Ligningen til en linje i et fly er gitt som y = mx + C hvor x og y er koordinatene til planet, m er helningen til linjen og C er skjæringspunktet. Konstruksjonen av en linje er imidlertid ikke begrenset til bare et fly.

Vi vet at en linje er en vei mellom to punkter. Disse to punktene kan være plassert hvor som helst enten de kan være i et enkelt plan eller de kan være i verdensrommet. Når det gjelder et plan, er plasseringen av linjen karakterisert ved to koordinater arrangert i et ordnet par gitt som (x, y), mens i tilfelle av rom, er plasseringen av punktet karakterisert av tre koordinater uttrykt som (x) , y, z).

I denne artikkelen vil vi lære de forskjellige formene for linjelikninger i 3D-rom.

Innholdsfortegnelse

• Hva er ligning av en linje?
• Linjeligning i 3D
• Kartesisk form for linjelikning i 3D
• Vektorform for linjelikning i 3D
• 3D-linjers formler
• Løste eksempler på likning av en linje i 3D

Hva er ligning av en linje?

Ligningen til en linje er en algebraisk måte å uttrykke en linje på i form av koordinatene til punktene den forbinder. Ligningen til en linje vil alltid være a lineær ligning .

Hvis vi prøver å plotte punktene oppnådd fra en lineær ligning vil det være a rett linje . Standardligningen til en linje er gitt som:

ax + by + c = 0

hvor,

• a og b er koeffisienter av x og y
• c er konstant term

Andre former for linjeligningen er nevnt nedenfor:

Nå skal vi lære linjens ligning i 3D.

Linjeligning i 3D

Ligningen av rett linje i 3D krever to punkter som er plassert i rommet. Plasseringen av hvert punkt er gitt ved hjelp av tre koordinater uttrykt som (x, y, z).

3D-ligningen til en linje er gitt i to formater, kartesisk form og vektorform . I denne artikkelen vil vi lære ligningen til en linje i 3D i både kartesisk og vektorform og også lære å utlede ligningen. De forskjellige tilfellene for linjelikning er oppført nedenfor:

• Kartesisk linjeform
  • Linje som går gjennom to punkter
  • Linje som går gjennom et gitt punkt og parallelt med en gitt vektor
• Vector Form av linje
  • Linje som går gjennom to punkter
  • Linje som går gjennom et gitt punkt og parallelt med en gitt vektor

Kartesisk form for linjelikning i 3D

Den kartesiske formen for linje er gitt ved å bruke koordinatene til to punkter som ligger i rommet som linjen går fra. I dette vil vi diskutere to tilfeller, når linjen går gjennom to punkter og når linjen går gjennom punkter og er parallell med en vektor.

Tilfelle 1: 3D-ligning av linje i kartesisk form som går gjennom to punkter

La oss anta at vi har to punkter A og B hvis koordinater er gitt som A(x₁, og₁, Med₁) og B(x₂, og₂, Med₂).

Deretter er 3D-ligningen av rett linje i kartesisk form gitt som

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

hvor x, y og z er rektangulære koordinater.

Utledning av ligning av linje som går gjennom to punkter

Vi kan utlede den kartesiske formen for 3D-ligning av rett linje ved å bruke følgende nevnte trinn:

• Trinn 1: Finn DR-ene (retningsforhold) ved å ta forskjellen mellom de tilsvarende posisjonskoordinatene til de to gitte punktene. l = (x₂– x₁), m = (og₂- og₁), n = (z₂- Med₁); Her l, m, n er DR-ene.
• Steg 2: Velg ett av de to gitte punktene si, vi velger (x₁, og₁, Med₁).
• Trinn 3: Skriv den nødvendige ligningen for den rette linjen som går gjennom punktene (x₁, og₁, Med₁) og (x₂, og₂, Med₂).
• Trinn 4: 3D-ligningen av rett linje i kartesisk form er gitt som L : (x – x₁)/l = (y – y₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁)/(x₂– x₁) = (y – y₁)/(og₂- og₁) = (z – z₁)/(Med₂- Med₁)

Hvor (X og Z) er posisjonskoordinatene til ethvert variabelt punkt som ligger på den rette linjen.

Eksempel: Hvis en rett linje går gjennom de to faste punktene i den 3-dimensjonale hvis posisjonskoordinater er P (2, 3, 5) og Q (4, 6, 12), er dens kartesiske ligning ved bruk av topunktsformen gitt av

Løsning:

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

delstreng java

l = 2, m = 3, n = 7

Velge punktet P (2, 3, 5)

Den nødvendige ligningen av linjen

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

Tilfelle 2: 3D-ligning av linje i kartesisk passering gjennom et punkt og parallell med en gitt vektor

La oss anta at linjen går gjennom et punkt P(x₁, og₁, Med₁) og er parallell med en vektor gitt somvec n = ahat i + bhat j + chat k .

Deretter gis linjelikningen som

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

hvor, x, y, z er rektangulære koordinater og a, b, c er retningscosinus.

Utledning av 3D-ligning av linje i kartesisk passering gjennom et punkt og parallell med en gitt vektor

La oss anta at vi har et punkt P hvis posisjonsvektor er gitt somvec pfra opprinnelsen. La linjen som går gjennom P er parallell med en annen vektorvec n. La oss ta et punkt R på linjen som går gjennom P, så er posisjonsvektoren til R gitt somvec r .

Siden er PR parallell medvec n⇒overline {PR} = lambda vec n

Hvis vi nå beveger oss på linjen PR, vil koordinaten til ethvert punkt som ligger på linjen ha koordinaten i form av (x₁+ λa), (og₁+ λb), (z₁+ λc), hvor λ er en parameter hvis verdi varierer fra -∞ til +∞ avhengig av retningen fra P der vi beveger oss.

Derfor vil koordinatene til det nye punktet være

x = x₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/en

y = y₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/b

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/c

Ved å sammenligne de tre likningene ovenfor har vi likningen av linjen som

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Eksempel: Finn ligningen til en linje som går gjennom et punkt (2, 1, 3) og parallelt med en vektor 3i – 2j + k

Løsning:

Ligningen av linjen som går gjennom et punkt og parallelt med en vektor er gitt som

(x – x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/c

Fra spørsmålet vi har, x₁= 2, og₁= 1, z₁= 3 og a = 3, b = -2 og c = k. Derfor vil den nødvendige ligningen til linjen være

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

Vektorform for linjelikning i 3D

Vektorform for linjelikningen i 3D er gitt ved hjelp av en vektorligning som involverer posisjonsvektoren til punktene. I denne overskriften vil vi få tak i 3D-ligningen til linjen i vektorform for to tilfeller.

Tilfelle 1: 3D-ligning av linje som går gjennom to punkter i vektorform

La oss anta at vi har to punkter A og B hvis posisjonsvektor er gitt somvec aogvec b.

Deretter er vektorligningen til Linjen L gitt som

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

hvor(vec b – vec a)er avstanden mellom to punkter og λ er parameteren som ligger på spill.

Utledning av 3D-ligning av linje som går gjennom to punkter i vektorform

Anta at vi har to punkter A og B hvis posisjonsvektor er gitt somvec aogvec b. Nå vet vi at en linje er avstanden mellom to punkter. Derfor må vi trekke fra de to posisjonsvektorene for å få avstanden.

⇒vec d = vec b – vec a

Nå vet vi at ethvert punkt på denne linjen vil bli gitt som summen av posisjonsvektorvec a space or space vec b med produktet av parameteren λ og posisjonsvektoren av avstanden mellom to punkter dvs.vec d

Derfor vil ligningen til linjen i vektorformen værevec l = vec a + lambda (vec b – vec a)ellervec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Eksempel: Finn vektorligningen til en linje i 3D som går gjennom to punkter hvis posisjonsvektorer er gitt som 2i + j – k og 3i + 4j + k

Løsning:

Gitt at de to posisjonsvektorene er gitt som 2i + j – k og 3i + 4j + k

Avstand d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Vi vet at linjens ligning er gitt somvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Derfor vil linjens ligning værevec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Tilfelle 2: Vektorform av 3D-ligning av linje som går gjennom et punkt og parallelt med en vektor

La oss si at vi har et punkt P hvis posisjonsvektor er gitt somvec p. La denne linjen være parallell med en annen linje hvis posisjonsvektor er gitt somvec d .

Deretter er vektorligningen til linjen 'l' gitt som

vec l = vec p + lambda vec d

hvor λ er parameteren som ligger på linjen.

Utledning av vektorformen til 3D-ligningen av linje som går gjennom et punkt og parallelt med en vektor

Betrakt et punkt P hvis posisjonsvektor er gitt somvec p. La oss nå anta at denne linjen er parallell med en vektorvec dda vil linjens ligning værevec l = lambda vec d. Siden linjen også går gjennom punktet P, så når vi beveger oss bort fra punktet P i begge retninger på linjen, vil posisjonsvektoren til punktet være i form avvec p + lambda vec d . Derfor vil linjens ligning værevec l = vec p + lambda vec dhvor λ er parameteren som ligger på linjen.

Eksempel: Finn vektorformen til ligningen til linjen som går gjennom punktet (-1, 3, 2) og parallelt med en vektor 5i + 7j – 3k.

Løsning:

Vi vet at vektorformen til ligningen til en linje som går gjennom et punkt og parallelt med en vektor er gitt somvec l = vec p + lambda vec d

Gitt at punktet er (-1, 3, 2), vil posisjonsvektoren til punktet være -i + 3j + 2k og den gitte vektoren er 5i + 7j – 3k.

Derfor vil den nødvendige ligningen til linjen værevec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).

3D-linjers formler

Lignende lesninger

• Ligning av en rett linje
• Tangent og Normal
• Slope of Line

Løste eksempler på likning av en linje i 3D

Øv på linjeligninger i 3D med disse løste øvingsspørsmålene.

Eksempel 1: Hvis en rett linje går gjennom de to faste punktene i den 3-dimensjonale hvis posisjonsvektorer er (2 i + 3 j + 5 k) og (4 i + 6 j + 12 k), så bruker dens vektorligning med topunkts skjema er gitt av

Løsning:

{vec {p}}= (4 Jeg + 6 j + 12 k ) - (2 Jeg + 3 j + 5 k )

{vec {p}}= (2 Jeg + 3 j + 7 k ) ; Her{vec {p}}er en vektor parallell med den rette linjen

Velge posisjonsvektoren (2 Jeg + 3 j + 5 k )

Den nødvendige ligningen for den rette linjen

L :{vec {r}}= (2 Jeg + 3 j + 5 k ) + t . (2 Jeg + 3 j + 7 k )

Eksempel 2: Hvis en rett linje går gjennom de to faste punktene i det 3-dimensjonale rommet hvis posisjonskoordinater er (3, 4, -7) og (1, -1, 6), så bruker dens vektorligning topunkts skjema er gitt av

Løsning:

Posisjonsvektorer for de gitte punktene vil være (3 i + 4 j – 7 k) og (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (2 i + 5 j – 13 k); Her{vec {p}}er en vektor parallell med den rette linjen

Velge posisjonsvektoren (i – j + 6 k)

peker i c

Den nødvendige ligningen for den rette linjen

L :{vec {r}}= (i – j + 6 k) + t . (2 i + 5 j – 13 k)

Eksempel 3: Hvis en rett linje går gjennom de to faste punktene i den 3-dimensjonale hvis posisjonsvektorer er (5 i + 3 j + 7 k) og (2 i + j – 3 k), så bruker vektorligningen dens topunktsform er gitt av

Løsning:

{vec {p}}= (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j – 3 k)

{vec {p}}= (3 i + 2 j + 10 k); Her{vec {p}}er en vektor parallell med den rette linjen

Velge posisjonsvektoren (2 i + j – 3 k)

Den nødvendige ligningen for den rette linjen

L:{vec {r}}= (2 i + j – 3 k) + t . (3 i + 2 j + 10k)

Eksempel 4: Hvis en rett linje går gjennom de to faste punktene i den 3-dimensjonale hvis posisjonskoordinater er A (2, -1, 3) og B (4, 2, 1), så bruker dens kartesiske ligning med topunkts skjema er gitt av

Løsning:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Velge punktet A (2, -1, 3)

Den nødvendige ligningen av linjen

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 eller

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

Eksempel 5: Hvis en rett linje går gjennom de to faste punktene i den 3-dimensjonale hvis posisjonskoordinater er X (2, 3, 4) og Y (5, 3, 10), er dens kartesiske ligning ved bruk av topunktsformen gitt av

Løsning:

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Velge punktet X (2, 3, 4)

Den nødvendige ligningen av linjen

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 eller

L: (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

Ligning av en linje i 3D – Vanlige spørsmål

Hva er ligning av en linje i 3D?

Ligningen til en linje i 3D er gitt som (x – x₁)/(x₂– x₁) = (y – y₁)/(og₂- og₁) = (z – z₁)/(Med₂- Med₁)

Hva er kartesisk form for ligningen av en linje i 3D?

Kartesisk form for linjelikningen i 3D er gitt for to tilfeller

Tilfelle 1: Når linjen går gjennom to punkter:{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Tilfelle 2: Når en linje går gjennom ett punkt og er parallell med en vektor:{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Hva er vektorform for ligning av en linje i 3D?

Vektorform av ligningen til en linje i 3D er gitt for to tilfeller:

Tilfelle 1: Linje som går gjennom to punkter:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Tilfelle 2: Linje går gjennom et punkt og parallelt med en vektor:vec l = vec p + lambda vec d

Hva er helningspunktligningen til en linje?

Helningspunktslikning for en linje er gitt som y = mx + C der m er helningen

Hva er standardligningen til en linje?

Standardligningen for en linje er ax + by + c = 0