EKVIVALENSKLASSE: DEFINISJON, EGENSKAPER OG EKSEMPLER

Ekvivalensklasse er gruppen av elementer i et sett basert på en spesifikk forestilling om ekvivalens definert av en ekvivalensrelasjon. En ekvivalensrelasjon er en relasjon som tilfredsstiller tre egenskaper: refleksivitet, symmetri og transitivitet. Ekvivalensklasser deler opp settet S i usammenhengende delmengder. Hver delmengde består av elementer som er relatert til hverandre under den gitte ekvivalensrelasjonen.

I denne artikkelen vil vi diskutere begrepet ekvivalensklasse i tilstrekkelig detalj, inkludert definisjon, eksempel, egenskaper, samt løste eksempler.

Innholdsfortegnelse

Hva er ekvivalensklasser?
Eksempler på ekvivalensklasse
Egenskaper for ekvivalensklasser
Ekvivalensklasser og partisjon

Hva er ekvivalensklasser?

En ekvivalensklasse er navnet vi gir til delmengden av S som inkluderer alle elementer som er ekvivalente med hverandre. Ekvivalent er avhengig av et spesifisert forhold, kalt en ekvivalensrelasjon. Hvis det er en ekvivalensrelasjon mellom to elementer, kalles de ekvivalente.

Ekvivalensklassedefinisjon

Gitt en ekvivalensrelasjon på en mengde S, er en ekvivalensklasse med hensyn til et element a i S settet av alle elementer i S som er relatert til en dvs.

[a] ELLER x er relatert til a

Tenk for eksempel på settet med heltall ℤ og ekvivalensrelasjonen definert av kongruensmodulo n. To heltall a og b regnes som ekvivalente (betegnet som (a ≡ b mod(n) hvis de har den samme resten når de divideres med n. I dette tilfellet er ekvivalensklassen til et heltall a settet av alle heltall som har samme rest som a når delt på n.

strengbygger java

Hva er ekvivalensforhold?

Enhver relasjon R, sies å være ekvivalensrealitet hvis og bare hvis den tilfredsstiller følgende tre betingelser:

Refleksivitet: For ethvert element a er a relatert til seg selv.
Symmetri: Hvis a er relatert til b, er b relatert til a.
Transitivitet: Hvis a er relatert til b, og b er relatert til c, så er a relatert til c.

Les mer om Ekvivalensforhold .

Noen eksempler på ekvivalensforhold er:

Likhet på et sett: La X være en hvilken som helst mengde, og definer en relasjon R på X slik at a R b hvis og bare hvis a = b for a, b ϵ X.

Refleksivitet: For hver a ϵ X, a = a (trivielt sant).
Symmetri: Hvis a = b, så er b = a (trivielt sant).
Transitivitet: Hvis a = b og b = c, så er a = c (trivielt sant).

Kongruens modulo n: La n være et positivt heltall, og definer en relasjon R på heltallene ℤ slik at a R b hvis og bare hvis a – b er delelig med n.

Refleksivitet: For hver a ϵ ℤ, a – a = 0 er delelig med n.
Symmetri: Hvis a – b er delelig med n, så er -(a – b) = b – a også delelig med n.
Transitivitet: Hvis a – b er delelig med n og b – c er delelig med n, så er a – c også delelig med n.

Eksempler på ekvivalensklasse

Det velkjente eksemplet på en ekvivalensrelasjon er lik til (=)-relasjonen. Med andre ord, to elementer i det gitte settet er ekvivalente med hverandre hvis de tilhører samme ekvivalensklasse. Ekvivalensrelasjonene kan forklares i form av følgende eksempler:

Ekvivalensforhold på heltall

Ekvivalensforhold: Congruence modulo 5 (a ≡ b [mod(5)] )

Ekvivalensklasse på 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
Ekvivalensklasse 1: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
Ekvivalensklasse på 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
Ekvivalensklasse på 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
Ekvivalensklasse på 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}

Ekvivalensforhold på reelle tall

Ekvivalensforhold: Absolutt forskjell (a ~ b hvis |a – b| <1)

Ekvivalensklasse på 0: [0] = (-0,5, 0,5)
Ekvivalensklasse 1: [1] = (0,5, 1,5)
Ekvivalensklasse på 2: [2] = (1,5, 2,5)
Ekvivalensklasse på 3: [3] = (2,5, 3,5)

Les mer,

Reelle tall
Heltall
Rasjonelle tall

Egenskaper for ekvivalensklasser

Egenskapene til ekvivalensklasser er:

Hvert element tilhører nøyaktig én ekvivalensklasse.
Ekvivalensklasser er usammenhengende, dvs. skjæringspunktet mellom to ekvivalensklasser er nullsett.
Foreningen av alle ekvivalensklasser er det originale settet.
To elementer er like hvis og bare hvis ekvivalensklassene deres er like.

Les mer,

Union av sett
Skjæringspunktet mellom sett
Usammenhengende sett

Ekvivalensklasser og partisjon

Grupper av elementer i et sett knyttet til en ekvivalensrelasjon, mens en samling av disse ekvivalensklassene, som dekker hele settet uten overlapp, kalles partisjon.

Forskjellen mellom ekvivalensklasser og partisjon

Nøkkelforskjellen mellom ekvivalensklasser og partisjon er gitt i følgende tabell:

Trekk	Ekvivalensklasser	Skillevegger
Definisjon	Sett med elementer som anses som likeverdige under en relasjon.	En samling av ikke-tomme, parvis usammenhengende delsett slik at deres forening er hele settet.
Notasjon	Hvis EN er en ekvivalensklasse, er den ofte betegnet som [ en ] eller [a] R , hvor en er et representativt element og R er ekvivalensrelasjonen.	En partisjon av et sett X er angitt som { B ₁, B ₂,…, B _n }, hvor B _Jeg er de usammenhengende undergruppene i partisjonen.
Forhold	Ekvivalensklasser danner en partisjon av det underliggende settet.	En partisjon kan oppstå fra en ekvivalensrelasjon eller ikke.
Kardinalitet	Ekvivalensklasser kan ha forskjellige kardinaliteter.	Alle undersett i partisjonen har samme kardinalitet.
Eksempel	Tenk på at settet med heltall og ekvivalensrelasjonen har den samme resten når de er delt på 5. Ekvivalensklasser er {...,−5,0,5,...}, {...,−5,0,5,...}, {...,−4,1,6,...} og {...,−4,1 ,6,...} osv.	Tenk på settet med heltall delt inn i partall og oddetall: {...,−4,−2,0,2,4,...} og {...,−3,−1,1,3,5,...}.
Skjæringspunktet mellom klasser	Ekvivalensklasser er enten usammenhengende eller identiske.	Partisjoner består av usammenhengende undergrupper.

Løste eksempler på ekvivalensklasse

Eksempel 1: Bevis at relasjonen R er en ekvivalenstype i mengden P= { 3, 4, 5,6 } gitt av relasjonen R = (p, q):.

Løsning:

Gitt: R = (p, q):. Der p, q tilhører P.

Refleksiv eiendom

Fra den angitte relasjonen |p – p| = | 0 |=0.

Og 0 er alltid partall.

Derfor, |p – p| er jevn.

Derfor er (p, p) relatert til R

Så R er refleksiv.

Symmetrisk egenskap

Fra den gitte relasjonen |p – q| = |q – p|.

Vi vet at |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|

Derfor |p – q| er jevn.

Neste |q – p| er også jevnt.

Følgelig, hvis (p, q) ∈ R, så hører (q, p) også til R.

Derfor er R symmetrisk.

Transitiv eiendom

Hvis |p – q| er partall, da er (p-q) partall.

På samme måte, hvis |q-r| er partall, da er (q-r) også partall.

Summeringen av partall er for jevn.

Så vi kan adressere det som p – q+ q-r er partall.

Deretter er p – r jevnere.

Tilsvarende,

|p – q| og |q-r| er partall, så |p – r| er jevn.

Følgelig, hvis (p, q) ∈ R og (q, r) ∈ R, refererer (p, r) også til R.

Derfor er R transitiv.

Eksempel 2: Tenk på A = {2, 3, 4, 5} og R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.

tostring java

Løsning:

Gitt: A = {2, 3, 4, 5} og

Relasjon R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4) )}.

For at R skal være ekvivalensrelasjon, må R tilfredsstille tre egenskaper, dvs. refleksiv, symmetrisk og transitiv.

Refleksiv : Relasjon R er refleksiv fordi (5, 5), (2, 2), (3, 3) og (4, 4) ∈ R.

Symmetrisk : Relasjon R er symmetrisk som når (a, b) ∈ R, (b, a) også er relatert til R, dvs. (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.
type i java

Transitiv : Relasjon R er transitiv som når (a, b) og (b, c) forholder seg til R, (a, c) også forholder seg til R, dvs. (3, 5) ∈ R og (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.

Følgelig er R refleksiv, symmetrisk og transitiv.

Så R er en ekvivalensrelasjon.

Øv problemer på ekvivalensklasse

Oppgave 1: aRb hvis a+b er partall. Bestem om det er en ekvivalensrelasjon og dens egenskaper.

Oppgave 2: xSy hvis x og y har samme fødselsmåned. Analyser om det er en ekvivalensrelasjon.

Oppgave 3: Tenk på A = {2, 3, 4, 5} og R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3) ), (4, 2), (4, 4)}. Bekreft at R er en ekvivalenstype relasjon.

Oppgave 4: Bevis at relasjonen R er en ekvivalenstype i mengden P= { 3, 4, 5,6 } gitt av relasjonen R = er partall .

Ekvivalensklasse: Vanlige spørsmål

1. Hva er ekvivalensklassen?

En ekvivalensklasse er en delmengde innenfor et sett, dannet ved å gruppere alle elementer som er ekvivalente med hverandre under en gitt ekvivalensrelasjon. Den representerer alle medlemmer som anses som likeverdige av det forholdet.

2. Hva er symbolet for ekvivalensklasse?

Symbolet for en ekvivalensklasse skrives vanligvis som [a], der a er et representativt element i klassen. Denne notasjonen angir settet av alle elementer som tilsvarer en under en spesifikk ekvivalensrelasjon.

3. Hvordan finner du ekvivalensklassen til et sett?

Følg disse trinnene for å finne ekvivalensklassen til et sett:

Trinn 1: Definer en ekvivalensrelasjon.

Steg 2: Velg et element fra sett.

Trinn 3: Identifiser ekvivalente elementer til de valgte elementene.

Trinn 4: Form ekvivalensklassen som inneholder alle elementene som tilsvarer det valgte elementet.

4. Hva er forskjellen mellom ekvivalensklasse og partisjon?

Ekvivalensklasser er delmengder dannet av en ekvivalensrelasjon, mens partisjoner er ikke-overlappende delmengder som dekker hele settet. Hver ekvivalensklasse er en delmengde i en partisjon, men ikke hver partisjon oppstår fra en ekvivalensrelasjon.

5. Hva er en ekvivalensrelasjon?

En relasjon som er refleksiv, symmetrisk og transitiv, og deler et sett i usammenhengende delmengder.