Determinant er et grunnleggende konsept i lineær algebra som brukes til å finne en enkelt skalarverdi for den gitte matrisen. Denne artikkelen vil forklare hva som er en 3 × 3 matrise og hvordan du regner ut determinanten for en 3 × 3 matrise trinn for trinn, så vel som dens applikasjoner. Enten du er en student som lærer lineær algebra eller en entusiast som søker en dypere forståelse av matriseoperasjoner, er det en verdifull ferdighet å tilegne deg determinanten for en 3 × 3 matrise.

Hva er determinanten for matrisen?

Determinant av en matrise er et enkelt tall beregnet fra en kvadratisk matrise. I feltet lineær algebra finner man determinanter ved å bruke verdiene innenfor kvadratmatrisen. Dette tallet fungerer som en skaleringsfaktor, som påvirker hvordan matrisen transformeres. Determinanter er verdifulle for å løse systemer med lineære ligninger, finne inversen til en matrise og forskjellige kalkulusoperasjoner.

Hva er 3 × 3 matrise?

En 3 × 3 matrise er en matrise hvor antallet rader og kolonner begge er lik 3. Siden antallet rader og kolonner er likt, er derfor 3 × 3 en kvadratisk matrise av størrelsesorden 3 × 3. En matrise er som en tabell laget av tall, organisert i rader og kolonner. Den brukes til å lagre og jobbe med data innen matematikk og andre felt. Mens en 3 × 3 matrise er en spesifikk type matrise som består av tre rader og tre kolonner. Det kan representeres som:

3 × 3 matrise

Egenskaper for 3 × 3 matrise

Som andre matriser har 3 × 3 matriser også noen viktige egenskaper.

• Firkantet matrise : En 3 × 3 matrise har tre rader og tre kolonner, noe som gjør den til en kvadratisk matrise.

• Avgjørende faktor: En 3 × 3 matrise har en determinant, en numerisk verdi som er avgjørende for å løse likninger og finne inverser.

• Matrisemultiplikasjon: Du kan multiplisere en 3 × 3 matrise med en annen matrise hvis antall kolonner i den første matrisen samsvarer med antall rader i den andre.

• Omvendt: En 3 × 3 matrise kan ha en invers hvis determinanten er ikke-null. Den inverse matrisen, multiplisert med den opprinnelige matrisen, gir identitetsmatrisen.

Determinant for 3 × 3 matriseformel

Det finnes ulike metoder for å beregne en matrises determinant. Den vanligste tilnærmingen er å bryte en gitt 3 × 3 matrise i mindre 2 × 2 determinanter. Dette forenkler prosessen med å finne determinanten og er mye brukt i lineær algebra.

La oss ta en 3 × 3 kvadratisk matrise som er skrevet som,

For å beregne determinanten til matrise A, dvs. |A|.

java-strengsammenkobling

Utvid matrisen langs elementene i første rad.

Derfor,

Hvordan finner du determinanten til en 3 × 3 matrise?

La oss forstå beregningen av en 3 × 3 matrise med et eksempel. For den gitte 3 × 3-matrisen nedenfor.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

Trinn 1: Velg en referanserad eller -kolonne

Velg en rad og kolonne for å starte, anta at vi i dette eksemplet tar første element (2) som referanse for å beregne determinanten til 3 × 3 matrise.

Så, utvider langs rad R₁

Trinn 2: Kryss av rad og kolonne

Fjern den valgte raden og kolonnen for å forenkle den i en 2 × 2 matrise.

2×2 matrise

Trinn 3: Finn determinanten til 2 × 2-matrisen

Finn determinanten til 2 × 2-matrisen ved å bruke formelen

Determinant = (a × d) – (b × c)

Kryss multiplisere

Her er a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

setter disse verdiene i formelen ovenfor for determinant, får vi

Determinant = (0 × 2) – (1 × -1)

Determinant = 0- (-1)

Determinant = 0+1

∴ Determinant for 2 × 2-matrisen = 1

Trinn 4: Multipliser med det valgte elementet

Multipliser determinanten til 2 × 2-matrisen med det valgte elementet fra referanseraden (som er 2,1 og 3 i dette tilfellet):

første element = 2 × 1 = 2

Trinn 5: Gjenta denne prosessen for det andre elementet i den valgte referanseraden

For andre element

Finn determinanten for det andre elementet 1 ved å sette verdiene til 2×2 matrise i formelen

Determinant = (a × d) – (b × c)

Her er a = 4, b= 1, c= 2, d= 2

Determinant = (4 × 2) – (1 × 2)

Determinant = 8 – 2

Determinant = 6

Multipliser nå determinanten til 2 × 2-matrisen med det valgte elementet fra referanseraden (som er 1 i dette tilfellet):

andre element = 1 × 6 = 6

Trinn 6: Gjenta denne prosessen for det tredje elementet i den valgte referanseraden

For det tredje elementet

Finn determinanten for det tredje elementet 3 ved å sette verdiene til 2×2 matrise i formelen

Determinant = (a × d) – (b × c)

Her er a = 4, b= 0, c= 2, d= -1

Determinant = (4 × -1) – (0 × 2)

Determinant = -4 – 0

Determinant = -4

Multipliser nå determinanten til 2×2-matrisen med det valgte elementet fra referanseraden (som er 3 i dette tilfellet):

andre element = 3 × (-4) = -12

Trinn 7: Bruk av formel

Legg sammen alle resultatene fra trinn 4, 5 og 6

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 er determinanten for 3 × 3 matrisen.

Anvendelse av determinant av en 3 × 3 matrise

Determinant av en matrise kan brukes til å finne den inverse og løse systemet med lineær ligning. Derfor lærer vi å finne inversen til 3 × 3 matrise og også løse systemet med lineær ligning ved å bruke Cramers regel som involverer bruk av determinant av 3 × 3 matrise.

Invers av 3 × 3 matrise

Formelen for å finne inversen til en kvadratisk matrise A er:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

Hvor,

• A-1 er invers av matrise A .
• Det(A) representerer determinanten til matrise A.
• adj(A) står for adjugatet til matrise A

Enkelt sagt kan du følge disse trinnene for å finne inversen til en matrise:

Trinn 1. Regn ut determinanten til matrise A.

Steg 2. Finn adjugatet til matrise A.

Trinn 3. Multipliser hvert element i adjugatet med 1/det(A).

Denne formelen brukes for kvadratiske matriser (matriser med samme antall rader og kolonner) og antar at determinanten er ikke-null, noe som er en nødvendig betingelse for at en matrise skal ha en invers.

Cramers regel

Cramers regel gir en formel for å løse et system av lineære ligninger ved å bruke determinanter. For et system av lineære ligninger med n variabler er gitt i form av

AX=B

Hvor,

• A = Koeffisient til kvadratmatrisen
• X = Kolonnematrise med variabler
• B = Kolonnematrise med konstanter

Tenk på følgende system med lineær ligning

en₁x + b₁y + c₁z + . . . = d₁

en₂x + b₂y + c₂z + . . . = d₂

. . .

en_nx + b_ny + c_nz + . . . = d_n

Variablene x, y, z, … bestemmes ved hjelp av følgende formler:

• x = D_x/D
• y = D_og/D
• z = D_Med/D

Hvor:

• D er determinanten for koeffisientmatrisen.
• D_xer determinanten for matrisen oppnådd ved å erstatte koeffisientene til x med konstantene på høyre side.
• D_oger determinanten for matrisen oppnådd ved å erstatte koeffisientene til y
• D_Meder determinanten for matrisen oppnådd ved å erstatte koeffisientene til z

Cramers regel er anvendelig når determinanten til koeffisientmatrisen D ikke er null. Hvis D = 0, kan ikke regelen brukes som indikerer enten ingen løsning eller uendelig mange løsninger avhengig av det konkrete tilfellet.

Sjekk også

• Typer matriser
• System av lineære ligninger med tre variabler
• Matriseoperasjoner

Determinant for 3 × 3 matrise løste eksempler

Eksempel 1: Finn determinanten til matrise A egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Determinant av A = 2 (4×2 – 5×6) – 3(0×2 – 5×1) + 1(0×6 – 4×1)

⇒ Determinant av A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Determinant av A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Determinant av A = (-44) +15 – 4

⇒ Determinant av A =-44+11

∴ Determinant av A, dvs. |A| = (-33)

Eksempel 2: Finn determinant for matrise B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

Determinant av B = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1(0×1 – 3×4)

⇒ Determinant av B = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ Determinant av B = 1(6) – 0 – 12

knn

⇒ Determinant av B =6-12

⇒ Determinant av B = (-6)

∴ Determinant av B, dvs. |B| = 6

Eksempel 3: Finn determinant for matrise C egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Determinant av matrise C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ Determinant av C = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ Determinant av C =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ Determinant av C = 24 + 10 -8

⇒ Determinant av C = 26

∴ Determinant av C, dvs. |C| = 26

Eksempel 4: Løs det gitte ligningssystemet ved å bruke Cramers regel

2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

Løsning:

Trinn 1: Finn først Determinanten D av koeffisientmatrise.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

Om å løse denne determinanten D

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

⇒ D= -19

Steg 2: Finn nå determinantene til D_x, D_ogog D_Med

Ford_x, erstatter vi koeffisientene til x med konstantene på høyre side:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Ford_og, erstatter vi koeffisientene til y med konstantene:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Ford_Med, erstatter vi koeffisientene til z med konstantene:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

Om å løse determinanten D_x

D_x= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒ D_x= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒ D_x= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ D_x= -49 + 42 + 28

git-kommandoer for push

Dermed D_x= 21

Om å løse determinanten D_og

D_og= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒ D_og= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒ D_og= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒ D_og= -68 + 14 + 24

⇒ D_og= -30

Om å løse determinanten D_Med

D_Med= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒ D_Med= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)

⇒ D_Med= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒ D_Med= 20 – 6 – 98

⇒ D_Med= -84

Trinn 3: Setter nå verdiene til D, D_x, D_ogog D_Medi Carmers regelformel for å finne verdiene til x, y og z.

x = D_x/D = 21/(-19)

y = D_og/D = (-30)/(-19)

z = D_Med/D = (-84)/(-19)

Praksisspørsmål om determinant av 3 × 3 matrise

Q1. Regn ut determinanten til identitetsmatrisen:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Finn determinanten til matrisen:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. Bestem determinanten til matrisen:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Regn ut determinanten til matrisen:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

Q5. Finn determinanten til matrisen:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Q6. Bestem determinanten til matrisen:

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

Determinant for 3 × 3 matrise – vanlige spørsmål

1. Hva er en matrise?

En matrise er et rektangulært arrangement av tall eller elementer organisert i rader og kolonner. Det brukes på forskjellige felt for å representere og løse matematiske, vitenskapelige og tekniske problemer.

2. Hva er betydningen av determinanten til en 3 × 3 matrise?

Determinanten til en 3 × 3 matrise er signifikant fordi den gir informasjon om matrisens egenskaper. Det hjelper å avgjøre om et system med lineære ligninger har en unik løsning, blant andre applikasjoner.

3. Hva er definisjonen på Determinant of Matrix?

Determinanten til en matrise er en skalarverdi beregnet fra matrisens elementer, og gir informasjon om dens egenskaper. Det brukes til å løse systemer med lineære ligninger, finne inverser og mer.

4. Hva om determinanten til en 3 × 3 matrise er null?

Hvis determinanten til en 3 × 3 matrise er null, betyr det at matrisen er entall, og den har ikke en invers. I geometriske termer indikerer det at transformasjonen representert av matrisen kollapser arealet eller volumet til null. determinanten er alltid null. Dette gjelder for matriser av alle størrelser.

5. Kan determinanten til en 3 × 3 matrise være negativ?

Ja, determinanten kan være negativ. Tegnet til determinanten avhenger av arrangementet av matriseelementene og om de resulterer i en positiv eller negativ verdi i henhold til beregningsmetoden.

6. Hva er noen praktiske anvendelser for å finne determinanten til en 3 × 3 matrise?

Determinanter brukes i ulike felt, inkludert fysikk, ingeniørfag, datagrafikk og økonomi. De hjelper til med å løse systemer med lineære ligninger, analysere geometriske transformasjoner og bestemme stabiliteten til dynamiske systemer.