logo

boolsk algebra

Boolsk algebra er en type algebra som lages ved å betjene det binære systemet. I år 1854 foreslo George Boole, en engelsk matematiker, denne algebraen. Dette er en variant av Aristoteles sin proposisjonelle logikk som bruker symbolene 0 og 1, eller True and False. Boolsk algebra er opptatt av binære variabler og logiske operasjoner.

Boolsk algebra er grunnleggende i utviklingen av digitale elektronikksystemer, da de alle bruker konseptet boolsk algebra å utføre kommandoer. Bortsett fra digital elektronikk finner denne algebraen også sin anvendelse i settteori, statistikk og andre grener av matematikk.



I denne artikkelen vil vi lære om grunnleggende boolske operasjoner, boolske uttrykk, sannhetstabeller, boolske lover og andre i detalj.

Innholdsfortegnelse

Boolske algebraoperasjoner

Det er forskjellige operasjoner som brukes i boolsk algebra, men de grunnleggende operasjonene som danner grunnlaget for boolsk algebra er.



  • Negasjon eller IKKE operasjon
  • Konjunksjon eller OG-operasjon
  • Disjunksjon eller ELLER-operasjon


Boolsk-algebra-operasjoner

Boolsk algebrauttrykk




Kryss av: Grunnleggende om boolsk algebra i digital elektronikk

Disse operasjonene har sine egne symboler og prioritet, og tabellen nedenfor viser symbolet og prioriteten til disse operatørene.

Operatør

Symbol

Presedens

hvor mange taster har tastaturer

IKKE

‘ (eller) ⇁

Først

OG

. (eller) ∧

Sekund

ELLER

+ (eller) ∨

Tredje

Vi kan enkelt definere disse operasjonene ved å bruke to boolske variabler.

La oss ta to boolske variabler A og B som kan ha hvilken som helst av de to verdiene 0 eller 1, det vil si at de kan være enten AV eller PÅ. Deretter blir disse operasjonene forklart som,

Negasjon eller IKKE operasjon

Bruker IKKE operasjon reversere verdien av den boolske variabelen fra 0 til 1 eller omvendt. Dette kan forstås slik:

  • Hvis A = 1, har vi ved bruk av NOT-operasjonen (A)' = 0
  • Hvis A = 0, har vi ved å bruke NOT-operasjonen (A)' = 1
  • Vi representerer også negasjonsoperasjonen som ~A, dvs. hvis A = 1, ~A = 0

Kryss av: Egenskaper til boolsk algebra

Konjunksjon eller OG-operasjon

Bruker OG operasjonen tilfredsstiller betingelsen hvis både verdien av de individuelle variablene er sanne og hvis noen av verdiene er usann, gir denne operasjonen det negative resultatet. Dette kan forstås som

  • Hvis A = Sann, B = Sann, så A . B = Sant
  • Hvis A = Sann, B = Usann, Eller A = Usann, B = Sann, så A . B = Falsk
  • Hvis A = Falsk, B = Falsk, så A . B = Falsk

Kryss av: Boolske algebraiske teoremer

Disjunksjon (ELLER) operasjon

Bruker ELLER operasjon tilfredsstiller betingelsen hvis noen verdi av de individuelle variablene er sanne, det gir bare et negativt resultat hvis begge verdiene er falske. Dette kan forstås som

  • Hvis A = Sann, B = Sann, så er A + B = Sann
  • Hvis A = Sann, B = Usann, Eller A = Usann, B = Sann, så er A + B = Sann
  • Hvis A = usann, B = usann, så er A + B = usann

Tabell over boolsk algebra

Nedenfor er uttrykket for den boolske algebraen

OperasjonSymbolDefinisjon
OG Drift ⋅ eller ∧Returnerer bare sant hvis begge inngangene er sanne.
ELLER Drift + eller ∨Returnerer sann hvis minst én inngang er sann.
IKKE Drift ¬ eller ∼Reverserer inngangen.
XOR-operasjon Returnerer sann hvis nøyaktig én inngang er sann.
NAND-drift Returnerer usann bare hvis begge inngangene er sanne.
NOR Drift Returnerer usann hvis minst én inndata er sann.
XNOR-operasjon Returnerer sann hvis begge inngangene er like.

boolsk uttrykk og variabler

Boolsk uttrykk er et uttrykk som produserer en boolsk verdi når det evalueres, det vil si at det produserer enten en sann verdi eller en falsk verdi. Mens boolske variabler er variabler som lagrer boolske tall.

P + Q = R er en boolsk frase der P, Q og R er boolske variabler som bare kan lagre to verdier: 0 og 1. 0 og 1 er synonymer for usant og sant og brukes i boolsk algebra, noen ganger vi bruker også Ja i stedet for True og Nei i stedet for False.

Dermed kan vi si at utsagn som bruker boolske variabler og opererer på boolske operasjoner er boolske uttrykk. Noen eksempler på boolske uttrykk er,

  • A + B = Sant
  • A.B = Sant
  • (A)' = Falsk

Kryss av: Aksiomer for boolsk algebra

Boolske algebraterminologier

Det finnes ulike terminologier knyttet til boolsk algebra, som brukes til å forklare ulike parametere for boolsk algebra . Det inkluderer,

  • boolsk algebra
  • boolske variabler
  • boolsk funksjon
  • Bokstavelig
  • Komplement
  • Sannhetstabell

Nå vil vi diskutere de viktige terminologiene til boolsk algebra i artikkelen nedenfor,

boolsk algebra

Grenen av algebra som omhandler binære operasjoner eller logiske operasjoner kalles boolsk algebra. Det ble introdusert av George Boole på midten av 1800-tallet. Den brukes til å analysere og manipulere logiske funksjoner i binære variabler. Det er mye brukt i forskjellige felt som digital logikkdesign, informatikk og telekommunikasjon.

boolske variabler

Variabler brukt i boolsk algebra som lagrer den logiske verdien av 0 og 1 kalles de boolske variablene. De brukes til å lagre enten sanne eller usanne verdier. Boolske variabler er grunnleggende for å representere logiske tilstander eller proposisjoner i boolske uttrykk og funksjoner.

Boolsk funksjon

En funksjon av den boolske algebraen som er dannet ved bruk av boolske variabler og boolske operatorer kalles den boolske funksjonen. Den er dannet ved å kombinere boolske variabler og logiske uttrykk som AND, OR og NOT. Den brukes til å modellere logiske relasjoner, forhold eller operasjoner.

Bokstavelig

En variabel eller komplementet til variabelen i boolsk algebra kalles den bokstavelige. Bokstaver er de grunnleggende byggesteinene i de boolske uttrykkene og funksjonene. De representerer operandene i logiske operasjoner.

Komplement

Inversen til den boolske variabelen kalles komplementet til variabelen. Komplementet til 0 er 1 og komplementet til 1 er 0. Det er representert med ' eller (¬) over variabelen. Komplementer brukes til å representere logiske negasjoner i boolske uttrykk og funksjoner.

Sannhetstabell

Tabell som inneholder alle mulige verdier for de logiske variablene og kombinasjonen av variabelen sammen med den gitte operasjonen kalles sannhetstabellen. Antall rader i sannhetstabellen avhenger av de totale boolske variablene som brukes i den funksjonen. Det er gitt ved å bruke formelen,

Antall rader i sannhetstabellen = 2 n

hvor n er antallet boolske variabler som brukes.

Kryss av:

  • Settteori
  • Statistikk

Sannhetstabeller i boolsk algebra

En sannhetstabell representerer alle kombinasjonene av inngangsverdier og utdata på en tabellform. Alle mulighetene for input og output vises i den og derav navnet sannhetstabell. I logiske problemer brukes sannhetstabeller ofte for å representere forskjellige tilfeller. T eller 1 angir 'Sant' og F eller 0 angir 'False' i sannhetstabellen.

Eksempel: Tegn sannhetstabellen for betingelsene A + B og A.B der A og b er boolske variabler.

array.sort i java

Løsning:

Den nødvendige sannhetstabellen er,

ENB

X = A + B

Y = A.B
TT

T

T
TF

T

F
FT

T

F
FF

F

F

Boolske algebra-regler

I boolsk algebra er det forskjellige grunnleggende regler for logisk uttrykk.

e r modelleksempler
  • Binær representasjon: I boolsk algebra kan variablene bare ha to verdier enten 0 eller 1 der 0 representerer lav og 1 representerer høy. Disse variablene representerer logiske tilstander i systemet.
  • Komplettere representasjon: Komplementet til variablene er representert med (¬) eller (‘) over variabelen. Dette indikerer logisk negasjon eller inversjon av variabelens verdi. Så Komplement av variabel A kan representeres avoverline{A},hvis verdien av A=0, er komplementet 1.
  • ELLER operasjon: ELLER-operasjonen er representert med (+) mellom variablene. ELLER-operasjonen returnerer sann hvis minst én av operandene er sann. For eksempler, la oss ta tre variabler A,B,C, ELLER-operasjonen kan representeres som A+B+C.
  • OG Betjening: OG-operasjonen er angitt med (.) mellom variablene. AND-operasjon returnerer bare sann hvis alle operandene er sanne. For eksempler, la oss ta tre variabler A,B,C, OG-operasjonen kan representeres A.B.C eller ABC.

Lover for boolsk algebra

De grunnleggende lovene til den boolske algebraen er lagt til i tabellen nedenfor,

LovELLER skjemaOG form
Identitetslov P + 0 = PP.1 = P
Idempotent lov P + P = PP.P = P
Kommutativ lov P + Q = Q + PP.Q = Q.P
Assosiasjonsrett P + (Q + R) = (P + Q) + RP.(Q.R) = (P.Q).R
Fordelingslov P + QR = (P + Q).(P + R)P.(Q + R) = P.Q + P.R
Inversjonsloven (A’)’ = A(A’)’ = A
Fra Morgans lov (P + Q)' = (P)'.(Q)'(P.Q)' = (P)' + (Q)'

La oss lære om disse lovene i detalj.

Identitetslov

I den boolske algebraen har vi identitetselementer for både AND(.) og OR(+) operasjoner. Identitetsloven sier at i boolsk algebra har vi slike variabler at ved å operere med AND og OR operasjon får vi samme resultat, dvs.

  • A + 0 = A
  • A.1 = A

Kommutativ lov

Binære variabler i boolsk algebra følger den kommutative loven. Denne loven sier at drift av boolske variabler A og B ligner på drift av boolske variabler B og A. Det vil si,

  • A.B = B.A
  • A + B = B + A

Assosiasjonsrett

Assosiativ lov sier at rekkefølgen for å utføre boolsk operatør er ulogisk da resultatet alltid er det samme. Dette kan forstås som

  • (A.B). C = A. (B.C)
  • ( A + B ) + C = A + ( B + C)

Fordelingslov

Boolske variabler følger også distribusjonsloven og uttrykket for distribusjonslov er gitt som:

  • A . ( B + C) = (A . B) + (A . C)

Inversjonsloven

Inversjonsloven er den unike loven til boolsk algebra, denne loven sier at komplementet til komplementet til et hvilket som helst tall er selve tallet.

  • (A’)’ = A

Bortsett fra disse andre lovene er nevnt nedenfor:

OG lov

AND-loven til den boolske algebraen bruker AND-operatoren og AND-loven er,

  • A . 0 = 0
  • A . 1 = A
  • A . A = A

ELLER lov

OR-loven til den boolske algebraen bruker OR-operatoren og OR-loven er,

  • A + 0 = A
  • A + 1 = 1
  • A + A = A

De Morgans lover kalles også Fra Morgans teorem . De er de viktigste lovene i boolsk algebra og disse er lagt til nedenfor under overskriften Boolean Algebra Theorem

Boolske algebrateoremer

Det er to grunnleggende teoremer av stor betydning i boolsk algebra, som er De Morgans første lover og De Morgans andre lover. Disse kalles også De Morgans teoremer. La oss nå lære om begge i detalj.

De Morgans første lover

(P.Q)' = (P)' + (Q)'

Sannhetstabellen for det samme er gitt nedenfor:

PQ(P)'(Q)'(P.Q)'(P)' + (Q)'
TTFFFF
TFFTTT
FTTFTT
FFTTTT

Vi kan tydelig se at sannhetsverdier for (P.Q)’ er lik sannhetsverdier for (P)’ + (Q)’, tilsvarende den samme inngangen. Dermed er De Morgans første lov sann.

Fra Morgans andre lover

Uttalelse: Komplementet av summen (OR) av to boolske variabler (eller uttrykk) er lik produktet (AND) av komplementet til hver boolske variabel (eller uttrykk).

(P + Q)' = (P)'.(Q)'

Bevis:

Sannhetstabellen for det samme er gitt nedenfor:

PQ(P)'(Q)'(P + Q)'(P)'.(Q)'
TTFFFF
TFFTFF
FTTFFF
FFTTTT

Vi kan tydelig se at sannhetsverdier for (P + Q)’ er lik sannhetsverdier for (P)’.(Q)’, tilsvarende den samme inngangen. Dermed er De Morgans andre lov sann.

Les mer,

Løste eksempler på boolsk algebra

Tegn sannhetstabell for P + P.Q = P

Løsning:

Sannhetstabellen for P + P.Q = P

P Q P.Q P + P.Q
TTTT
TFFT
FTFF
FFFF

I sannhetstabellen kan vi se at sannhetsverdiene for P + P.Q er nøyaktig de samme som P.

Tegn sannhetstabell for P.Q + P + Q

Løsning:

Sannhetstabellen for P.Q + P + Q

P Q P.Q P.Q + P + Q
TTTT
TFFT
FTFT
FFFF

Løse extbf{(overline{A} + B cdot C)}

Løsning:

Bruker De Morgans lov

overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C)

Bruk av distribusjonslov

kart java iterator

overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Så det forenklede uttrykket for den gitte ligningenoverline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Konklusjon

Boolsk algebra fungerer som et grunnleggende rammeverk for å representere og manipulere logiske uttrykk ved bruk av binære variabler og logiske operatorer. Det spiller en avgjørende rolle på ulike felt som digital logikkdesign, dataprogrammering og kretsanalyse. Ved å tilby en systematisk måte å beskrive og analysere logiske sammenhenger på, muliggjør boolsk algebra utvikling av komplekse systemer og algoritmer. Dens prinsipper og operasjoner, inkludert OG, ELLER, IKKE, XOR, NAND, NOR og XNOR, danner byggesteinene for å designe logiske kretser, skrive effektiv kode og løse logiske problemer.

boolsk algebra – vanlige spørsmål

Hva er boolsk algebra?

Boolsk algebra også kalt Logisk algebra er en gren av matematikken som omhandler boolske variabler som 0 og 1.

Hva er hovedboolske operatører?

Det er tre hovedboolske operatører som er,

  • OG (konjunksjon)
  • ELLER (Disjunksjon)
  • IKKE (negasjon)

Hvordan minimere boolsk funksjon?

Det finnes flere metoder for å minimere boolske funksjoner, inkludert:

  • Algebraisk forenkling:
  • Karnaugh Maps (K-Maps):
  • Quine-McCluskey-algoritme:
  • Tabellmetode:
  • Ikke bry deg om forhold:

Hva er anvendelser av boolsk algebra?

boolsk algebra har ulike applikasjoner. Den brukes til å forenkle logiske kretser som er ryggraden i moderne teknologi.

Hva representerer 0 i boolsk algebra?

0 in boolsk algebra representerer en falsk tilstand, eller den representerer tilstanden Slå av.

Hva representerer 1 i boolsk algebra?

Den 1 tommer boolsk algebra representerer en sann tilstand, eller den representerer Slå på-tilstanden.

Hva er boolske algebralover?

Boolske algebralover er regler for å manipulere logiske uttrykk med binære variabler, å sikre konsistens og forenkling i operasjoner som addisjon, multiplikasjon og komplementering, avgjørende innen felt som digital elektronikk og informatikk.

Hva er de 5 lovene i boolsk algebra?

Boolsk algebra er styrt av fem primære lover, som tjener som grunnlaget for å manipulere logiske uttrykk:

1. Identitetslov for AND

2. Identitetslov for OR

3. Komplementlov for AND

4. Komplementlov for OR

5. Idempotent lov

Hva er de 3 lovene i boolsk logikk?

De tre grunnleggende lovene i boolsk logikk er

  • Identitetsloven (å legge til null eller multiplisere med én holder variabelen uendret)
  • Herredømmeloven (å legge til en variabel til komplementet resulterer i 1 og multiplisere den med komplementet gir 0)
  • Den kommutative loven (rekkefølgen på variabler kan byttes i addisjon eller multiplikasjon uten å endre resultatet).

Hva er De Morgans teorem?

De Morgans teorem sier at t komplementet til en logisk OG-operasjon er ekvivalent med OR-operasjonen til komplementene til de individuelle termene, og vice versa. Det er et grunnleggende prinsipp i boolsk algebra som brukes for å forenkle logiske uttrykk og optimalisere logiske kretser.