logo

TechCodeview

Inverse trigonometriske identiteter

Inverse trigonometriske identiteter: I matematikk er inverse trigonometriske funksjoner også kjent som arcus-funksjoner eller anti-trigonometriske funksjoner. De inverse trigonometriske funksjonene er de inverse funksjonene til grunnleggende trigonometriske funksjoner, dvs. sinus, cosinus, tangens, cosecant, sekant og cotangens. Den brukes til å finne vinklene med et hvilket som helst trigonometrisk forhold. Inverse trigonometriske funksjoner brukes vanligvis i felt som geometri, ingeniørfag osv. Representasjonen av inverse trigonometriske funksjoner er:

Hvis a = f(b), så er den inverse funksjonen



b = f-1(en)

java har neste

Eksempler på inverse inverse trigonometriske funksjoner er synd-1x, for-1x, altså-1x osv.

Innholdsfortegnelse



Domene og rekkevidde av inverse trigonometriske identiteter

Tabellen nedenfor viser noen trigonometriske funksjoner med deres domene og rekkevidde.

Funksjon Domene Område
y = uten-1x[-elleve][-p/2, p/2]
y = cos-1x[-elleve][0, p]
y = cosec-1x R – (-1,1)[-π/2,π/2] – {0}
y = sek-1x R - (-elleve)[0, π] – {π/2}
y = så-1x R (-p/2, p/2)
y = barneseng-1x R (0, p)

Egenskaper til inverse trigonometriske funksjoner

Følgende er egenskapene til inverse trigonometriske funksjoner:

Eiendom 1:



  1. uten-1(1/x) = cosec-1x, for x ≥ 1 eller x ≤ -1
  2. cos-1(1/x) = sek-1x, for x ≥ 1 eller x ≤ -1
  3. så-1(1/x) = barneseng-1x, for x> 0

Eiendom 2:

  1. uten-1(-x) = -sin-1x, for x ∈ [-1 , 1]
  2. så-1(-x) = -brun-1x, for x ∈ R
  3. cosec-1(-x) = -cosec-1x, for |x| ≥ 1

Eiendom 3

  1. cos-1(-x) = π – cos-1x, for x ∈ [-1 , 1]
  2. sek-1(-x) = π – sek-1x, for |x| ≥ 1
  3. barneseng-1(-x) = π – barneseng-1x, for x ∈ R

Eiendom 4

  1. uten-1x + cos-1x = π/2, for x ∈ [-1,1]
  2. så-1x + barneseng-1x = π/2, for x ∈ R
  3. cosec-1x + sek-1x = π/2 , for |x| ≥ 1

Eiendom 5

  1. så-1x + så-1y = så-1( x + y )/(1 – xy), for xy <1
  2. så-1x – altså-1y = så-1(x – y)/(1 + xy), for xy> -1
  3. så-1x + så-1y = π + tan-1(x + y)/(1 – xy), for xy>1; x, y>0

Eiendom 6

  1. 2tan-1x = synd-1(2x)/(1 + x2), for |x| ≤ 1
  2. 2tan-1x = cos-1(1 – x2)/(1 + x2), for x ≥ 0
  3. 2tan-1x = så-1(2x)/(1 – x2), for -1

Identiteter til invers trigonometrisk funksjon

Følgende er identitetene til inverse trigonometriske funksjoner:

  1. uten-1(sin x) = x gitt -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. cos-1(cos x) = x gitt 0 ≤ x ≤ π
  3. så-1(tan x) = x gitt -π/2
  4. uten (uten-1x) = x gitt -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos(cos-1x) = x gitt -1 ≤ x ≤ 1
  6. så så-1x) = x gitt x ∈ R
  7. cosec(cosec-1x) = x gitt -1 ≤ x ≤ ∞ eller -∞
  8. sek(sek-1x) = x gitt 1 ≤ x ≤ ∞ eller -∞
  9. barneseng (seng-1x) = x gitt -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos-1x = cos-1(2x2- 1)
  14. 2sin-1x = synd-12x√(1 – x2)
  15. 3sin-1x = synd-1(3x – 4x3)
  16. 3cos-1x = cos-1(4x3– 3x)
  17. 3tan-1x = så-1((3x – x3/1 – 3x2))
  18. uten-1x + sin-1y = uten-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
  19. uten-1x – synd-1y = uten-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
  20. cos-1x + cos-1y = cos-1[xy – √{(1 – x2)(1 – og2)}]
  21. cos-1x – cos-1y = cos-1[xy + √{(1 – x2)(1 – og2)}
  22. så-1x + så-1y = så-1(x + y/1 – xy)
  23. så-1x – altså-1y = så-1(x – y/1 + xy)
  24. så-1x + så-1og +tan-1z = så-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Folk ser også på:

Eksempelproblemer på inverse trigonometriske identiteter

Spørsmål 1: Prøv uten -1 x = sek -1 1/√(1-x 2 )

Løsning:

La uten-1x = y

⇒ sin y = x , (siden sin y = vinkelrett/hypotenusa ⇒ cos y = √(1- vinkelrett2)/hypotenuse )

⇒ cos y = √(1 – x2), her hypotenuse = 1

⇒ sek y = 1/cos y

⇒ sek y = 1/√(1 – x2)

⇒ y = sek-11/√(1 – x2)

⇒ uten-1x = sek-11/√(1 – x2)

Derfor bevist.

Spørsmål 2: Prøv det -1 x = cosec -1 √(1 + x 2 )/x

Løsning:

La det være-1x = y

⇒ tan y = x, vinkelrett = x og base = 1

⇒ sin y = x/√(x2+ 1), (siden hypotenusa = √(vinkelrett2+ base2) )

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x2+ 1)/x

⇒ y = cosec-1√(x2+ 1)/x

⇒ altså-1x = cosec-1√(x2+ 1)/x

Derfor bevist.

Spørsmål 3: Vurder deg selv som -1 x)

Løsning:

La cos-1x = y

⇒ cos y = x , base = x og hypotenusa = 1 derfor sin y = √(1 – x2)/1

⇒ tan y = sin y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x2)/x

⇒ y = så-1√(1 – x2)/x

⇒ cos-1x = så-1√(1 – x2)/x

Derfor, tan(cos-1x) = tan(tan-1√(1 – x2)/x ) = √(1 – x2)/x.

Spørsmål 4: så -1 √(sin x) + barneseng -1 √(sin x) = y. Finn cos og.

Løsning:

Vi kjenner den brunfargen-1x + barneseng-1x = /2 derfor sammenligner vi denne identiteten med ligningen gitt i spørsmålet får vi y = π/2

Dermed er cos y = cos π/2 = 0.

Spørsmål 5: så -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)brun -1 x, x> 0. Løs for x.

Løsning:

så-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2)brun-1x

⇒ 2brun-1(1 – x)/(1 + x) = brun-1x …(1)

Det vet vi, 2tan-1x = så-12x/(1 – x2).

Derfor kan LHS av ligning (1) skrives som

så-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]2}]

= så-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)2– (1 – x)2}]

= så-1[ 2(1 – x2)/(4x)]

= så-1(1 – x2)/(2x)

Siden LHS = RHS derfor

så-1(1 – x2)/(2x) = brun-1x

⇒ (1 – x2)/2x = x

⇒ 1 – x2= 2x2

⇒ 3x2= 1

⇒ x = ± 1/√3

Siden x må være større enn 0, er x = 1/√3 det akseptable svaret.

Spørsmål 6: Prøv det -1 √x = (1/2)cos -1 (1 – x)/(1 + x)

Løsning:

La det være-1√x = y

⇒ tan y = √x

⇒ altså2y = x

Derfor,

RHS = (1/2)cos-1(1- så2y)/(1 + brun2og)

= (1/2)cos-1(cos2og uten2y)/(cos2og + uten2og)

= (1/2)cos-1(cos2og uten2og)

= (1/2)cos-1(koster 2 år)

= (1/2)(2 år)

= og

= så-1√x

= LHS

Derfor bevist.

Spørsmål 7: så -1 (2x)/(1 – x 2 ) + barneseng -1 (1 – x 2 )/(2x) = π/2, -1

Løsninger:

så-1(2x)/(1 – x2) + barneseng-1(1 – x2)/(2x) = π/2

⇒ altså-1(2x)/(1 – x2) + så-1(2x)/(1 – x2) = π/2

⇒ 2brun-1(2x)/(1 – x2) = ¸/2

⇒ altså-1(2x)/(1 – x2) = ¸/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = brun ¸/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = 1

⇒ 2x = 1 – x2

⇒ x2+ 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(22– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 eller x = -1 – √2

Men i henhold til spørsmålet x ∈ (-1, 1) er derfor løsningsmengden for den gitte ligningen x ∈ ∅.

Spørsmål 8: så -1 1/(1 + 1,2) + brun -1 1/(1 + 2,3) + … + så -1 1/(1 + n(n + 1)) = brun -1 x. Løs for x.

Løsning:

så-11/(1 + 1,2) + brun-11/(1 + 2,3) + … + brun-11/(1 + n(n + 1)) = brun-1x

⇒ altså-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + brun-1(3 – 2)/(1 + 2.3) + … + so-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = brun-1x

⇒ (så-12 – altså-11) + (så-13 - så-12) + … + (så-1(n + 1) – altså-1n) = så-1x

⇒ altså-1(n + 1) – altså-11 = altså-1x

⇒ altså-1n/(1 + (n + 1).1) = brun-1x

⇒ altså-1n/(n + 2) = brun-1x

⇒ x = n/(n + 2)

Spørsmål 9: Hvis 2tan -1 (uten x) = så -1 (2sek x) løs deretter for x.

Løsning:

2tan-1(uten x) = så-1(2 sek x)

⇒ altså-1(2sin x)/(1 – sin2x) = så-1(2/cos x)

⇒ (2sin x)/(1 – sin2x) = 2/cos x

⇒ sin x/cos2x = 1/cos x

⇒ sin x cos x = cos2x

⇒ sin x cos x – cos2x = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 eller sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 eller tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 eller x = π/4

Men ved x = π/2 eksisterer ikke den gitte ligningen, derfor er x = π/4 den eneste løsningen.

Spørsmål 10: Bevis den barnesengen -1 [ {√(1 + sin x) + √(1 – sin x)}/{√(1 + sin x) – √(1 – sin x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Løsning:

La derfor x = 2y

LHS = barneseng-1[{√(1+sin 2y) + √(1-sin 2y)}/{√(1+sin 2y) – √(1-sin 2y)}]

= barneseng-1[{√(cos2og + uten2y + 2sin y cos y) + √(cos2og + uten2y – 2sin y cos y)}/{√(cos2og + uten2y + 2sin y cos y) – √(cos2og + uten2y – 2sin og cos y)} ]

= barneseng-1[{√(cos y + sin y)2+ √(cos y – sin y)2} / {√(cos y + sin y)2– √(cos og – sin og)2}]

= barneseng-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= barneseng-1(2cos y)/(2sin y)

= barneseng-1(seng og)

= og

= x/2.

Øv problemer på inverse trigonometriske identiteter

Oppgave 1: Løs for x i ligningen sin -1 (x) + cos -1 (x) = π/2

Oppgave 2: Bevis den brunfargen -1 (1) + så -1 (2) + så -1 (3) = s

Oppgave 3: Vurder cos⁡(uten -1 (0,5))

Problem 4: Hvis brun -1 (x) + brun -1 (2x) = π/4, finn deretter x

Vanlige spørsmål om inverse trigonometriske identiteter

Hva er inverse trigonometriske funksjoner?

Inverse trigonometriske funksjoner er de inverse funksjonene til de grunnleggende trigonometriske funksjonene (sinus, cosinus, tangens, cosecant, sekant og cotangens). De brukes til å finne vinklene som tilsvarer gitte trigonometriske forhold.

Hvorfor er inverse trigonometriske funksjoner viktige?

Inverse trigonometriske funksjoner er essensielle på forskjellige felt som geometri, ingeniørvitenskap og fysikk fordi de hjelper til med å bestemme vinkler fra trigonometriske forhold, som er avgjørende for å løse mange praktiske problemer.

Hva er domenene og områdene til inverse trigonometriske funksjoner?

Hver invers trigonometrisk funksjon har spesifikke domener og områder:

s i -1 (x) : Domene [-1, 1] og område [- π/2, π/2]

cos -1 (x) : Domene [-1, 1] og område [ 0, π]

så⁡ -1 (x) : Domene R og område (- π/2, π/2)

Kan inverse trigonometriske funksjoner brukes i kalkulus?

Ja, inverse trigonometriske funksjoner brukes ofte i kalkulus for integrasjon og differensiering. De er spesielt nyttige for å integrere funksjoner som involverer trigonometriske uttrykk.