Bayes' teorem brukes til å bestemme den betingede sannsynligheten for en hendelse. Den ble oppkalt etter en engelsk statistiker, Thomas Bayes som oppdaget denne formelen i 1763. Bayes-teorem er et veldig viktig teorem i matematikk, som la grunnlaget for en unik statistisk slutningsmetode kalt Bayes' slutning. Den brukes til å finne sannsynligheten for en hendelse, basert på forhåndskunnskap om forhold som kan være relatert til hendelsen.

For eksempel, hvis vi ønsker å finne sannsynligheten for at en tilfeldig hvit klinkekule kom fra den første posen, gitt at en hvit kule allerede er tegnet, og det er tre poser som hver inneholder noen hvite og svarte klinkekuler, så kan vi bruke Bayes' teorem.

Denne artikkelen utforsker Bayes-teoremet, inkludert dets utsagn, bevis, utledning og formel for teoremet, så vel som dets anvendelser med forskjellige eksempler.

ekta kapoor skuespiller

Hva er Bayes' teorem?

Bayes-teorem (også kjent som Bayes-regelen eller Bayes-loven) brukes til å bestemme den betingede sannsynligheten for hendelse A når hendelse B allerede har skjedd.

Den generelle uttalelsen til Bayes' teorem er Den betingede sannsynligheten for en hendelse A, gitt forekomsten av en annen hendelse B, er lik produktet av hendelsen B, gitt A og sannsynligheten for A delt på sannsynligheten for hendelse B. dvs.

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

hvor,

• P(A) og P(B) er sannsynlighetene for hendelser A og B
• P(A|B) er sannsynligheten for hendelse A når hendelse B skjer
• P(B|A) er sannsynligheten for hendelse B når A skjer

Kryss av: Bayes teorem for betinget sannsynlighet

Bayes teorem-uttalelse

Bayes' teorem for n sett med hendelser er definert som,

La E₁, OG₂,…, OG_nvære et sett med hendelser knyttet til prøverommet S, der alle hendelsene E₁, OG₂,…, OG_nhar en ikke-null sannsynlighet for forekomst. Alle hendelsene E₁, OG₂,…, E danner en partisjon av S. La A være en hendelse fra rom S som vi må finne sannsynlighet for, så ifølge Bayes' teorem,

P(E _Jeg |A) = P(E _Jeg )P(A|E _Jeg ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

for k = 1, 2, 3, …, n

Bayes teoremformel

For alle to hendelser A og B, er formelen for Bayes-setningen gitt av: (bildet gitt nedenfor gir Bayes-teoremets formel)

Bayes' teoremformel

hvor,

• P(A) og P(B) er sannsynlighetene for hendelser A og B også P(B) er aldri lik null.
• P(A|B) er sannsynligheten for hendelse A når hendelse B skjer
• P(B|A) er sannsynligheten for hendelse B når A skjer

Bayes teorem derivasjon

Beviset for Bayes' teorem er gitt som, i henhold til den betingede sannsynlighetsformelen,

P(E _Jeg |A) = P(E _Jeg ∩A) / P(A)…..(i)

Så, ved å bruke multiplikasjonsregelen for sannsynlighet, får vi

P(E _Jeg ∩A) = P(E _Jeg )P(A|E _Jeg )……(ii)

Nå, ved totalsannsynlighetsteoremet,

P(A) = ∑ P(E _k )P(A|E _k )…..(iii)

Erstatter verdien av P(E_Jeg∩A) og P(A) fra eq (ii) og eq(iii) i eq(i) får vi,

P(E _Jeg |A) = P(E _Jeg )P(A|E _Jeg ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

Bayes teorem er også kjent som formelen for sannsynlighet for årsaker . Som vi vet, E _Jeg 's er en partisjon av prøverommet S, og til enhver tid bare én av hendelsene E _Jeg inntreffer. Dermed konkluderer vi med at Bayes teoremformel gir sannsynligheten for en bestemt E_Jeg, gitt hendelsen A har skjedd.

Begreper relatert til Bayes-teorem

Etter å ha lært om Bayes teorem i detalj, la oss forstå noen viktige termer relatert til konseptene vi dekket i formel og derivasjon.

• Hypoteser: Hendelser som skjer i prøverommet OG ₁ , OG ₂ ,… OG _n kalles hypotesene

• Priori Sannsynlighet: Priori Sannsynlighet er den opprinnelige sannsynligheten for at en hendelse inntreffer før noen nye data tas i betraktning. P(E_Jeg) er priori-sannsynligheten for hypotese E_Jeg.

• Bakre sannsynlighet: Posterior sannsynlighet er den oppdaterte sannsynligheten for en hendelse etter å ha vurdert ny informasjon. Sannsynlighet P(E_Jeg|A) regnes som den bakre sannsynligheten for hypotese E_Jeg.

Betinget sannsynlighet

• Sannsynligheten for en hendelse A basert på forekomsten av en annen hendelse B kalles betinget sannsynlighet .
• Det er betegnet som P(A|B) og representerer sannsynligheten for A når hendelse B allerede har skjedd.

Felles sannsynlighet

Når sannsynligheten for at ytterligere to hendelser inntreffer sammen og samtidig måles, markeres den som felles sannsynlighet. For to hendelser A og B, er det betegnet med felles sannsynlighet er betegnet som, P(A∩B).

Tilfeldige variabler

Variabler med reell verdi hvis mulige verdier bestemmes av tilfeldige eksperimenter kalles tilfeldige variabler. Sannsynligheten for å finne slike variabler er den eksperimentelle sannsynligheten.

Bayes' teoremapplikasjoner

Bayesiansk slutning er veldig viktig og har funnet anvendelse i ulike aktiviteter, inkludert medisin, vitenskap, filosofi, ingeniørfag, sport, juss, etc., og bayesiansk slutning er direkte avledet fra Bayes teorem.

Eksempel: Bayes teorem definerer nøyaktigheten av den medisinske testen ved å ta hensyn til hvor sannsynlig en person er for å ha en sykdom og hva som er den generelle nøyaktigheten til testen.

Forskjellen mellom betinget sannsynlighet og Bayes-teorem

Forskjellen mellom betinget sannsynlighet og Bayes-teorem kan forstås ved hjelp av tabellen nedenfor,

Teorem for total sannsynlighet

La E₁, OG₂, . . ., OG_ner gjensidig utelukkende og uttømmende hendelser assosiert med et tilfeldig eksperiment og lar E være en hendelse som skjer med noen E_Jeg. Så bevis det

P(E) = ⁿ ∑ _i=1 TISSE _Jeg ). P(E _j )

Bevis:

La S være prøverommet. Deretter,

S = E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ One og E_Jeg∩ E_j= ∅ for i ≠ j.

E = E ∩ S

⇒ E = E ∩ (E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ E_n)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_n)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩ E_n)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_n)

{Derfor, (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_n)} er parvis usammenhengende}

⇒ P(E) = P(E/E₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + . . . + P(E/E_n). P(E_n) [ved multiplikasjonsteorem]

⇒ P(E) =ⁿ∑_i=1TISSE_Jeg). P(E_Jeg)

Artikler relatert til Bayes' teorem

• Sannsynlighetsfordeling
• Bayes' teorem for betinget sannsynlighet
• Permutasjoner og kombinasjoner
• Binomial teorem

Konklusjon – Bayes’ teorem

Bayes' Teorem tilbyr et kraftig rammeverk for å oppdatere sannsynligheten for en hypotese basert på nye bevis eller informasjon. Ved å inkorporere forkunnskaper og oppdatere den med observerte data, gir Bayes' teorem mer nøyaktige og informerte beslutninger innen en lang rekke felt, inkludert statistikk, maskinlæring, medisin og finans. Applikasjonene spenner fra medisinsk diagnose og risikovurdering til spamfiltrering og naturlig språkbehandling.

Å forstå og anvende Bayes' teorem gjør oss i stand til å gjøre bedre spådommer, estimere usikkerheter og trekke meningsfull innsikt fra data, noe som til slutt forbedrer vår evne til å ta informerte beslutninger i komplekse og usikre situasjoner.

Sjekk også:

js base64 dekode

• Bayes' teorem i datautvinning
• Bayes teorem i kunstig intelligens
• Bayes teorem i maskinlæring

Eksempler på Bayes teorem

Eksempel 1: En person har påtatt seg en jobb. Sannsynlighetene for å fullføre jobben i tide med og uten regn er henholdsvis 0,44 og 0,95. Hvis sannsynligheten for at det regner er 0,45, må du bestemme sannsynligheten for at jobben blir fullført i tide.

Løsning:

La E₁være hendelsen at gruvejobben vil bli fullført i tide og E₂være hendelsen at det regner. Vi har,

P(A) = 0,45,

P(ingen regn) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0,45 = 0,55

Ved multiplikasjonsloven om sannsynlighet,

P(E₁) = 0,44, og P(E₂) = 0,95

Siden hendelser A og B danner partisjoner av prøverommet S, etter total sannsynlighetsteorem, har vi

P(E) = P(A) P(E₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Så sannsynligheten for at jobben blir fullført i tide er 0,7205

Eksempel 2: Det er tre urner som inneholder 3 hvite og 2 svarte kuler; 2 hvite og 3 sorte kuler; 1 svart og 4 hvite kuler henholdsvis. Det er like stor sannsynlighet for at hver urne blir valgt. En ball er lik sannsynlighet valgt tilfeldig. hva er sannsynligheten for at en hvit ball blir trukket?

Løsning:

La E₁, OG₂, og E₃være hendelsene ved valg av henholdsvis første, andre og tredje urne. Deretter,

P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) =1/3

La E være hendelsen at en hvit ball trekkes. Deretter,

TISSE₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Ved teorem om total sannsynlighet har vi

P(E) = P(E/E₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + P(E/E₃). P(E₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

Eksempel 3: Et kort fra en pakke med 52 kort går tapt. Fra de gjenværende kortene i pakken trekkes to kort og viser seg å være begge hjerter. finne sannsynligheten for at det tapte kortet er et hjerte.

Løsning:

npm ren cache

La E₁, OG₂, OG_3,og E₄være hendelsene med å miste et kort med henholdsvis hjerter, kløver, spar og ruter.

Deretter P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

La E være begivenheten for å trekke 2 hjerter fra de resterende 51 kortene. Deretter,

P(E|E₁) = sannsynlighet for å trekke 2 hjerter, gitt at et kort med hjerter mangler

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = sannsynlighet for å trekke 2 kløver, gitt at et kort med kløver mangler

⇒ P(E|E₂) =^{1. 3}C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = sannsynlighet for å trekke 2 spar, gitt at et kort med hjerter mangler

⇒ P(E|E₃) =^{1. 3}C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = sannsynlighet for å trekke 2 ruter, gitt at et kort med ruter mangler

⇒ P(E|E₄) =^{1. 3}C₂/⁵¹C₂= 26/425

Derfor,

P(E₁|E) = sannsynligheten for at det tapte kortet er et hjerte, gitt at de 2 hjertene trekkes fra de resterende 51 kortene

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/P(E₁). P(E|E₁) + P(E₂). P(E|E₂) + P(E₃). P(E|E₃) + P(E₄). P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Derfor er den nødvendige sannsynligheten 0,22.

Eksempel 4: Anta at 15 menn av 300 menn og 25 kvinner av 1000 er gode talere. En taler velges tilfeldig. Finn sannsynligheten for at en mannlig person blir valgt. Anta at det er like mange menn og kvinner.

Løsning:

Gievn,

• Totalt menn = 300
• Totalt kvinner = 1000
• Gode ​​talere blant menn = 15
• Gode ​​talere blant kvinner = 25

Totalt antall gode talere = 15 (fra menn) + 25 (fra kvinner) = 40

Sannsynlighet for å velge en mannlig taler:

P(Male Orator) = Antall mannlige talere / totalt antall talere = 15/40

Eksempel 5: En mann er kjent for å snakke løgnene 1 av 4 ganger. Han kaster en terning og melder at det er en sekser. Finn sannsynligheten som faktisk er en sekser.

Løsning:

I et terningkast, la

OG₁= hendelse for å få en sekser,

OG₂= hendelse av ikke å få en sekser og

E = hendelse som mannen melder at det er en sekser.

Deretter P(E₁) = 1/6, og P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = sannsynlighet for at mannen rapporterer at seks oppstår når seks faktisk har skjedd

c++ gui

⇒ P(E|E₁) = sannsynlighet for at mannen snakker sant

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = sannsynlighet for at mannen rapporterer at seks oppstår når seks faktisk ikke har skjedd

⇒ P(E|E₂) = sannsynlighet for at mannen ikke snakker sant

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Sannsynlighet for å få en sekser, gitt at mannen oppgir at det er seks

P(E₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [ved Bayes' teorem]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|E) = (1/8 × 3) = 3/8

Sannsynligheten som kreves er derfor 3/8.

Vanlige spørsmål om Bayes' teorem

Hva er Bayes teorem?

Bayes, teorem som navnet antyder er et matematisk teorem som brukes til å finne betingelsessannsynligheten for en hendelse. Betinget sannsynlighet er sannsynligheten for hendelsen som vil inntreffe i fremtiden. Det beregnes basert på tidligere utfall av hendelsene.

Når brukes Bayes' teorem?

Bayes teorem har et bredt spekter av anvendelser, spesielt innen felt som omhandler oppdatering av sannsynligheter basert på nye data. Bayes-regelen lar deg beregne posterior (eller oppdatert) sannsynlighet. Den brukes til å beregne betinget sannsynlighet for hendelser.

Hva er noen nøkkelbegreper for å forstå Bayes' teorem?

Noen av nøkkelbegrepene er:

• Tidligere sannsynlighet (P(A))
• Posterior sannsynlighet (P(A | B))
• Sannsynlighet (P(B | A))
• Marginal sannsynlighet (P(B))

Når skal man bruke Bayes teorem?

Bayes teorem er anvendelig når den betingede sannsynligheten for en hendelse er gitt, den brukes til å finne den omvendte sannsynligheten for hendelsen.

Hvordan er Bayes' teorem forskjellig fra betinget sannsynlighet?

Bayes teorem brukes til å definere sannsynligheten for en hendelse basert på de tidligere betingelsene for hendelsen. Mens Bayes 'teorem bruker betinget sannsynlighet for å finne den omvendte sannsynligheten for hendelsen.

Hva er formelen for Bayes teorem?

Bayes teoremformel er forklart nedenfor,

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)