Integrasjon etter deler: Integrasjon av deler er en teknikk som brukes i kalkulus for å finne integralet av produktet av to funksjoner. Det er egentlig en reversering av produktregelen for differensiering.

Å integrere en funksjon er ikke alltid lett noen ganger må vi integrere en funksjon som er multiplum av to eller flere funksjoner i dette tilfellet hvis vi må finne integrasjonen vi må bruke integrasjon etter del konsept, som bruker to produkter av to funksjoner og forteller oss hvordan vi finner integreringen deres.

La oss nå lære om Integrasjon etter deler, dens formel, avledning og andre i detalj i denne artikkelen.

Hva er Integration by Parts?

Integrasjon etter del er teknikken som brukes for å finne integrasjonen av produktet av to eller flere funksjoner der integrasjonen ikke kan utføres ved bruk av vanlige teknikker. Anta at vi har to funksjoner f(x) og g(x) og vi må finne integrasjonen av produktet deres, dvs. ∫ f(x).g(x) dx der det ikke er mulig å løse produktet av dette produktet ytterligere. f(x).g(x).

Denne integrasjonen oppnås ved å bruke formelen:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

hvor f'(x) er den første differensieringen av f(x).

Denne formelen leses som:

Integrasjon av den første funksjonen multiplisert med den andre funksjonen er lik (første funksjon) multiplisert med (integrasjon av andre funksjon) – Integrasjon av (differensiering av første funksjon multiplisert med integrasjon av andre funksjon).

Fra formelen ovenfor kan vi enkelt observere at valg av den første funksjonen og den andre funksjonen er svært viktig for suksessen til denne formelen, og hvordan vi velger den første funksjonen og den andre funksjonen diskuteres videre i denne artikkelen.

Hva er delvis integrasjon?

Delvis integrasjon, også kjent som integrering av deler, er en teknikk som brukes i kalkulus for å evaluere integralen til et produkt av to funksjoner. Formelen for delvis integrasjon er gitt av:

∫ u dv = uv – ∫ v du

hvor u og v er differensierbare funksjoner av x. Denne formelen lar oss forenkle integralet til et produkt ved å dele det ned i to enklere integraler. Tanken er å velge u og dv slik at det nye integralet på høyre side er lettere å evaluere enn det originale på venstre side. Denne teknikken er spesielt nyttig når du arbeider med produkter av funksjoner som ikke har enkle antiderivater.

Historie om delvis integrasjon

Integrasjon etter delkonsept ble først foreslått av den berømte Brook Taylor i sin bok i 1715. Han skrev at vi kan finne integrasjonen av produktet av to funksjoner hvis differensieringsformler eksisterer. Noen viktige funksjoner har ikke integrasjonsformler, og integreringen deres oppnås ved å bruke integrasjon ved å ta dem som et produkt av to funksjoner. For eksempel kan ikke ∫ln x dx beregnes ved bruk av vanlige integreringsteknikker. Men vi kan integrere det ved å bruke Integration by part-teknikk og ta det som et produkt av to funksjoner, det vil si ∫1.ln x dx.

Formel for integrering etter deler

Formel for integrering etter deler er formelen som hjelper oss å oppnå integrering av produktet av to eller flere funksjoner. Anta at vi må integrere produktet av to funksjoner som

∫u.v dx

hvor u og v er funksjonene til x, kan dette oppnås ved å bruke,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Rekkefølgen for å velge den første funksjonen og den andre funksjonen er veldig viktig, og konseptet som brukes i de fleste tilfeller for å finne den første funksjonen og den andre funksjonen er ILATE-konseptet.

Ved å bruke formelen ovenfor og ILATE-konseptet kan vi enkelt finne integrasjonen av produktet av to funksjoner. Integrasjonen etter delformel er vist i bildet nedenfor,

Utledning av integrasjon etter delers formel

Integration By Parts Formula er utledet ved å bruke produktregelen om differensiering. Anta at vi har to funksjoner i og i og x så oppnås derivatet av produktet deres ved å bruke formelen,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Nå for å utlede integrasjonsformelen etter deler ved å bruke produktregelen for differensiering.

Omorganisere vilkårene

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Integrering av begge sider med hensyn til x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

forenkling,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Dermed er integrasjon etter deler-formelen utledet.

ILATE-regel

ILATE-regelen forteller oss hvordan vi velger den første funksjonen og den andre funksjonen mens vi løser integrasjonen av produktet av to funksjoner. Anta at vi har to funksjoner av x u og v og vi må finne integreringen av produktet deres, så velger vi den første funksjonen og ved ILATE-regelen.

ILATE full form er diskutert i bildet nedenfor,

ILATE-regel for delvis integrasjon

ILATE-reglene gir oss hierarkiet for å ta den første funksjonen, dvs. hvis i det gitte produktet av funksjonen, er en funksjon en logaritmisk funksjon og en annen funksjon er en trigonometrisk funksjon. Nå tar vi den logaritmiske funksjonen som den første funksjonen som den kommer ovenfor i hierarkiet til ILATE-regelen på samme måte, vi velger den første og andre funksjonen deretter.

MERK: Det er ikke alltid hensiktsmessig å bruke ILATE-regelen noen ganger andre regler brukes også for å finne den første funksjonen og den andre funksjonen.

Hvordan finne integrasjon etter del?

Integrasjon etter del brukes til å finne integrasjonen av produktet av to funksjoner. Vi kan oppnå dette ved å bruke trinnene som er diskutert nedenfor,

Anta at vi må forenkle ∫uv dx

Trinn 1: Velg den første og den andre funksjonen i henhold til ILATE-regelen. Anta at vi tar u som den første funksjonen og v som den andre funksjonen.

Steg 2: Differensier u(x) med hensyn til x, dvs. Vurder du/dx.

Trinn 3: Integrer v(x) med hensyn til x, dvs. Vurder ∫v dx.

Bruk resultatene oppnådd i trinn 1 og trinn 2 i formelen,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

Trinn 4: Forenkle formelen ovenfor for å få den nødvendige integrasjonen.

Gjentatt integrering av deler

Gjentatt integrasjon av deler er en utvidelse av integrasjon ved deler-teknikk i kalkulus. Den brukes når du har et produkt av funksjoner som krever integrasjon flere ganger for å finne antideriverten. Prosessen innebærer å bruke integrasjon av deler-formelen iterativt til du når et punkt der den resulterende integralen er lett å evaluere eller har en kjent form.

Når du bruker denne formelen gjentatte ganger, vil du starte med et integral som involverer et produkt av to funksjoner, og deretter bruke integrasjon etter deler for å bryte det ned i enklere integraler. Du vil deretter fortsette denne prosessen på de resulterende integralene til du kommer til et punkt hvor ytterligere applikasjoner er unødvendige eller hvor integralene blir håndterbare.

Her er et trinn-for-trinn-eksempel på hvordan gjentatt integrering av deler fungerer:

1. Start med et integral av et produkt av to funksjoner: ∫ u dv.
2. Bruk formelen for integrering etter deler for å få: uv – ∫ v du.
3. Hvis det nye integralet oppnådd på høyre side fortsatt involverer et produkt av funksjoner, bruk integrering med deler igjen for å bryte det ned ytterligere.
4. Fortsett denne prosessen til du får en enklere integral som enkelt kan evalueres eller en som samsvarer med en kjent integralform.

Tabellintegrasjon etter deler

Tabellintegrasjon, også kjent som tabellmetoden eller metoden for tabellintegrasjon, er en alternativ teknikk for å evaluere integraler som involverer gjentatt bruk av integrasjon av deler. Denne metoden er spesielt nyttig når du arbeider med integraler der produktet av funksjoner kan integreres flere ganger for å oppnå et enkelt resultat.

Den tabellformede metoden organiserer den gjentatte integreringsprosessen etter deler til en tabell, noe som gjør det lettere å holde styr på begrepene og forenkle integralet effektivt. Slik fungerer den tabellformede metoden:

1. Begynn med å skrive ned funksjonene som er involvert i integralet i to kolonner: en for funksjonen for å differensiere (u) og en annen for funksjonen for å integrere (dv).
   • Start med funksjonen for å integrere (dv) i venstre kolonne og funksjonen for å differensiere (u) i høyre kolonne.
2. Fortsett å differensiere funksjonen i u-kolonnen til du når null eller en konstant. På hvert trinn, integrer funksjonen i dv-kolonnen til du kommer til et punkt hvor ytterligere integrasjon ikke er nødvendig.
3. Multipliser leddene diagonalt og alternerer tegnene (+ og -) for hvert ledd. Oppsummer disse produktene for å finne resultatet av integrasjonen.

Her er et eksempel for å illustrere tabellbasert integrasjonsmetode :

La oss evaluere integralet ∫x sin(x) dx.

• Trinn 1: Lag en tabell med to kolonner for u (funksjon for å skille) og dv (funksjon for å integrere):

• Steg 2: Differentier funksjonen i u-kolonnen og integrer funksjonen i dv-kolonnen:

• Trinn 3: Multipliser begrepene diagonalt og alternerer tegnene:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

Så resultatet av integralet ∫x sin(x) dx er -x cos(x) + sin(x).

Tabellintegrasjonsmetoden er spesielt nyttig når man arbeider med integraler som involverer funksjoner som gjentar seg ved differensiering eller integrasjon, noe som muliggjør en systematisk og organisert tilnærming til å finne antiderivativet.

Applikasjoner for integrering etter deler

Integration by Parts har ulike applikasjoner i integralregning den brukes til å finne integrasjonen av funksjonen der vanlige integrasjonsteknikker mislykkes. Vi kan enkelt finne integrasjonen av inverse og logaritmiske funksjoner ved å bruke konseptet integrasjon etter deler.

Vi vil finne integrasjonen av den logaritmiske funksjonen og Arctan-funksjonen ved å bruke integrasjon etter delregel,

Integrasjon av logaritmisk funksjon (log x)

Integrasjon av invers logaritmisk funksjon (log x) oppnås ved å bruke formelen Integration by part. Integrasjonen er diskutert nedenfor,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Tar logg x som den første funksjonen og 1 som den andre funksjonen.

Bruke ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

hvordan åpne skjulte apper på Android

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Som er den nødvendige integrasjonen av logaritmisk funksjon.

Integrasjon av invers trigonometrisk funksjon (tan^-1x)

Integrasjon av invers trigonometrisk funksjon (tan^-1x) oppnås ved å bruke formelen Integration by part. Integrasjonen er diskutert nedenfor,

∫ så^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

Blir brun^-1x som den første funksjonen og 1 som den andre funksjonen.

Bruke ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = brun^-1x.∫1.dx – ∫((tan^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = brun^-1x. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = x. så^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫tan^-1x.dx = x. så^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Som er den nødvendige integrasjonen av invers trigonometrisk funksjon.

Virkelige applikasjoner for delvis integrasjon

Noen av de vanlige virkelige anvendelsene av delvis integrasjon er:

• Finne antiderivater
  • I ingeniørfag og fysikk brukes delvis integrasjon for å finne antiderivater av funksjoner som representerer fysiske mengder. For eksempel, i mekanikk, brukes det til å utlede bevegelsesligninger fra ligningene for kraft og akselerasjon.
• Wallis produkt
  • Wallis-produktet, en uendelig produktrepresentasjon av pi, kan utledes ved bruk av delvis integrasjonsteknikker. Dette produktet har applikasjoner innen felt som tallteori, sannsynlighetsteori og signalbehandling.
• Gammafunksjonsidentitet
  • Gammafunksjonen, som utvider faktorialfunksjonen til komplekse tall, har ulike anvendelser innen matematikk, fysikk og ingeniørfag. Delvis integrasjon brukes til å bevise identiteter som involverer gammafunksjonen, som er avgjørende på områder som sannsynlighetsteori, statistisk mekanikk og kvantemekanikk.
• Bruk i harmonisk analyse
  • Delvis integrasjon spiller en betydelig rolle i harmonisk analyse, spesielt i Fourier-analyse. Det brukes til å utlede egenskaper til Fourier-transformasjoner, for eksempel konvolusjonsteoremet og egenskapene til Fourier-rekker. Disse resultatene brukes i felt som signalbehandling, bildeanalyse og telekommunikasjon.

Integrasjon av delers formler

Vi kan utlede integrasjonen av ulike funksjoner ved å bruke integrasjon etter deler-konseptet. Noen av de viktige formlene som er utledet ved hjelp av denne teknikken er

• ∫ og^x(f(x) + f'(x)).dx = e^xf(x) + C
• ∫√(x²+ a²).dx = ½ . x.√(x²+ a²)+ a²/2. log|x + √(x²+ a²)| + C
• ∫√(x²– a²).dx =½ . x.√(x²– a²) – a²/2. log|x +√(x²– a²) | C
• ∫√(a²– x²).dx = ½ . x.√(a²– x²) + a²/2. uten^-1x/a + C

Eksempler på integrering etter deler

Eksempel 1: Finn ∫ e ^x x dx.

Løsning:

La jeg = ∫ e^xx dx

Velge u og v ved å bruke ILATE-regelen

u = x
v = e^x

Å differensiere u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^xdx = e^x

Ved å bruke formelen Integration by Part,

⇒ I = ∫ e^xx dx

⇒ I = x ∫e^xdx − ∫1 (∫ f.eks^xdx) dx

⇒ I = xe^x- og^x+ C

⇒ I = e^x(x − 1) + C

Eksempel 2: Regn ut ∫ x sin x dx.

Løsning:

La I = ∫ x sin x dx

Velge u og v ved å bruke ILATE-regelen

u = x
v = sin x

Å differensiere u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Ved å bruke formelen Integration by Part,

⇒ I = ∫ x sin x dx

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ I = − x cos x + sin x + C

Eksempel 3: Finn ∫ sin ⁻¹ x dx.

Løsning:

La jeg= ∫ synde⁻¹x dx

⇒ I = ∫ 1.sin⁻¹x dx

Velge u og v ved å bruke ILATE-regelen

u = synd⁻¹x
v = 1

Å differensiere u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(sin⁻¹x )/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

Ved å bruke formelen Integration by Part,

⇒ I = ∫ synd⁻¹x dx

⇒ I = uten⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ I = x sin⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²) )dx

La, t = 1 − x²

Å skille begge sider

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ I = ∫ synd⁻¹x dx = x sin⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ I = x sin⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ I = x sin⁻¹x + t^1/2+ C

⇒ I = x sin⁻¹x + √(1 − x²) + C

Øv problemer på integrering etter deler

1. Integrer xe ^x

2. Integrer x sin(x)

3. Integrer x ² ln(x)

4. Integrer e ^x cos(x)

5. Integrer ln(x)

Vanlige spørsmål om integrering etter deler

Hva er integrering etter deler?

Integrasjon etter deler er teknikken for å finne integrasjonen av produktet av de to funksjonene der de normale integrasjonsteknikkene mislykkes. Integrasjon med delformelen er,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Hva er formelen for integrering etter deler?

For to funksjoner f(x) og g(x) er integrasjonsformelen for del,

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

hvor f'(x) er differensiering av f(x).

Hvordan utlede integrasjon ved delformel?

Integrasjon etter delformel er utledet ved å bruke produktregelen for differensiering.

Hvorfor bruker vi integrasjon etter deler-formel?

Integrasjon etter delformel brukes for å finne integreringen av funksjonen når de normale differensieringsteknikkene mislykkes. Vi kan finne integrasjonen av inverse trigonometriske funksjoner og logaritmiske funksjoner ved å bruke integrasjon etter delformel

Hva er anvendelsen av integrering av deler?

Integrasjon etter del har ulike applikasjoner og den grunnleggende anvendelsen av den er at den brukes til å finne integrasjonen av funksjonen når funksjonen er gitt som et produkt av funksjonene som ikke kan forenkles ytterligere. For eksempel oppnås ∫ f(x).g(x) dx ved å bruke Integration by parts.