En implikasjonserklæring kan representeres i formen 'hvis...da'. Symbolet ⇒ brukes for å vise implikasjonen. Anta at det er to setninger, P og Q. I dette tilfellet kan setningen 'hvis P så Q' også skrives som P ⇒ Q eller P → Q, og den vil bli lest som 'P antyder Q'. I denne implikasjonen er setningen P en hypotese, som også er kjent som premiss og antecedent, og setningen Q er konklusjon, som også er kjent som konsekvensen.
Implikasjonen spiller også en viktig rolle i det logiske argumentet. Hvis implikasjonen av utsagnene er kjent for å være sanne, må konklusjonen også være sann når forutsetningen er oppfylt. På grunn av denne grunn er implikasjonen også kjent som den betingede uttalelsen.
Noen eksempler på implikasjoner er beskrevet som følger:
freddie mercury
- 'Hvis været i GOA er solfylt, så drar vi til stranden'.
- 'Hvis klubben har rabattsystem, så går vi til den klubben.'
- 'Hvis det er sol mens du går på stranden, så blir vi solbrune'.
Den logiske implikasjonen kan uttrykkes på forskjellige måter, som beskrives som følger:
- Hvis p så q
- Hvis p, q
- q når s
- Q bare hvis P
- q med mindre ~p
- q hver gang s
- p er en tilstrekkelig betingelse for q
- q følg s
- p betyr q
- En nødvendig betingelse for p er q
- q hvis s
- q er nødvendig for p
- p er en nødvendig betingelse for q
Nå skal vi beskrive eksemplene på alle de ovenfor beskrevne implikasjonene ved hjelp av premiss P og konklusjon Q. For dette vil vi anta at P = Det er sol og Q = Jeg skal til stranden.
P ⇒ Q
- OM det er sol SÅ skal jeg til stranden
- OM det er sol, skal jeg til stranden
- Jeg skal til stranden NÅR det er sol
- Jeg vil gå til stranden BARE HVIS det er sol
- Jeg skal til stranden MED MINDRE det ikke er sol
- Jeg skal til stranden NÅR det er sol
- Det er sol ER EN TILSTREKKELIG FORHOLD FOR at jeg skal til stranden
- Jeg vil gå til stranden FØLG det er sol
- Det er sol IMPLISERER jeg skal til stranden
- EN NØDVENDIG BETINGELSE FOR at det er sol er at jeg skal til stranden
- Jeg skal til stranden HVIS det er sol
- Jeg vil gå til stranden ER NØDVENDIG FOR det er sol
- Det er sol ER EN NØDVENDIG BETINGELSE FOR at jeg skal til stranden
Når det er en betinget setning 'hvis p så q', så vil denne setningen P ⇒ Q være usann når premissene p er sanne, og konklusjonen q er usann. I alle de andre tilfellene betyr det at når p er usant eller Q er sann, vil utsagnet P ⇒ Q være sant. Vi kan representere dette utsagnet ved hjelp av en sannhetstabell der det falske vil bli representert av F og sant vil bli representert av T. Sannhetstabellen for utsagnet 'hvis P så Q' er beskrevet som følger:
| P | Q | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Det er ikke nødvendig at premissene og konklusjonen er relatert til hverandre. På grunnlag av formuleringen av P og Q er tolkningen av sannhetstabellen avhengig.
For eksempel:
- Hvis Jack er laget av plast, er havet grønt.
- Utsagnet: Jack er laget av plast
- Utsagnet: Havet er grønt
De to påstandene ovenfor gir ingen mening fordi Jack er et menneske, og han kan aldri være laget av plast, og en annen påstand Ocean is green vil aldri skje fordi havet alltid er blått og fargen på Ocean kan ikke endres. Som vi kan se at begge utsagnene ikke er relatert til hverandre. På den annen side er sannhetstabellen for utsagnet P ⇒ Q gyldig. Det er altså ikke et spørsmål om sannhetstabellen er riktig eller ikke, men det er et spørsmål om fantasi og tolkning.
Så i P ⇒ Q trenger vi ingen form for forbindelse mellom premisset og konsekvent. På grunnlag av den sanne verdien av P og Q avhenger bare betydningen av disse.
Disse utsagnene vil også være falske selv om vi vurderer begge utsagnene for vår verden, så
False ⇒ False
Så når vi ser på sannhetstabellen ovenfor, ser vi at når P er usann og Q er usann, så er P ⇒ Q sann.
Så hvis jekken er laget av plast, vil havet være grønt.
Premiss p og konklusjon q vil imidlertid være relatert, og begge utsagnene gir mening.
Tvetydighet
Det kan være en tvetydighet i den underforståtte operatøren. Så når vi bruker imply-operatoren (⇒), på dette tidspunktet, bør vi bruke parentesen.
For eksempel: I dette eksemplet har vi en tvetydig setning P ⇒ Q ⇒ R. Nå har vi to tvetydige setninger ((P ⇒ Q) ⇒ R) eller (P ⇒ (Q ⇒ R)), og vi må vise om disse setningene er like eller ikke.
Løsning: Vi vil bevise dette ved hjelp av en sannhetstabell, som er beskrevet som følger:
| P | Q | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
I sannhetstabellen ovenfor kan vi se at sannhetstabellen til P ⇒ (Q ⇒ R) og (P ⇒ Q) ⇒ R ikke er like. Derfor vil de begge generere forskjellige utganger eller resultater.
Mer om implikasjon
Noen flere eksempler på implikasjoner er beskrevet som følger:
- Hvis det er sol, så går jeg på skolen.
- Får jeg en god jobb, så tjener jeg penger.
- Hvis jeg får gode karakterer, så blir foreldrene mine glade.
I alle eksemplene ovenfor blir vi forvirret fordi vi ikke vet når en implikasjon vil bli betraktet som sann og når den vil anses som usann. For å løse dette problemet og for å forstå begrepet implikasjon, vil vi bruke et hypotetisk eksempel. I dette eksemplet vil vi anta at Marry vil spille badminton med kjæresten Jack, og kjæresten hans Jack ønsker å motivere Marry litt, så han lokker henne med en uttalelse:
'If you win then I will buy a ring for you'
Gjennom denne uttalelsen mener Jack at hvis gifte seg vinner, så vil han selvsagt kjøpe en ring. Gjennom denne uttalelsen forplikter Jack seg bare når Marry vinner. Han forpliktet seg ikke til noe i alle fall da Mary løs. Så på slutten av kampen kan det bare være fire muligheter, som beskrives som følger:
- Gifte seg vinner - kjøp en ring.
- Gift vinner - kjøp ingen ring.
- Gifte seg taper - kjøp en ring.
- Gifte seg taper - kjøp ingen ring.
Jack kom imidlertid ikke med noen uttalelse relatert til regel (B). Han nevnte heller ikke regel nummer (C) og (D) i uttalelsen sin, så hvis Marry løs, så er det helt opp til Jack å kjøpe en ring til henne eller ikke. Faktisk kan utsagn (A), (C) og (D) skje som utfallet av utsagnet som Jack sier til Marry, men (B) vil ikke være utfallet. Hvis utfall (B) inntreffer, vil bare Jack bli fanget i en løgn. I alle de tre andre tilfellene, dvs. (A), (C) og (D), vil han ha talt sannheten.
Nå skal vi bruke det enklere utsagnet slik at vi symbolsk kan definere Jacks utsagn slik:
P: you win Q: I will buy a ring for you
I denne implikasjonen bruker vi det logiske symbolet ⇒, som kan leses som 'antyder'. Vi vil danne Jack's Compound-setningen ved hjelp av å sette denne pilen fra P til Q slik:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
Avslutningsvis har vi observert at implikasjonen vil være usann bare når P er sann og q er usann. I følge denne uttalelsen vinner Marry spillet, men dessverre kjøper ikke Jack en ring. I alle andre tilfeller/utfall vil påstanden være sann. Følgelig er sannhetstabellen for implikasjon beskrevet som følger:
| P | Q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Listen over tilsvarende logiske ligninger for implikasjonen er beskrevet som følger:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Eksempler på implikasjoner:
Det er ulike eksempler på implikasjoner, og noen av dem er beskrevet som følger:
Eksempel 1: Anta at det er fire utsagn, P, Q, R og S hvor
P: Jack er på skolen
Q: Jack underviser
R: Jack sover
S: Jack er syk
Nå skal vi beskrive noen symbolske utsagn som er involvert i disse enkle utsagnene.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Her må vi vise representasjonen av tolkningen av disse symbolske utsagnene i ord.
Løsning:
| P → R | Hvis Jack er på skolen, er Jack lærer. |
| S → ~P | Hvis Jack er syk, går han ikke på skolen. |
| ~Q → (S ∧ R) | Hvis Jack ikke underviser, er han syk og sover. |
| (P ∨ R) → ~Q | Hvis Jack er på skolen eller sover, så lærer han ikke. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Hvis Jack ikke sover og ikke er syk, så underviser han eller ikke på skolen. |
Eksempel 2: I dette eksemplet har vi en implikasjon P → Q. Her har vi også tre flere sammensatte utsagn som er naturlig assosiert med denne implikasjonen som er kontrapositiv, invers og motsatt av implikasjonen. Forholdet mellom alle disse fire påstandene beskrives ved hjelp av en tabell, som beskrives som følger:
| Implikasjon | P → Q |
| Samtale | Q → P |
| Omvendt | ~P → ~Q |
| Kontrapositivt | ~Q → ~P |
Nå skal vi vurdere et eksempel på implikasjon, som har utsagnet: 'Hvis du studerer godt, får du gode karakterer'. Denne uttalelsen er i formen P → Q, hvor
P: du studerer godt
Spørsmål: du får gode karakterer
Nå skal vi bruke P- og Q-setningene og vise de fire assosierte setningene slik:
Implikasjon: Studerer du godt får du gode karakterer.
Omvendt: Får du gode karakterer, studerer du godt.
Omvendt: Hvis du ikke studerer godt, får du ikke gode karakterer.
Kontrapositivt: Hvis du ikke får gode karakterer, studerer du ikke godt.
Sannhetsverdiene til alle de tilknyttede utsagnene ovenfor er beskrevet ved hjelp av en sannhetstabell, som er beskrevet som følger
| P | Q | ~P | ~Q | P → Q | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
I tabellen ovenfor kan vi se at implikasjonen (P → Q) og dens kontrapositive (~Q → ~P) har samme verdi i sine kolonner. Det betyr at de begge er likeverdige. Så vi kan si at:
P → Q = ~Q → ~P
På samme måte kan vi se at omvendt og invers begge har lignende verdier i sine kolonner. Men dette vil ikke gjøre noen forskjell fordi det omvendte er det motsatte av det motsatte. På samme måte kan den opprinnelige implikasjonen komme fra det kontrapositive til det kontrapositive. (Det betyr at hvis vi negerer P og Q og deretter bytter pilens retning, og etter det vil vi gjenta prosessen igjen, det betyr negere ~P og ~Q, og igjen bytter pilens retning, i dette tilfellet vil vi få tilbake der vi startet).