Midt i en trekant er skjæringspunktet for alle de tre halveringslinjene i en trekant. Sentrum er et viktig punkt i en trekant der linjer som skjærer vinkler i to kommer sammen. Dette punktet er også sentrum av en sirkel kalt Incircle som passer perfekt inn i trekanten og berører alle tre sidene likt. Denne artikkelen dekker ulike konsepter av trekantens senter, for eksempel hvorfor dette punktet er viktig, hvordan du finner det ved hjelp av et kompass eller tall, og egenskapene til sirkelens senter.

Innholdsfortegnelse

• Hva er midten av en trekant?
• Egenskaper til et midten av en trekant
• Midt i en trekantformel
• Hvordan finne midten av en trekant
• Centroid, Circumcenter, Incenter, Ortocenter

Hva er midten av en trekant?

Sentrum av en trekant, som navnet antyder, er trekantens midtpunkt. Dette punktet som vi kaller et senter dannes i krysset der alle linjene som halverer de indre vinklene møtes. Avstanden til punktet fra alle tre sidene av trekanten er lik. Trekantens insirkel passer også til en perfekt sirkel inne i trekanten og denne sirkelen kalles trekantens insirkel.

Incenter Definisjon

Sentrum av en trekant er punktet inne i trekanten der alle tre linjene som skjærer dens innvendige vinkler i to kommer sammen. Dette punktet er i samme avstand fra de tre sidene av trekanten, noe som gjør det som trekantens midtpunkt. Det er også sentrum av den største sirkelen som kan passe tett inn i trekanten, som vi kaller insirkelen. For å symbolisere midten bruker vi vanligvis bokstaven I,

Midt i en trekant

Egenskaper til et midten av en trekant

Noen viktige egenskaper til midten av trekanten er gitt nedenfor:

Eiendom 1: Hvis Jeg er midten av en trekant ABC, så er tre par linjestykker like lange: AE og AG, CG og CF, og BF og BE. Dette betyr at AE = AG, CG = CF og BF = BE.

Eiendom 2: Sentrum Jeg har også et spesielt forhold til vinklene i trekanten. Det gjør at vinklene ∠BAI og ∠CAI blir like, ∠BCI og ∠ACI blir like, og ∠ABI og ∠CBI blir like. Dette følger vinkelhalveringslinjen.

Eiendom 3: Sentrum Jeg er sentrum av en sirkel som berører alle tre sidene av trekanten, og avstandene fra Jeg til sidene av trekanten (EI, FI, GI) er alle like. Disse avstandene kalles inradii, eller radiusen til insirkelen.

Eiendom 4: Du kan beregne arealet av trekanten ved å bruke semiperimeteren (s) og inradiusen (r). Formelen er A = sr, der A er arealet, s er halvperimeteren (s = (a + b + c)/2, hvor a, b og c er sidelengdene til trekanten), og r er inradius.

Eiendom 5: Sentrum av en trekant forblir alltid innenfor trekanten. I motsetning til ortosenteret, som i noen tilfeller kan være utenfor trekanten, er insenteret alltid innenfor trekantens grenser.

Midt i en trekantformel

Formelen for å finne midten av formelen med 3 koordinater (x₁, og₁), (x₂, og₂), og (x₃, og₃) er:

{(øks ₁ + bx ₂ + cx ₃ )/(a + b + c), (er ₁ + av ₂ + c ₃ )/(a + b + c)}

rekha filmskuespiller

Enkelt sagt, for å få senteret:

• Multipliser x-koordinaten til punkt A med sidelengde a, x-koordinaten til punkt B med sidelengde b, og x-koordinaten til punkt C med sidelengde c. Deretter legger du disse sammen.
• Del resultatet på summen av sidelengdene a, b og c.
• Gjenta den samme prosessen for y-koordinatene, men bruk sidelengdene a, b og c.

Sentrum av en trekantvinkelformel

Formelen for å finne midten av en vinkel i en trekant er som følger:

La, I en trekant er D, F og G punktene der vinkelhalveringslinjene til henholdsvis vinklene A, B og C møter sidene BC, AC og AB.

Vinkelen ∠AIB (hvor I er midten av trekanten) kan beregnes ved å bruke formelen:

∠AIB = 180° – (halvparten av summen av vinklene A og B)

ELLER

∠AIB = 180° – (∠A + ∠B)/2

Hvordan finne midten av en trekant

Det er to metoder for å finne midten av en trekant. I konstruksjonen lokaliserer vi sentrum ved å tegne trekantens vinkelhalveringslinjer. I koordinatgeometri bruker vi en formel for å bestemme sentrum.

Bruke koordinatgeometri : Finn midten av trekanten med koordinatene gitt som: A(2, 2), B(6, 2) og C(4, 5)

I følge gitt informasjon

• (x₁, og₁) = (2, 2)
• (x₂, og₂) = (6, 2)
• (x₃, og₃) = (4, 5)

Vi vet at midten av en trekant er:

I(x, y) = {(øks ₁ + bx ₂ + cx ₃ )/(a + b + c), (er ₁ + av ₂ + c ₃ )/(a + b + c)}

For side a: Avstanden mellom punktene B og C = √((6 – 4)²+ (2 – 5)²) = √8

For side b: Avstanden mellom punktene A og C = √((2 – 4)²+ (2 – 5)²) = √13

For side c: Avstanden mellom punktene A og B = √((6 – 2)²+ (2 – 2)²) = 4

Setter vi verdiene til a, b, c i formelen til sentrum, får vi:

I(x, y) = {(8×2 + 13×5 + 4×4)/(8 + 13 +4), (8×2 + 13×2 + 4×5)/(8 + 13 +4) )}

⇒ I(x, y) = (16 + 78 + 16)/(25), (16 + 26 + 20)/(25)

⇒ I(x, y) = (110/25, 62/25) = (22/5,62/25)

∴ Sentrum av trekanten ABC med koordinatene er (22/5,62/25)

Hvordan konstruere midten av en trekant?

For å konstruere midten av en trekant vil det kreve å bruke et kompass. Bruk et kompass ved å følge trinnene nedenfor:

Trinn 1: Sett den ene enden av kompasset på et toppunkt av trekanten og den andre enden berører den ene siden.

Steg 2: Bruk kompasset til å tegne to buer på to sider av trekanten.

gjør mens java

Trinn 3: Med samme avstand på kompasset lager du to buer inne i trekanten. Disse buene skal krysse hverandre fra der de berører sidene.

Trinn 4: Tegn en linje fra trekantens toppunkt til der de to indre buene krysser hverandre.

Trinn 5: Gjenta de samme trinnene fra det andre toppunktet i trekanten.

Trinn 6: Der de to linjene møtes eller krysser er midten av trekanten.

Midt i rettvinklet trekant

Senteret hvis en Rettvinklet trekant er punktet der alle halveringslinjene i en rettvinklet trekant møtes. Hvis sidene i en rettvinklet trekant måler a, b og c, er radiusen til insirkelen ‘r’ gitt som r = (ab)/(a + b + c). Sentrum av den rette trekanten er illustrert nedenfor:

Midt i en rettvinklet trekant

Centroid, Circumcenter, Incenter, Ortocenter

Centroid, Circumcenter, Incenter og Orthocenter er de fire viktige punktene knyttet til en traingle. En sammenligning mellom Centroid, Circumcenter, Incenter og Orthocenter er tabellert nedenfor:

Sjekk også

• Trekantområdet
• Omkrets av trekanten
• Vinkelsum-egenskapen til en trekant

Eksempler på midten av en trekant

Eksempel 1: Regn ut midten av trekant ABC. AB= 8 cm, BC= 15 cm, CA= 17 cm.

Løsning:

Ved å bruke formelen til Incenter of Triangle = (aA + bB + cC)/(a + b + c)

hvor,

• a = 8
• b = 15
• c = 17

Og vinkler er,

• A = 30°
• B = 60°
• C = 90°

Sette disse verdiene i formelen for å få,

⇒ {(8)(30) + (15)(60) + (17)(90)}/{8 + 15 + 17}

⇒ (240 + 900 + 1530)/40

⇒ 2670/40

⇒ 66,75

Eksempel 2: Jane beregnet arealet av et trekantet felt som 120 kvadratmeter. Omkretsen av feltet er 36 meter. Hvis en sirkel er tegnet inne i trekanten på en måte at den berører hver side av trekanten, hjelp Jane med å beregne inradiusen til trekanten.

Løsning:

I følge den gitte informasjonen,

Areal av trekanten = 120 kvadratmeter

Omkrets av trekanten = 36 meter

Vi vet at arealet av en trekant = r × s

s = semiperimeter

s = p/2 = 36/2 = 18

A = r × s

r = A/s

r = 120/18

r = 6,67 meter

Øv problemer på midten av en trekant

Oppgave 1: Gitt trekant PQR med toppunktene P(1, 2), Q(4, 6) og R(7, 2), finn koordinatene til sentrum.

Oppgave 2: Konstruer en trekant ABC med ∠A = 45°, ∠B = 60° og ∠C = 75°. Bruk konstruksjonsmetoden for å finne sentrum.

Oppgave 3: I trekant LMN, hvis ∠L = 75°, ∠M = 60° og ∠N = 45°, finn koordinatene til sentrum.

Oppgave 4: Konstruer en trekant XYZ med ∠X = 80°, ∠Y = 50° og ∠Z = 50°. Bruk konstruksjonsmetoden for å finne sentrum.

Incenter of a Triangle: Vanlige spørsmål

Hva er midten av en trekant?

Sentrum av en trekant er punktet der halveringslinjene til de indre vinklene skjærer hverandre. Det er like langt fra alle tre sidene av trekanten.

Hva er betydningen av sentrum i en trekant?

Insenteret er betydelig ettersom det er midten av trekantens insirkel, den største sirkelen som passer inn i trekanten. Den har egenskapen til å være like langt fra alle kanter.

Kan Incenter være utenfor trekanten?

Nei, midten er alltid inne i trekanten. Det er samtidighetspunktet for vinkelhalveringslinjen, og per definisjon må det være innenfor trekantens grenser.

Hvordan er Incenter konstruert ved hjelp av et kompass og rett kant?

For å konstruere insenteret, bruk et kompass til å tegne vinkelhalveringslinjer fra hvert toppunkt til motsatt side. Insenteret er punktet der disse halveringslinjene krysser hverandre.

Hva er Incenter Formula?

Formelen for midten av en trekant kan skrives som:

frac{(aA+bB+cC)}{a+b+c}

javascript opplæring

Hva er egenskapene til midten av en trekant?

Senteret har noen nøkkelegenskaper. Det er like langt fra trekantens sider, noe som betyr at avstandene til sidene er like. Det er også skjæringspunktet for vinkelhalveringslinjen, som deler vinklene i to like deler.

Hvordan bestemmes sentrum?

For å bestemme insenteret må du finne hvor vinkelhalveringslinjene krysser hverandre. Dette kan gjøres ved å bruke formelen i midten eller ved å tegne vinkelhalveringslinjene og finne skjæringspunktet deres.

Hva er forskjellen mellom Incentre og Circumcentre?

Hovedforskjellen mellom incenter og circumcenter er deres fokus. Insenteret omhandler vinkelhalveringslinjer og er sentrum av den innskrevne sirkelen, mens circumcenter omhandler vinkelrette halveringslinjer og er sentrum av den omskrevne sirkelen.

Er Incentre og Centroid det samme?

Nei, sentrum og tyngdepunkt er forskjellige. Insenteret er der vinkelhalveringslinjene møtes, mens tyngdepunktet er der medianene krysser hverandre. Medianer forbinder hjørner til midtpunktet på motsatt side.

Er Insenter og Ortosenter det samme?

Nei, insenter og ortosenter er ikke det samme. Insenteret er punktet der vinkelen halverer hverandre, mens ortosenteret involverer høyder - linjer fra hvert toppunkt vinkelrett på motsatt side. De er forskjellige punkter i en trekant.