritmetisk progresjon

Eksempel 1: Finn AP hvis det første leddet er 15 og den vanlige forskjellen er 4.

Løsning:

Som vi vet,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …

Her er a = 15 og d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

java for loop

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, … og så videre.

Så AP er det 15, 19, 23, 27, 31 …

Eksempel 2: Finn det 20. leddet for gitt AP: 3, 5, 7, 9, …

Løsning:

Gitt, 3, 5, 7, 9, 11……

Her,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

en_n= a + (n − 1)d

en_tjue= 3 + (20− 1)2

en_tjue= 3 + 38

en_tjue= 41

Her er 20. termin en_tjue= 41

Eksempel 3: Finn summen av de første 20 multiplene av 5.

Løsning:

De første 20 multiplene av 5 er 5, 10, 15, … 100.

Her er det klart at sekvensen som dannes er en aritmetisk sekvens der,

a = 5, d = 5, a_n= 100, n = 20.

S_n= n/2 [2a + (n − 1) d]

S_n= 20/2 [2 × 5 + (20 − 1)5]

S_n= 10 [10 + 95]

np std

S_n= 1050

Øvingsspørsmål om aritmetisk progresjon

Q1. Summen av de første nn leddene i en aritmetisk progresjon er gitt av S _n = 3n ² + 2n. Finn den felles forskjellen og det første leddet.

Q2. Første ledd i en aritmetisk progresjon er 7, og 11. ledd er 31. Finn summen av de første 11 leddene.

Q3. I en aritmetisk progresjon er summen av de første 10 leddene 150, og summen av de neste 10 leddene er 550. Finn det første leddet og fellesforskjellen.

Q4. Hvis det fjerde leddet i en aritmetisk progresjon er 10 og det 9. leddet er 25, finner du det 15. leddet.

Q5. En aritmetisk progresjon har en felles forskjell på 5. Hvis 6. ledd er 22, finn det første leddet og summen av de første 12 leddene.

Vanlige spørsmål om aritmetisk progresjon

Hva er aritmetisk progresjon med et eksempel?

Aritmetisk progresjon er en tallsekvens der de to påfølgende leddene har en felles forskjell. For eksempel: 3, 6, 9, 12, 15,...

Hvordan finner du summen av aritmetisk progresjon?

For å finne den aritmetiske progresjonssummen, kan følgende formler brukes basert på hvilken informasjon som er gitt:

S = n/2 (første ledd av AP + siste ledd av AP) = n/2[a+ a _n ]

Hva er forskjellen mellom aritmetisk progresjon og aritmetisk serie?

Aritmetisk progresjon er antall sekvenser innenfor ethvert område som gir en felles forskjell. Mens den aritmetiske serien/sekvensen er summen av alle leddene som er tilstede i den aritmetiske progresjonen.

Hva er formelen for AP og GP?

Formelen for AP og GP er:

• AP: en _n = a + (n – 1).d
• Fastlege: en _n = a.r

Hva er bruken av aritmetisk progresjon?

Aritmetisk progresjon er serien som gir en felles forskjell mellom to påfølgende ledd. Det brukes i dagliglivet for å generalisere et sett med mønstre. For eksempel å vente på en buss, anta at bussene beveger seg med konstant hastighet, ved hjelp av AP kan du fortelle når bussen kommer. AP kan også brukes til å lage pyramidelignende strukturer, etc.