Matematisk induksjon er et begrep i matematikk som brukes til å bevise ulike matematiske utsagn og teoremer. Prinsippet om matematisk induksjon blir noen ganger referert til som PMI. Det er en teknikk som brukes til å bevise de grunnleggende teoremene i matematikk som involverer løsningen opp til n endelige naturlige termer.

Prinsippet for matematisk induksjon er mye brukt for å bevise ulike utsagn som summen av først n naturlige tall er gitt av formelen n(n+1)/2. Dette kan enkelt bevises ved å bruke prinsippet om matematisk induksjon.

I denne artikkelen vil vi lære om prinsippet om matematisk induksjon, dets uttalelse, eksempelet og andre i detalj.

Innholdsfortegnelse

• Hva er matematisk induksjon?
• Prinsippet for matematisk induksjonserklæring
• Matematisk induksjonstrinn
• Eksempel på matematisk induksjon

Hva er matematisk induksjon?

Matematisk induksjon er en av de grunnleggende metodene for å skrive bevis, og den brukes til å bevise et gitt utsagn om ethvert godt organisert sett. Vanligvis brukes det til å bevise resultater eller etablere utsagn som er formulert i form av n , hvor n er et naturlig tall.

Anta at P(n) er et utsagn for n naturlig tall, så kan det bevises ved hjelp av prinsippet for matematisk induksjon. Først vil vi bevise for P(1), så la P(k) være sann, og bevis for P(k+1) . Hvis P(k+1) holder, sier vi at P(n) er sann ved prinsippet om matematisk induksjon.

Vi kan sammenligne matematisk induksjon med fallende dominobrikker. Når en domino faller, slår den ned neste domino i rekkefølge. Den første dominoen slår ned den andre, den andre slår ned den tredje, og så videre. Til slutt vil alle dominobrikkene bli kastet over. Men det er noen betingelser som må oppfylles:

• Grunntrinnet er at startdominoen må falle for å sette bankeprosessen i gang.
• Avstanden mellom dominobrikker må være lik for to tilstøtende dominobrikker. Ellers kan en viss domino falle ned uten å bowle i løpet av den neste. Da vil reaksjonssekvensen stoppe. Ved å opprettholde den like mellomdominoavstanden sikrer du at P(k) ⇒ P(k + 1) for hvert heltall k ≥ a. Dette er det induktive trinnet.

Prinsippet for matematisk induksjonserklæring

Enhver påstand P(n) som er for n naturlig tall kan bevises ved å bruke prinsippet om matematisk induksjon ved å følge trinnene nedenfor,

Trinn 1: Bekreft om påstanden er sann for trivielle tilfeller ( n = 1) dvs. sjekk om P(1) er sann.

Steg 2: Anta at påstanden er sann for n = k for noen k ≥ 1, dvs. P(k) er sann.

Trinn 3: Hvis sannheten til P(k) innebærer sannheten til P(k + 1), så er utsagnet P(n) sant for alle n ≥ 1 .

Bildet lagt til nedenfor inneholder alle trinnene i matematisk induksjon

Det første utsagnet er faktum, og hvis det ikke er mulig for alle P(n) å være sanne ved n = 1, er disse utsagnene sanne for noen andre verdier av n, si n = 2, n = 3 og andre.

Hvis utsagnet er sant for P(k), så hvis P(k+1) er bevist å være sant, sier vi at P(n) er sant for alle n som tilhører naturlige tall (N)

Matematisk induksjonstrinn

Ulike trinn som brukes i matematisk induksjon er navngitt tilsvarende. Navnene på de forskjellige trinnene som brukes i prinsippet om matematisk induksjon er,

• Grunntrinn: Bevis at P(k) er sann for k =1
• Forutsetningstrinn: La P(k) er sann for alle k i N og k> 1
• Induksjonstrinn: Bevis at P(k+1) er sant ved å bruke grunnleggende matematiske egenskaper.

Hvis de tre trinnene ovenfor er bevist, kan vi si at ved prinsippet om matematisk induksjon, er P(n) sant for alle n som tilhører N.

Eksempel på matematisk induksjon

Matematisk induksjon brukes til å bevise ulike påstander vi kan lære dette ved hjelp av følgende eksempel.

For ethvert positivt heltall n, bevis at n³+ 2n er alltid delelig med 3

Løsning:

La P(n): n³+ 2n er delelig med 3 være det gitte utsagnet.

Trinn 1: Grunnleggende trinn

Først beviser vi at P(1) er sann. La n = 1 i n³+ 2n
= 1³+ 2(1)
= 3

Ettersom 3 er delelig med 3. Derfor er P(1) sann.

Trinn 2: Antagelsestrinn

La oss anta at P(k) er sann

Så, k³+ 2k er delelig med 3

Dermed kan vi skrive det som k³+ 2k = 3n, (der n er et hvilket som helst positivt heltall)...(i)

søkemotor og eksempler

Trinn 3: Induksjonstrinn

Nå må vi bevise det algebraiske uttrykket (k + 1)³+ 2(k + 1) er delelig med 3

= (k + 1)³+ 2(k + 1)

= k³+ 3k²+ 5k + 3

= (k³+ 2 k) + (3 k²+ 3k + 3)

fra eq(i)

= 3n + 3(k²+ k + 1)

= 3(n + k²+ k + 1)

Siden det er et multiplum av 3, kan vi si at det er delelig med 3.

Dermed er P(k+1) sann, dvs. (k + 1)³+ 2(k + 1) er delelig med 3. Med prinsippet om matematisk induksjon kan vi si at P(n): n³+ 2n er delelig med 3 er sant.

Les mer,

• Aritmetisk progresjon
• Geometrisk progresjon

Løste eksempler på matematisk induksjon

Eksempel 1: For alle n ≥ 1, bevis at, 1 ² + 2 ² + 3 ² +….+n ² = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

Løsning:

La den gitte setningen være P(n),

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

La oss nå ta et positivt heltall, k, og anta at P(k) er sant, dvs.

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Vi skal nå bevise at P(k + 1) også er sant, så nå har vi,

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)²

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

Dermed er P(k + 1) sann, når P(k) er sann for alle naturlige tall. Derfor, ved prosessen med matematisk induksjon, er det gitte resultatet sant for alle naturlige tall.

Eksempel 2: For alle n ≥ 1, bevis at, 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+...+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

Løsning:

La det gitte utsagnet være S(n),

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

La oss nå ta et positivt heltall, k, og anta at S(k) er sant, dvs.

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

Vi skal nå bevise at S(k + 1) også er sant, så nå har vi,

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

Dermed er S(k + 1) sann, når S(k) er sann for alle naturlige tall. Og vi viste innledningsvis at S(1) er sann, dermed er S(n) sann for alle naturlige tall.

Eksempel 3: For alle n ≥ 1, bevis at, 1 + 3 + 5 +... + 2n – 1 = n ²

Løsning:

La det gitte utsagnet være S(n),

og S(n) = 1 + 3 + 5+... +2n – 1 = n²

For n = 1, 2 × 1 – 1 = 1²Dermed er S(1) sann.

La oss nå ta et positivt heltall, k, og anta at S(k) er sant, dvs.

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k²

Vi skal nå bevise at S(k + 1) også er sant, så nå har vi,

1 + 3 + 5+…+ (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

L.H.S = 1 + 3 + 5 + …. (2k – 1 ) + 2k + 2 – 1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S = k²+ 2k + 1

⇒ L.H.S = (k + 1)²

⇒ L.H.S = R.H.S

Dermed er S(k + 1) sann, når S(k) er sann for alle naturlige tall. Og vi viste innledningsvis at S(1) er sann, dermed er S(n) sann for alle naturlige tall.

Eksempel 4: For alle n ≥ 1, bevis at, 1,2 + 2,3 + 3,4 +...+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

telle distinkte sql

Løsning:

La det gitte utsagnet være S(n),

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

La oss nå ta et positivt heltall, k, og anta at S(k) er sant, dvs.

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

Vi skal nå bevise at S(k + 1) også er sant, så nå har vi,

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

Dermed er S(k + 1) sann, når S(k) er sann for alle naturlige tall. Og vi viste innledningsvis at S(1) er sann, dermed er S(n) sann for alle naturlige tall.

Eksempel 5: Bevis a _n = a ₁ + (n – 1) d, er den generelle termen for enhver aritmetisk sekvens.

Løsning:

For n = 1 har vi a_n= a₁+ (1 – 1) d = a₁, så formelen er sann for n = 1,

La oss anta at formelen a_k= a₁+ (k – 1) er sant for alle naturlige tall.

Vi skal nå bevise at formelen også er sann for k+1, så nå har vi,

en_{k + 1}= a₁+ [(k + 1) – 1] d = a₁+ k · d.

Vi antok at a_k= a₁+ (k – 1) d, og ved definisjonen av en aritmetisk sekvens a_{k+ 1}– a_k= d,

Deretter en_{k + 1}– a_k

= (a₁+ k d) – (a1 + (k – 1)d)
= a₁– a₁+ kd – kd + d
= d

Dermed er formelen sann for k + 1, når den er sann for k. Og vi viste først at formelen er sann for n = 1. Dermed er formelen sann for alle naturlige tall.

Vanlige spørsmål om matematisk induksjon

Hva er det matematiske induksjonsprinsippet?

Prinsippet for matematisk induksjon er et prinsipp som sier at for enhver påstand P(n) hvis den er sann for en hvilken som helst vilkårlig verdi 'a' hvis P(a) er sann, og hvis vi tar P(k) for å være sann, så ved å bevise P( k+1) for å være sann kan vi bevise at P(n) er sann for alle n ≥ a, og n som tilhører naturlige tall.

Hva er bruken av matematisk induksjon?

Matematisk induksjon er det grunnleggende prinsippet som brukes i matematikk for å bevise de grunnleggende utsagnene i matematikk som ikke lett kan bevises på andre måter.

Hva er prinsippet for matematisk induksjon i matriser?

Prinsippet for matematisk induksjon i matriser er et grunnleggende prinsipp som brukes til å bevise de grunnleggende utsagnene i matriser som ikke lett kan bevises på andre måter.

Hvordan bruke prinsippet om matematisk induksjon?

Prinsippet for matematisk induksjon brukes til å bevise matematiske utsagn, anta at vi må bevise en påstand P(n), så er trinnene som brukes,

Trinn 1: Bevis at P(k) er sann for k =1

Steg 2: La P(k) er sann for alle k i N og k> 1

Trinn 3: Bevis at P(k+1) er sant ved å bruke grunnleggende matematiske egenskaper.

Så hvis P(k+1) er sann, så sier vi at P(n) er sann.

Hva er trinnene for å løse et problem ved hjelp av matematisk induksjon?

Tre grunnleggende trinn som brukes i matematisk induksjon er

• Grunntrinn
• Antagelsestrinn
• Induksjonstrinn