PUNKT- OG KRYSSPRODUKTER PÅ VEKTORER

En størrelse som ikke bare karakteriseres av størrelse, men også av retning, kalles en vektor. Hastighet, kraft, akselerasjon, momentum osv. er vektorer.

Vektorer kan multipliseres på to måter:

Skalært produkt eller Dot-produkt
Vektorprodukt eller Kryssprodukt

Innholdsfortegnelse

Skalært produkt/punktprodukt av vektorer

Projeksjon av en vektor på en annen vektor

Egenskaper til skalært produkt
Ulikheter basert på punktprodukt
Kryssprodukt/vektorprodukt av vektorer

Egenskaper til Cross Product
Kryssprodukt i determinantform

Punkt og kryss produkt
Vanlige spørsmål om punkt- og kryssprodukter på vektorer

Skalært produkt/punktprodukt av vektorer

Det resulterende skalarproduktet/punktproduktet av to vektorer er alltid en skalarmengde. Tenk på to vektorer en og b . Skalarproduktet beregnes som produktet av størrelsene a, b og cosinus av vinkelen mellom disse vektorene.

hva er build-essensiell ubuntu

Skalært produkt = |a||b| fordi α

Her,

|a| = størrelsen på vektoren en,
|b| = størrelsen på vektoren b , og
α = vinkel mellom vektorene.

Vektorene a og b med vinkel α mellom seg

Projeksjon av en vektor på en annen vektor

Vektor en kan projiseres på linjen l som vist nedenfor:

CD = projeksjon av vektor a på vektor b

Det er klart fra figuren ovenfor at vi kan projisere en vektor over en annen vektor. AC er størrelsen på vektor A. I figuren ovenfor er AD tegnet vinkelrett på linje l. CD representerer projeksjonen av vektor en på vektor b .

Trekant ACD er altså en rettvinklet trekant, og vi kan bruke trigonometriske formler.

Hvis α er målet for vinkel ACD, da

cos α = CD/AC

Eller, CD = AC cos a

Fra figuren er det tydelig at CD er projeksjonen av vektor a på vektor b

Så vi kan konkludere med at en vektor kan projiseres over den andre vektoren med cosinus til vinkelen mellom dem.

Egenskaper til skalært produkt

Skalarprodukt av to vektorer er alltid et reelt tall (skalar).
Skalarprodukt er kommutativt, dvs. a.b =b.a= |a||b| fordi α
Hvis α er 90°, er skalarprodukt null som cos(90) = 0. Så skalarproduktet av enhetsvektorer i x, y-retninger er 0.
Hvis α er 0°, er skalarproduktet produktet av størrelser på en og b |a||b|.
Skalarprodukt av en enhetsvektor med seg selv er 1.
Skalarprodukt av en vektor a med seg selv er |a|²
Hvis α er 180⁰, er skalarproduktet for vektorene a og b -|a||b|
Skalært produkt er distributivt over tillegg

en. ( b + c ) = a.b + a.c

For enhver skalar k og m da,

l en. (m b ) = km a.b

Hvis komponentformen til vektorene er gitt som:

en = a₁x + a₂og + a₃Med

b = b₁x + b₂y + b₃Med

så er skalarproduktet gitt som

a.b = a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃

Skalarproduktet er null i følgende tilfeller:
- Størrelsen på vektor a er null
- Størrelsen på vektor b er null
- Vektorene a og b er vinkelrette på hverandre

Ulikheter basert på punktprodukt

Det er forskjellige ulikheter basert på punktproduktet til vektorer, for eksempel:

Cauchy – Schwartz-ulikhet
Trekantulikhet

La oss diskutere disse i detalj som følger:

Cauchy – Schwartz-ulikhet

I henhold til dette prinsippet, for alle to vektorer en og b , størrelsen på prikkproduktet er alltid mindre enn eller lik produktet av størrelsene til vektor a og vektor b

|a.b| ≤ |a| |b|

Bevis:

Siden, a.b = |a| |b| fordi α

Vi vet at 0

Så vi konkluderer med at |a.b| ≤ |a| |b|

Trekantulikhet

For alle to vektorer en og b , har vi alltid gjort

| en + b | ≤ | en | + | b |

Trekantulikhet

Bevis:

| en + b |²=| en + b || en + b |

= a.a + a.b + bl.a + b.b

= | en |²+ 2 a.b +| b |²(punktproduktet er kommutativt)

≤ | en |²+ 2| a||b | + | b |²

≤ ( |a | + | b| )²

Dette beviser at | en + b | ≤ | en | + | b|
sorter arraylist i java

Eksempler på punktprodukt av vektorer

Eksempel 1. Betrakt to vektorer slik at |a|=6 og |b|=3 og α = 60°. Finn punktproduktet deres.

Løsning:

a.b = |a| |b| fordi α

Så, a.b = 6,3.cos(60°)

=18(1/2)

a.b = 9

Eksempel 2. Bevis at vektorene a = 3i+j-4k og vektor b = 8i-8j+4k er vinkelrett.

Løsning :

Vi vet at vektorene er vinkelrette hvis punktproduktet deres er null

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 =0

Siden skalarproduktet er null, kan vi konkludere med at vektorene er vinkelrett på hverandre.

Kryssprodukt/vektorprodukt av vektorer

Leserne er allerede kjent med et tredimensjonalt høyrehendt rektangulært koordinatsystem. I dette systemet indikerer en rotasjon mot klokken av x-aksen inn i den positive y-aksen at en høyrehendt (standard) skrue vil bevege seg i retning av den positive z-aksen som vist på figuren.

js erstatning

3D rektangulært koordinatsystem

De vektorprodukt eller kryssprodukt, av to vektorer en og b med en vinkel α mellom dem beregnes matematisk som

a × b = |a| |b| uten α

Det skal bemerkes at kryssproduktet er en vektor med en spesifisert retning. Resultanten er alltid vinkelrett på både a og b.

Også, hvis gitt to vektorer,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)ogmathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), deres kryssprodukt, angitt med a × b, beregnes som:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

I tilfelle a og b er parallelle vektorer, skal resultanten være null som sin(0) = 0

Egenskaper til Cross Product

Cross Product genererer en vektormengde. Resultanten er alltid vinkelrett på både a og b.
Kryssproduktet av parallelle vektorer/kollineære vektorer er null som sin(0) = 0.

i × i = j × j = k × k = 0

Kryssprodukt av to innbyrdes perpendikulære vektorer med enhetsstørrelse hver er enhet. (Siden sin(0)=1)
Kryssprodukt er ikke kommutativt.

a × b er ikke lik b × a

Kryssprodukt er distribuerende over tillegg

a × ( b + c ) = en × b + en × c

Hvis k er en skalar,

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

Når vi beveger oss i retning med klokken og tar kryssproduktet av et hvilket som helst to par av enhetsvektorene, får vi den tredje, og i retning mot klokken får vi den negative resultanten.

Kryss produktet i retning med og mot klokken

Følgende resultater kan fastslås:

i × j = k	j × k = i	k × i = j
j × i = -k	i × k= -j	k × j = -i

Kryssprodukt i determinantform

Hvis vektoren en er representert som a = a1x + a2y + a3z og vektor b er representert som b = b1x + b2y + b3z

Deretter kryssproduktet a × b kan beregnes ved hjelp av determinantform

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

Deretter, a × b = x(a₂b₃– b₂en₃) + y(a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

Hvis a og b er de tilstøtende sidene av parallellogrammet OXYZ og α er vinkelen mellom vektorene a og b.

Da er arealet av parallellogrammet gitt av | a × b | = |a| |b|sin.a

Vektorene a og b som tilstøtende sider av et parallellogram

Eksempler Av c ross produkt av Vectors

Eksempel 1. Finn kryssproduktet av to vektorer a og b hvis deres størrelser er henholdsvis 5 og 10. Gitt at vinkelen mellom da er 30°.

Løsning:

tøm cache npm

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 vinkelrett på en og b

Eksempel 2. Finn arealet av et parallellogram hvis tilstøtende sider er

a = 4i+2j -3k

b= 2i +j-4k

Løsning :

Arealet beregnes ved å finne kryssproduktet av tilstøtende sider

a × b = x(a₂b₃– b₂en₃) + y(a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

= -5i +10j

Derfor er størrelsen på arealetsqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}