Regel 2

Hvis LHS og RHS av uttrykkene byttes ut, reverserer ulikheten. Det kalles omvendt egenskap.

• Hvis a> b, så b
• Hvis en en
• Hvis a ≥ b, så b ≤ a
• Hvis a ≤ b, så b ≥ a

Regel 3

Hvis den samme konstanten k legges til eller trekkes fra begge sider av ulikheten, er begge sider av ulikheten like.

• Hvis a> b, så a + k> b + k
• Hvis a> b, så a – k> b – k

Tilsvarende for andre ulikheter.

• Hvis en
• Hvis en
• Hvis a ≤ b, så er a + k ≤ b + k
• Hvis a ≤ b, så a – k ≤ b – k
• Hvis a ≥ b, så a + k ≥ b + k
• Hvis a ≥ b, så a – k ≥ b – k

Retningen til ulikheten endres ikke etter å legge til eller trekke fra en konstant.

Regel 4

Hvis k er en positiv konstant som multipliseres eller divideres med begge sider av ulikheten, så er det ingen endring i retningen til ulikheten.

• Hvis a> b, så ak> bk
• Hvis en
• Hvis a ≤ b, så ak ≤ bk
• Hvis a ≥ b, så ak ≥ bk

Hvis k er en negativ konstant som multipliseres eller divideres med begge sider av ulikheten, blir retningen på ulikheten snudd.

• Hvis a> b, så ak
• Hvis a> b, så ak
• Hvis a ≥ b, så ak ≤ bk
• Hvis a ≤ b, så ak ≥ bk

Regel 5

Kvadraten til ethvert tall er alltid større enn eller lik null.

• en²≥ 0

Regel 6

Å ta kvadratrøtter på begge sider av ulikheten endrer ikke retningen på ulikheten.

• Hvis a> b, så √a> √b
• Hvis en
• Hvis a ≥ b, så √a ≥ √b
• Hvis a ≤ b, så √a ≤ √b

Graf for ulikheter

Ulikheter er enten med en variabel eller to, eller vi har et system av ulikheter, alle kan tegnes til det kartesiske planet hvis det bare inneholder to variabler. Ulikheter i en variabel er plottet på reelle linjer og to variabler er plottet på det kartesiske planet.

Intervallnotasjon for ulikheter

Viktige punkter for å skrive intervaller for ulikheter:

katodestrålerørmonitor

• I tilfelle større enn og lik ( ≥ ) eller mindre enn lik ( ≤ ), sluttverdiene er inkludert, så lukkede eller firkantede parenteser [ ] brukes.
• Ved større enn ( > ) eller mindre enn ( < ), sluttverdiene er ekskludert, så åpne parenteser () brukes.
• For både positiv og negativ uendelig brukes åpne parenteser ().

Følgende tabell representerer intervaller for ulike ulikheter:

Graf for lineære ulikheter med én variabel

Fra følgende tabell kan vi forstå hvordan man plotter ulike lineære ulikheter med én variabel på en reell linje.

Ulikhet	Intervall	Kurve
x> 1	(1, ∞)	Lineære ulikheter med én variabel
x <1	(-∞, 1) offentlig vs privat java
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Graf for lineære ulikheter med to variable

La oss ta et eksempel på lineære ulikheter med to variabler.

Betrakt den lineære ulikheten 20x + 10y ≤ 60, da de mulige løsningene for gitt ulikhet er (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0) ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1) ), (2,2), (3,0), og også alle punktene utover disse punktene er også løsningen på ulikheten.

La oss plotte grafen fra de gitte løsningene.

Det skraverte området i grafen representerer mulige løsninger for den gitte ulikheten.

Les også

• Grafisk løsning av lineære ulikheter i to variabler

Typer ulikheter

Det finnes ulike typer ulikheter som kan klassifiseres som følger:

• Polynomulikheter: Polynomulikheter er ulikheter som kan representeres i form av polynomer. Eksempel- 2x + 3 ≤ 10.
• Absolutte verdiulikheter: Absolutte verdiulikheter er ulikhetene innenfor absoluttverditegnet. Eksempel- |y + 3| ≤ 4.
• Rasjonelle ulikheter: Rasjonelle ulikheter er ulikheter med brøker sammen med variablene. Eksempel- (x + 4) / (x – 5) <5.

Hvordan løse ulikheter

For å løse ulikhetene kan vi bruke følgende trinn:

• Trinn 1: Skriv ulikheten i form av ligningen.
• Steg 2: Løs ligningen og finn røttene til ulikhetene.
• Trinn 3: Representer de oppnådde verdiene på talllinjen.
• Trinn 4: Representer de ekskluderte verdiene også på talllinjen med de åpne sirklene.
• Trinn 5: Finn intervallene fra talllinjen.
• Trinn 6: Ta en tilfeldig verdi fra hvert intervall og legg disse verdiene inn i ulikheten og sjekk om den tilfredsstiller ulikheten.
• Trinn 7: Løsningen for ulikheten er intervallene som tilfredsstiller ulikheten.

Hvordan løse polynomiske ulikheter

Polynomiske ulikheter inkluderer lineære ulikheter, kvadratiske ulikheter, kubiske ulikheter osv. Her skal vi lære å løse lineære og kvadratiske ulikheter.

Løse lineære ulikheter

Lineære ulikheter kan løses som lineære ligninger, men i henhold til ulikhetsregelen. Lineære ulikheter kan løses ved hjelp av enkle algebraiske operasjoner.

Ett eller to-trinns ulikheter

Ett-trinns ulikhet er ulikheter som kan løses i ett trinn.

Eksempel: Løs: 5x <10

Løsning:

⇒ 5x <10 [Deling av begge sider med 5]

⇒ x <2 eller (-∞, 2)

To-trinns ulikhet er ulikheter som kan løses i to trinn.

Eksempel: Løs: 4x + 2 ≥ 10

Løsning:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [Truk 2 fra begge sider]

⇒ 4x ≥ 8 [Deling av begge sider med 4]

⇒ x ≥ 2 eller [2, ∞)

Sammensatte ulikheter

Sammensatte ulikheter er ulikheter som har flere ulikheter atskilt med og eller eller. For å løse sammensatte ulikheter, løs ulikhetene separat, og for den endelige løsningen utfør skjæringspunktet mellom oppnådde løsninger hvis ulikhetene er atskilt med og og utfør foreningen av oppnådde løsninger hvis ulikhetene er atskilt med eller.

Eksempel: Løs: 4x + 6 <10 og 5x + 2 < 12

Løsning:

Løs først 4x + 6 <10

⇒ 4x + 6 <10 [Truk 6 fra begge sider]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 eller (-∞, 1) —–(i)

Andre løse 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [Trekker 2 fra begge sider]

⇒ 5x < 10

np.sammenknytte

⇒ x <2 eller (-∞, 2) ——-(ii)

Fra (i) og (ii) har vi to løsninger x <1 og x < 2.

Vi tar skjæringspunkt for den endelige løsningen da ulikhetene er atskilt med og.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

Den endelige løsningen for gitt forbindelsesulikhet er (-∞, 1).

Les mer

• Sammensatte ulikheter
• Ordproblemer med lineære ulikheter
• Trekantulikhet

Solvw kvadratiske ulikheter

La oss ta et eksempel for å løse absolutte verdiulikheter.

Eksempel: Løs ulikheten: x ² – 7x + 6 ≥ 0

Løsning:

Følgende er trinnene for å løse ulikhet: x²– 7x + 6 ≥ 0

Trinn 1: Skriv ulikheten i form av en ligning:

x²– 7x + 6 = 0

Steg 2: Løs ligningen:

x²– 7x + 6 = 0

x²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1(x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 og x = 1

Fra trinnet ovenfor får vi verdiene x = 6 og x = 1

Trinn 3: Fra verdiene ovenfor er intervallene (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Siden ulikheten er ≥ som inkluderer lik, så vi bruker lukket parentes for de oppnådde verdiene.

Trinn 4: Talllinjerepresentasjon av intervallene ovenfor.

Trinn 5: Ta tilfeldige tall mellom hvert intervall og sjekk om det tilfredsstiller verdien. Hvis det tilfredsstiller, ta med intervall i løsningen.

For intervall (-∞, 1] la tilfeldig verdi være -1.

Setter x = -1 i ulikheten x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (sant)

For intervall [1, 6] la tilfeldig verdi være 2.

Setter x = 0 i ulikheten x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (falsk)

For intervall [6, ∞) la tilfeldig verdi være 7.

Setter x = 7 i ulikheten x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (sant)

Trinn 6: Så, løsningen for den absolutte verdien ulikhet x²– 7x + 6 ≥ 0 er intervallet (-∞, 1] ∪ [6, ∞) ettersom det tilfredsstiller ulikheten som kan plottes på talllinjen som:

Hvordan løse absolutte verdiulikheter

La oss ta et eksempel for å løse absolutte verdiulikheter.

Eksempel: Løs ulikheten: |y + 1| ≤ 2

Løsning:

Følgende er trinnene for å løse ulikhet: |y + 1| ≤ 2

Trinn 1: Skriv ulikheten i form av en ligning:

|y + 1| = 2

Steg 2: Løs ligningen:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 og y + 1 = – 2

y = 1 og y = -3

Fra trinnet ovenfor får vi verdiene y = 1 og y = -3

Trinn 3: Fra verdiene ovenfor er intervallene (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Siden ulikheten er ≤ som inkluderer lik, så bruker vi lukket parentes for de oppnådde verdiene.

Trinn 4: Talllinjerepresentasjon av intervallene ovenfor.

Trinn 5: Ta tilfeldige tall mellom hvert intervall og sjekk om det tilfredsstiller verdien. Hvis det tilfredsstiller, ta med intervall i løsningen.

For intervall (-∞, -3] la tilfeldig verdi være -4.

Setter y = -4 i ulikheten |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (falsk)

For intervall [-3, 1] la tilfeldig verdi være 0.

Setter y = 0 i ulikheten |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (sant)

For intervall [1, ∞) la tilfeldig verdi være 2.

Setter y = 2 i ulikheten |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (falsk)

Trinn 6: Så, løsningen for den absolutte verdien ulikhet |y + 1| ≤ 2 er intervall [-3, -1] da det tilfredsstiller ulikheten som kan plottes på talllinjen som:

Hvordan løse rasjonelle ulikheter

La oss ta et eksempel for å løse rasjonelle ulikheter.

Eksempel: Løs ulikheten: (x + 3) / (x – 1) <2

Løsning:

Følgende er trinnene for å løse ulikhet:

Trinn 1: Skriv ulikheten i form av en ligning: (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

Steg 2: Løs ligningen:

(x + 3) / (x – 1) = 2

ssis veiledning

(x + 3) = 2(x – 1)

x + 3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

Fra trinnet ovenfor får vi verdien x = 5

Trinn 3: Fra verdiene ovenfor er intervallene (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Siden er ulikheten

Siden for x = 1 er ulikheten udefinert, så vi tar åpen parentes for x = 1.

Trinn 4: Talllinjerepresentasjon av intervallene ovenfor.

Trinn 5: Ta tilfeldige tall mellom hvert intervall og sjekk om det tilfredsstiller verdien. Hvis det tilfredsstiller, ta med intervall i løsningen.

For intervall (-∞, 1) la tilfeldig verdi være 0.

Sette x = 0 i ulikheten (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (sant)

For intervall (1, 5) la tilfeldig verdi være 2.

Sette x = 3 i ulikheten (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6 / 2 <2

⇒ 3 <2 (falsk)

For intervall (5, ∞) la tilfeldig verdi være 2.

Setter y = 6 i ulikheten (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (sant)

Trinn 6: Så, løsningen for den absolutte verdien ulikhet (x + 3) / (x – 1) <2 er intervall (-∞, 1) ∪ (5, ∞) ettersom det tilfredsstiller ulikheten som kan plottes på talllinjen som:

Hvordan løse lineær ulikhet med to variabler

La oss ta et eksempel for å løse lineær ulikhet med to variabler.

Eksempel: Løs: 20x + 10y ≤ 60

Løsning:

Tenk på x = 0 og sett den inn i den gitte ulikheten

⇒ 20x + 10y ≤ 60

⇒ 20(0) + 10y ≤ 60

⇒ 10y ≤ 60

⇒ og ≤ 6 ——(i)

Nå, når x = 0, kan y være 0 til 6.

På samme måte tilfredsstiller ulikheten å sette verdier i ulikhet og sjekke den.

For x = 1 kan y være 0 til 4.

For x = 2 kan y være 0 til 2.

For x = 3 kan y være 0.

Den mulige løsningen for gitt ulikhet er (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Systemer av ulikheter

Systemene med ulikheter er settet av to eller flere ulikheter med en eller flere variabler. Systemer av ulikheter inneholder flere ulikheter med en eller flere variabler.

Systemet med ulikheter er av formen:

en_ellevex₁+ a₁₂x₂+ a_{1. 3}x₃…….. + a_1nx_{n 1}

en_tjueenx₁+ a₂₂x₂+ a₂₃x₃…….. + a_2nx_{n 2}

en_n1x₁+ a_n2x₂+ a_n3x₃…….. + a_nnx_{n n}

Grafisk fremstilling av ulikhetssystemer

System av ulikheter er en gruppe av flere ulikheter. Løs først hver ulikhet og plott grafen for hver ulikhet. Skjæringspunktet mellom grafen for alle ulikhetene representerer grafen for ulikhetssystemer.

Tenk på et eksempel,

Eksempel: Plott graf for ulikhetssystemer

• 2x + 3y ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

Løsning:

Graf for 2x + 3y ≤ 6

Det skyggelagte området av grafen representerer 2x + 3y ≤ 6

Graf for x ≤ 3

Skyggelagt område representerer x ≤ 3

Graf for y ≤ 2

Skyggelagt område representerer y ≤ 2

navnekonvensjon java

Graf for gitt system av ulikheter

Skyggelagt område representerer gitt system av ulikheter.

Ulikheter – vanlige spørsmål

Hva er begrepet ulikheter?

Ulikheter er de matematiske uttrykkene der LHS og RHS til uttrykket er ulik.

Hva er symbolene for ulikheter?

Symboler for ulikheter er:>, <, ≥, ≤ og ≠.

Hva er den transitive egenskapen til ulikheter?

Transitiv egenskap til ulikheter sier at hvis a, b, c er tre tall,

• Hvis a> b og b> c, så a> c
• Hvis en
• Hvis a ≥ b og b ≥ c, så a ≥ c
• Hvis a ≤ b og b ≤ c, så a ≤ c