Kvadratroten av en numerisk verdi er en verdi som ved selvmultiplikasjon resulterer i det opprinnelige tallet. '√' er det radikale symbolet som brukes til å skildre roten til et hvilket som helst tall. Med kvadratrot mener vi en potens 1/2 av dette tallet. La oss for eksempel anta at x er kvadratroten av et hvilket som helst heltall y, dette innebærer at x=√y. Ved å multiplisere likningen får vi også x²= y.

Kvadratroten av kvadratet av et positivt tall gir det opprinnelige tallet.

For å forstå konseptet vet vi at kvadratet av 4 er 16, og kvadratroten av 16, √16 = 4. Nå, som vi kan se, er 16 en perfekt kvadratisk figur. Dette gjør det enkelt å beregne kvadratroten av slike tall. Men å beregne kvadratroten av et ufullkommen kvadrat som 3, 5, 7, osv., er det en vanskelig prosess å beregne roten.

En kvadratrotfunksjon er en en-til-en funksjon som bruker som input et positivt tall og returnerer kvadratroten av det gitte inndatatallet.

f(x) = √x

Egenskaper til kvadratrøtter

Noen av de viktige egenskapene til kvadratroten er som følger:

• For et perfekt kvadrattall eksisterer en perfekt kvadratrot.
• For et tall som slutter med et partall av nuller, eksisterer det en kvadratrot.
• Kvadratroten av negative tall er ikke definert.
• For et tall som slutter med sifrene 2, 3, 7 eller 8, eksisterer ikke den perfekte kvadratroten.
• For et tall som slutter med sifrene 1, 4, 5, 6 eller 9, vil tallet ha en kvadratrot.

Hvordan beregne en kvadratrot?

Perfekte kvadrattall er heltall som er positive av natur og lett kan uttrykkes i form av multiplikasjon av et tall med seg selv. Perfekte kvadrattall er avbildet som verdien av potens 2 av et hvilket som helst heltall. Beregning av kvadratroten av perfekte kvadrattall er relativt enklere. Det er først og fremst fire metoder som brukes for å finne kvadratroten av tall:

• Gjentatt subtraksjonsmetode for kvadratrot
• Kvadratrot etter Prime Factorization Method
• Kvadratrot etter estimeringsmetode
• Kvadratrot etter Long Division Method

De tre metodene ovenfor kan brukes i beregningen av kvadratroten av perfekte kvadrattall. Den siste metoden kan imidlertid brukes for begge typer tall.

Gjentatt subtraksjonsmetode for kvadratrøtter

Metoden er avhengig av følgende sekvens av trinn:

Trinn 1: Trekk etterfølgende oddetall fra tallet som vi finner kvadratroten for.

Steg 2: Gjenta trinn 1 til en verdi på 0 er oppnådd.

Trinn 3: Antall ganger trinn 1 gjentas er den nødvendige kvadratroten av det gitte tallet.

Merk: Denne metoden kan bare brukes for perfekte firkanter.

For eksempel, for tallet 16, fungerer metoden som følger:

16 – 1 = 15

15 – 3 =12

12 – 5 = 7

7-7 = 0

Prosessen gjentas 4 ganger. Dermed √16 = 4.

Kvadratrot etter Prime Factorization Method

Primfaktorisering av et hvilket som helst tall er representasjonen av det tallet i form av et produkt av primtall. Metoden er avhengig av følgende sekvens av trinn:

Trinn 1: Del det angitte tallet inn i primfaktorene.

Steg 2: Et par like faktorer dannes på en måte slik at begge faktorene i hvert av de dannede parene er like.

lateksmatrise

Trinn 3: Ta en faktor fra hvert av parene.

Trinn 4: Produktet av faktorene fås ved å ta en faktor fra hvert par.

Trinn 5: Dette oppnådde produktet er kvadratroten av det gitte tallet.

Merk: Denne metoden kan bare brukes for perfekte firkanter.

For eksempel, for tallet 64, fungerer metoden som følger:

egin{array}l llap{2~~~~} 64 hline llap{2~~~~} 32 hline llap{2~~~~} 16 hline llap{2~~~~} 8 hline llap{2~~~~} 4 hline llap{2~~~~} 2 hline 1 end{array}

64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}

64 = 2²×2²×2²

64 = (2 × 2 × 2)²

64 = (8)²

√64 = 8

Kvadratrot etter estimeringsmetode

Estimeringsmetoden brukes for å tilnærme kvadratroten av et gitt tall. Den tilnærmer kvadratroten av et tall til en rimelig gjetning av den faktiske verdien. Beregninger er lettere i denne metoden. Det er imidlertid en veldig lang og tidkrevende prosess.

Trinn 1: Finn det nærmeste perfekte kvadratet som forekommer både før og etter det gitte tallet.

Steg 2: Finn de nest nærmeste heltallene og rund dem av hver gang for å komme mot det nærmeste svaret.

For eksempel, for tallet 15, fungerer metoden som følger:

9 og 16 er de perfekte kvadrattallene før og etter nærmest 15. Nå vet vi,

statisk java

√16 = 4 og √9 = 3. Dette innebærer at kvadratroten av tallet 15 forekommer mellom 3 og 4. Nå involverer prosessen evaluering av om kvadratroten av tallet 15 er nærmere 3 eller 4.

Det første tilfellet tar 3,5 og 4. Kvadrat på 3,5 = 12,25 og kvadratroten av 4 = 16. Derfor ligger kvadratroten av heltall 15 mellom 3,5 og 4 og er nærmere 4.

Videre finner vi kvadratene 3,8 og 3,9, som tilsvarer 3,8²= 14,44 og 3,9²= henholdsvis 15,21. Dette innebærer at √15 ligger mellom 3,8 og 3,9. Ved videre evaluering får vi at √15 = 3,872.

Kvadratrot etter Long Division Method

Lang divisjonsmetoden for beregning av kvadratroten av tall involverer deling av store tall i trinn eller deler, og dermed bryte problemet i en sekvens av enklere trinn.

For eksempel, for tallet 180, fungerer metoden som følger:

Trinn 1: En stolpe er plassert over hvert par av sifre i tallet som begynner med enhetens plass.

Steg 2: Tallet lengst til venstre blir deretter delt på det største tallet slik at kvadratet er mindre enn eller lik tallet i paret lengst til venstre.

Trinn 3: Nå er tallet under neste stolpe til høyre for resten senket. Det siste sifferet i den oppnådde kvotienten legges til divisoren. Nå er neste trinn å finne et tall til høyre for den oppnådde summen, slik at den sammen med resultatet av summen danner en ny divisor for det nye utbyttet.

Trinn 4: Det oppnådde tallet i kvotienten tilsvarer tallet som er valgt i divisoren.

Trinn 5: Den samme prosessen gjentas med et desimaltegn og legger til nuller i par til resten.

Trinn 6: Kvoten danner kvadratroten av tallet.

Eksempel på spørsmål

Spørsmål 1. Beregn kvadratroten av 144 ved primfaktoriseringsmetode?

Løsning:

egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array}

python slange vs anaconda

144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}

144 = 2²×2²× 3²

144 = (2 × 2 × 3)²

144 = (12)²

√144 = 12

Spørsmål 2. Hva er måten å forenkle kvadratroten på?

Løsning:

Primfaktoriseringen av det gitte tallet kan beregnes. I tilfelle faktoren ikke kan grupperes, brukes et kvadratrotsymbol for å gruppere dem. Følgende regel brukes for å forenkle:

√xy = √(x × y), hvor, x og y er positive heltall.

For eksempel, √12 =sqrt{2 × 2 × 3}= 23

For brøker brukes følgende regel:frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}}

For eksempel:frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10}= √5

Spørsmål 3. Løs: √(x + 2) = 4

Løsning:

Vi vet,

√(x + 2) = 4

Ved å kvadrere begge sider får vi;

x + 2 = √4

x + 2 = ±4

x = ±4 – 2

Derfor har vi,

Kat timpf

x = 2 eller x = -6

Spørsmål 4. Kan kvadratroten av et negativt tall være et helt tall? Forklare.

Løsning:

Vi vet at de negative tallene ikke kan ha en kvadratrot. Årsaken bak dette er at hvis to negative tall multipliseres sammen, vil resultatet alltid være et positivt tall. Derfor vil kvadratroten av et negativt tall være i form av et komplekst tall.

Spørsmål 5. Beregn kvadratroten av 25 ved hjelp av gjentatt subtraksjon?

Løsning:

Ved å følge trinnene ovenfor har vi,

25 – 1 = 24

24 – 3 = 21

21 – 5 = 16

16 – 7 = 9

9 – 9 = 0

Siden prosessen gjentas 5 ganger, har vi derfor √25 = 5.

Spørsmål 6. Beregn kvadratroten av 484 med lang divisjonsmetode?

Løsning:

Ved den lange divisjonsmetoden har vi,

Nå,

Resten er 0, derfor er 484 et perfekt kvadrattall, slik at

√484 = 22