Integrering er prosessen med å summere opp små verdier av en funksjon i grenseområdet. Det er akkurat det motsatte av differensiering. Integrasjon er også kjent som anti-derivat. Vi har forklart integrasjonen av trigonometriske funksjoner i denne artikkelen nedenfor.

Nedenfor er et eksempel på integrasjon av en gitt funksjon.

f.eks. Tenk på en funksjon, f(y) = y².

Denne funksjonen kan integreres som:

∫y²du =frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Imidlertid, en ubestemt integral er en funksjon som tar anti-deriverten av en annen funksjon. Det er representert som et integrert symbol (∫), en funksjon og en derivert av funksjonen på slutten. Det ubestemte integralet er en enklere måte å symbolisere et anti-derivat på.

La oss lære hva som er integrasjon matematisk, integreringen av en funksjon f(x) er gitt av F(x) og den er representert ved:

∫f(x)dx = F(x) + C

Her er R.H.S. av ligningen betyr integral av f(x) med hensyn til x, F(x) kalles anti-derivert eller primitiv, f(x) kalles integranden, dx kalles integreringsmiddel, C kalles integrasjonskonstant eller vilkårlig konstant og x er variabelen for integrering.

Noen viktige integraler av trigonometriske funksjoner

Følgende er listen over noen viktige formler for ubestemte integraler på grunnleggende trigonometriske funksjoner å huske som følger:

• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sek²x dx = tan x + C
• ∫ cosec²x dx = -seng x + C
• ∫ sek x tan x dx = sek x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = ln | sek x | +C
• ∫ barneseng x dx = ln | sin x | + C
• ∫ sek x dx = ln | sek x + tan x | + C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – sprinkelseng x | + C

Der dx er den deriverte av x, C er integrasjonskonstanten og ln representerer logaritme av funksjonen innenfor modul (| |).

Vanligvis løses problemene med ubestemte integraler basert på trigonometriske funksjoner ved substitusjonsmetoden. Så la oss diskutere mer om integrasjon etter substitusjonsmetode som følger:

Integrasjon ved substitusjon

I denne metoden integrering ved substitusjon , et gitt integral transformeres til en enkel form for integral ved å erstatte den uavhengige variabelen med andre. La oss vurdere et eksempel for bedre forståelse.

Eksempel: Forenkle ∫ 3x ² synd (x ³ ) dx.

Svar:

La jeg = ∫ 3x²synd (x³) dx.

For å evaluere det gitte integralet lar vi erstatte enhver variabel med en ny variabel som:

La x³være t for det gitte integralet.

Deretter er dt = 3x²dx

Derfor,

I = ∫ 3x²synd (x³) dx = ∫ sin (x³) (3x²dx)

Erstatt t med x³og dt for 3x²dx i integralet ovenfor.

I = ∫ sin (t) (dt)

stjernetopologi

Som ∫ sin x dx = -cos x + C, altså

I = -cos t + C

Igjen, bytt tilbake x³for t i uttrykket som:

I = ∫ 3x ² synd (x ³ ) dx = -cos x ³ + C

Som er den nødvendige integralen.

Derfor er den generelle formen for integrasjon ved substitusjon:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

Hvor t = g(x)

Vanligvis er metoden for integrasjon ved substitusjon ekstremt nyttig når vi gjør en substitusjon for en funksjon hvis deriverte også er tilstede i integranden. Ved å gjøre det forenkles funksjonen og deretter kan de grunnleggende integrasjonsformlene brukes til å integrere funksjonen.

I kalkulus er integrasjon etter substitusjonsmetode også kjent som Reverse Chain Rule eller U-Substitution Method. Vi kan bruke denne metoden til å finne en integralverdi når den er satt opp i spesialskjemaet. Det betyr at det gitte integralet har formen:

Les mer,

• Regning i matematikk
• Integraler
• Integralregning
• Differensiering av trigfunksjoner
• Trigonometriske ligninger

Eksempler på problemer med integrering av trigonometriske funksjoner

Oppgave 1: Bestem integralet til følgende funksjon: f(x) = cos ³ x.

Løsning:

La oss vurdere integralet til den gitte funksjonen som,

hva min skjermstørrelse

I = ∫ cos³x dx

Det kan skrives om som:

I = ∫ (cos x) (cos²x) dx

Bruke trigonometrisk identitet; cos²x = 1 – synd²x, vi får

I = ∫ (cos x) (1 – sin²x) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x sin²x dx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin²x dx

Som ∫ cos x dx = sin x + C,

Dermed er I = sin x – ∫ sin²x cos x dx . . . (1)

La, sin x = t

⇒ cos x dx = dt.

Erstatt t for sin x og dt for cos x dx i andre ledd i integralet ovenfor.

I = sin x – ∫ t²dt

⇒ I = sin x – t³/3 + C

Igjen, bytt tilbake sin x for t i uttrykket.

Derfor, ∫ cos ³ x dx = sin x – sin ³ x / 3 + C.

Oppgave 2: Hvis f(x) = sin ² (x) cos ³ (x) bestem deretter ∫ sin ² (x) cos ³ (x) dx.

Løsning:

La oss vurdere integralet til den gitte funksjonen som,

I = ∫sin²(x) cos³(x) dx

Bruke trigonometrisk identitet; cos²x = 1 – synd²x, vi får

I = ∫sin²x (1 – synd²x) cos x dx

La sin x = t da,

⇒ dt = cos x dx

Erstatt disse i integralet ovenfor som,

I = ∫ t²(1 – t²) dt

⇒ I = ∫ t²– t⁴dt

⇒ I = t³/ 3 – t⁵/ 5 + C

Bytt tilbake verdien av t i integralet ovenfor som,

Derfor er jeg = synd ³ x / 3 – uten ⁵ x / 5 + C.

Oppgave 3: La f(x) = sin ⁴ (x) finn deretter ∫ f(x)dx. dvs. ∫ synd ⁴ (x) dx.

Løsning:

La oss vurdere integralet til den gitte funksjonen som,

I = ∫sin⁴(x) dx

⇒ I = ∫ (uten²(x))²dx

Bruke trigonometrisk identitet; synd²(x) = (1 – cos (2x)) / 2, vi får

I = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2}²dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos²(2x)- 2 cos2x) dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos²(2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + sin 4x / 8 – sin 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Derfor, ∫ synd ⁴ (x) dx = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

char tostring java

Oppgave 4: Finn integrasjonen av old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

Løsning:

La oss vurdere integralet til den gitte funksjonen som,

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

La t = brun^-1x . . . (1)

Skil nå begge sider med hensyn til x:

dt = 1 / (1+x²) dx

Derfor blir det gitte integralet:

I = ∫ e^tdt

⇒ I = e^t+ C. . . (2)

gimp sletter bakgrunn

Erstatt verdien av (1) i (2) som:

⇒I = e^{tan^{-1}x} + C

Som er den nødvendige integrasjonen for den gitte funksjonen.

Oppgave 5: Finn integralet til funksjonen f (x) definert som,

f(x) = 2x cos (x ² – 5) dx

Løsning:

La oss vurdere integralet til den gitte funksjonen som,

I = ∫ 2x cos (x²– 5) dx

La (x²– 5) = t . . . (1)

Skil nå begge sider med hensyn til x som,

2x dx = dt

Ved å erstatte disse verdiene i integralet ovenfor,

I = ∫ cos (t) dt

⇒ I = sin t + C . . . (2)

Erstatt verdiligningen (1) i ligning (2) som,

⇒ I = synd (x²– 5) + C

Dette er den nødvendige integrasjonen for den gitte funksjonen.

Oppgave 6: Bestem verdien av det gitte ubestemte integralet, I = ∫ barneseng (3x +5) dx.

Løsning:

Det gitte integralet kan skrives som,

I = ∫ barneseng (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx

La, t = sin(3x + 5)

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

Dermed,

I = ∫ dt / 3 sin t

⇒ I = (1 / 3) ln | t | + C

Erstatt t med sin (3x+5) i uttrykket ovenfor.

I = (1 / 3) ln | sin (3x+5) | + C

Dette er den nødvendige integrasjonen for den gitte funksjonen.

Integrasjon av trigonometriske funksjoner – vanlige spørsmål

Hva er integreringen av en trigonometrisk funksjon?

Integreringen av trigonometriske funksjoner, som navnet antyder, er prosessen med å beregne integrasjonen eller antideriverten av trigonometriske funksjoner. Dette er den omvendte prosessen med differensiering av trigonometriske funksjoner.

Hva er grunnleggende trigonometriske funksjoner?

De grunnleggende trigonometriske funksjonene er:

rudyard kipling hvis forklaring

• sinus (uten),
• cosinus (cos),
• tangent (tan),
• cotangens (albue),
• secant (sek), og
• cosecant (csc).

Hvordan integrerer du sinus (sin) og cosinus (cos) funksjoner?

For å integrere sinus- og cosinusfunksjonene kan vi bruke følgende formler:

• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Hvor C er integrasjonens konstant.

Hva er integreringen av den Tangent (tan) trigonometriske funksjonen?

Integralet til tangentfunksjonen er gitt som følger:

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C

Hvor,

• ln representerer den naturlige logaritmen, og
• C er integrasjonens konstant.

Hvordan finne integralet til Secant (Sec) trigonometrisk funksjon?

Integralet til sekantfunksjonen er gitt som:

∫ sek(x) dx = ln|sek(x) + tan(x)| + C

Hvor,

• ln representerer den naturlige logaritmen, og
• C er integrasjonens konstant.

Hva er integreringen av den trigonometriske funksjonen for cotangens (seng)?

Integralet av cotangensfunksjonen kan beregnes ved å bruke følgende formel:

∫ barneseng(x) dx = ln|sin(x)| + C

Hvor,

• ln representerer den naturlige logaritmen, og
• C er integrasjonens konstant.

Hvordan finne integralet til Cosecant-funksjonen (cosec)?

Integralet til cosecant-funksjonen er gitt som:

∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – sprinkelseng x | + C

Hvor,

• ln representerer den naturlige logaritmen, og
• C er integrasjonens konstant.