logo

TechCodeview

Trigonometriske identiteter

Trigonometriske identiteter er ulike identiteter som brukes til å forenkle ulike komplekse ligninger som involverer trigonometriske funksjoner. Trigonometri er en gren av matematikken som omhandler forholdet mellom sidene og vinklene i en trekant., Disse forholdene er definert i form av seks forhold som kalles trigonometriske forhold – sin, cos, tan, cot, sec og cosec.

På en utvidet måte er studiet også av vinklene som danner elementene i en trekant. Logisk sett, en diskusjon av egenskapene til en trekant; løsning av en trekant, og fysiske problemer i området høyder og avstander ved å bruke egenskapene til en trekant – alle utgjør en del av studiet. Det gir også en metode for løsning av trigonometriske ligninger.



Innholdsfortegnelse

Hva er trigonometriske identiteter?

En ligning som involverer trigonometriske forhold til en vinkel kalles trigonometrisk identitet hvis den er sann for alle verdiene av vinkelen. Disse er nyttige når trigonometriske funksjoner er involvert i et uttrykk eller en ligning. De seks grunnleggende trigonometriske forholdstallene er sinus, cosinus, tangens, cosecant, sekant og cotangens . Alle disse trigonometriske forholdene er definert ved å bruke sidene av den rette trekanten, for eksempel en tilstøtende side, motsatt side og hypotenusside.

Trigonometriske identiteter



Liste over trigonometriske identiteter

Det er mange identiteter i studiet av trigonometri, som involverer alle trigonometriske forhold. Disse identitetene brukes til å løse ulike problemer gjennom det akademiske landskapet så vel som i det virkelige liv. La oss lære alle de grunnleggende og avanserte trigonometriske identitetene.

Gjensidige trigonometriske identiteter

I alle trigonometriske forhold er det en gjensidig relasjon mellom et par forhold, som er gitt som følger:

  • sin θ = 1/cosec θ
  • cosec θ = 1/sin θ
  • cos θ = 1/sek θ
  • sek θ = 1/cos θ
  • tan θ = 1/seng θ
  • barneseng θ = 1/tan θ

Pythagoras trigonometriske identiteter

Pythagoras trigonometriske identiteter er basert på retttrekant-teoremet eller Pythagoras teorem , og er som følger:



  • uten2θ + cos2θ = 1
  • 1 + så2θ = sek2Jeg
  • cosec2θ = 1 + barneseng2Jeg

Les mer om Pythagoras trigonometriske identiteter .

Identiteter med trigonometrisk forhold

Som tan og cot er definert som forholdet mellom sin og cos, som er gitt av følgende identiteter:

  • tan θ = sin θ/cos θ
  • cot θ = cos θ/sin θ

Trigonometriske identiteter av motsatte vinkler

I trigonometri måles vinkel målt i retning med klokken i negativ paritet og alle trigonometriske forhold definert for negativ vinkelparitet er definert som følger:

  • sin (-θ) = -sin θ
  • cos (-θ) = cos θ
  • tan (-θ) = -tan θ
  • barneseng (-θ) = -seng θ
  • sek (-θ) = sek θ
  • cosec (-θ) = -cosec θ

Komplementære vinkler identiteter

Komplementære vinkler er paret av vinkler hvis mål summerer seg til 90°. Nå er de trigonometriske identitetene for komplementære vinkler som følger:

  • sin (90° – θ) = cos θ
  • cos (90° – θ) = sin θ
  • brun (90° – θ) = barneseng θ
  • sprinkelseng (90° – θ) = brun θ
  • sek (90° – θ) = cosec θ
  • cosec (90° – θ) = sek θ

Supplerende vinkler identiteter

Supplerende vinkler er paret av vinkler hvis mål summerer seg til 180°. Nå er de trigonometriske identitetene for tilleggsvinkler:

  • sin (180°- θ) = sinθ
  • cos (180°- θ) = -cos θ
  • cosec (180°- θ) = cosec θ
  • sek (180°- θ)= -sek θ
  • tan (180°- θ) = -tan θ
  • sprinkelseng (180°- θ) = -seng θ

Periodisitet av trigonometrisk funksjon

Trigonometriske funksjoner slik som sin, cos, tan, cot, sec og cosec er alle periodiske i naturen og har forskjellig periodisitet. Følgende identiteter for det trigonometriske forholdet forklarer deres periodisitet.

  • sin (n × 360° + θ) = sin θ
  • sin (2nπ + θ) = sin θ
  • cos (n × 360° + θ) = cos θ
  • cos (2nπ + θ) = cos θ
  • tan (n × 180° + θ) = tan θ
  • tan (nπ + θ) = tan θ
  • cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
  • cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  • sek (n × 360° + θ) = sek θ
  • sek (2nπ + θ) = sek θ
  • barneseng (n × 180° + θ) = barneseng θ
  • barneseng (nπ + θ) = barneseng θ

Hvor, n ∈ MED, (Z = sett med alle heltall)

Merk: sin, cos, cosec og sec har en periode på 360° eller 2π radianer, og for tan og cot er perioden 180° eller π radianer.

Sum og forskjellsidentiteter

Trigonometriske identiteter for sum og forskjell vinkel inkluderer formler som sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B), etc.

  • sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
  • sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B
  • cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
  • cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
  • tan (A+B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
  • tan (A-B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Merk: Identiteter for sin (A+B), sin (A-B), cos (A+B) og cos (A-B) kalles Ptolemaios sin identitet .

Dobbelvinkelidentiteter

Ved å bruke de trigonometriske identitetene til summen av vinkler, kan vi finne en ny identitet som kalles Double angle Identity. For å finne disse identitetene kan vi sette A = B i summen av vinkelidentiteter. For eksempel,

a vi vet, sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

Erstatter A = B = θ på begge sider her, og vi får:

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

  • sin 2θ = 2 sinθ cosθ

På samme måte,

  • cos 2θ = cos 2 θ – synd 2 θ = 2 cos 2 θ – 1 = 1 – sin 2 Jeg
  • tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan 2 Jeg)

Les mer om Dobbelvinkelidentiteter .

Halvvinkelformler

Ved å bruke dobbeltvinkelformler kan halvvinkelformler beregnes. For å beregne halvvinkelformler erstatter du θ med θ/2,

  • sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
  • cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
  • an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Les mer om Halvvinkelidentiteter .

Noen flere halvvinkelidentiteter

Annet enn de ovennevnte identitetene, er det noen flere halvvinkelidentiteter som er som følger:

  • sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
  • cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
  • an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Produkt-sum identiteter

Følgende identiteter angir forholdet mellom summen av to trigonometriske forhold med produktet av to trigonometriske forhold.

  • sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
  • cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
  • sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
  • cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Produktidentiteter

Produktidentiteter dannes når vi legger til to av summen og forskjellen av vinkelidentiteter og er som følger:

  • sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
  • cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
  • sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Trippelvinkelformler

Annet enn dobbel- og halvvinkelformler, er det identiteter for trigonometriske forhold som er definert for trippelvinkel. Disse identitetene er som følger:

  • sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
  • cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
  • cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Les mer om Trippelvinkelidentiteter .

Bevis på trigonometriske identiteter

For enhver spiss vinkel θ, bevis det

  1. tanθ = sinθ/cosθ
  2. cotθ = cosθ/sinθ
  3. tanθ. cotθ = 1
  4. uten 2 θ + cos 2 θ = 1
  5. 1 + så 2 θ = sek 2 Jeg
  6. 1 + barneseng 2 θ = cosec 2 Jeg

Bevis:

Tenk på en rettvinklet △ABC der ∠B = 90°

La AB = x enheter, BC = y enheter og AC = r enheter.

Rettvinklet trekant med akuttvinkel-theta

Deretter,

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ. cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ. cotθ = 1

Så, ved Pythagoras’ teorem, har vi

x2+ og2= r2.

Nå,

(4) uten2θ + cos2θ = (y/r)2+ (x/r)2= (og2/r2+ x2/r2)

= (x2+ og2)/r2= r2/r2= 1 [x2+ og2= r2]

uten 2 θ + cos 2 θ = 1

(5) 1 + så2θ = 1 + (y/x)2= 1 + y2/x2= (og2+ x2)/x2= r2/x2[x2+ og2= r2]

(r/x)2= sek2Jeg

∴ 1 + brun 2 θ = sek 2 Jeg.

(6) 1 + barneseng2θ = 1 + (x/y)2= 1 + x2/og2= (x2+ og2)/og2= r2/og2[x2+ og2= r2]

(r2/og2) = cosec2Jeg

∴ 1 + barneseng 2 θ = cosec 2 Jeg

Forholdet mellom vinkler og sider av trekanten

Tre regler som relaterer sidene til trekanter til de indre vinklene til trekanter er:

  • Sine Rule
  • Cosinus regel
  • Tangent regel

Hvis en trekant ABC med sidene a, b og c som er motsatte sider av henholdsvis ∠A, ∠B og ∠C, så

Sine Rule

Sine rule angir forholdet mellom sider og vinkler i trekanten som er forholdet mellom side og sinus av vinkelen motsatt til siden forblir alltid den samme for alle vinklene og sidene i trekanten og er gitt som følger:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Cosinus regel

Cosinus regel involverer alle sidene, og en indre vinkel i trekanten er gitt som følger:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

ELLER

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

ELLER

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Tangent regel

  • Tangent Rule angir også forholdet mellom sidene og den indre vinkelen til en trekant, ved å bruke det tan trigonometriske forholdet, som er som følger:
  • old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
  • old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
  • old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Les også

  • Trigonometri Høyde og Avstand
  • Trigonometrisk tabell

Løst eksempel på trigonometriske identiteter

Eksempel 1: Bevis at (1 – synd 2 θ) sek 2 θ = 1

Løsning:

Vi har:

LHS = (1 – synd2θ) sek2Jeg

= cos2θ . sek2Jeg

= cos2θ. (1/cos2Jeg)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Derfor bevist]

Eksempel 2: Bevis at (1 + brun 2 θ) cos 2 θ = 1

Løsning:

Vi har:

LHS = (1 + brun2θ) cos2Jeg

⇒ LHS = sek2θ. cos2Jeg

⇒ LHS = (1/cos2θ). cos2Jeg

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Derfor bevist]

Eksempel 3: Bevis at (cosec 2 θ – 1) tan²θ = 1

Løsning:

Vi har:

LHS = (cosec²θ – 1) tan2Jeg

⇒ LHS = (1 + barneseng2θ – 1) så2Jeg

⇒ LHS = barneseng2θ. så2Jeg

⇒ LHS = (1/brun2θ). så2Jeg

formater datoen i java

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Derfor bevist]

Eksempel 4: Bevis at (sek 4 θ – sek 2 θ) = (tan 2 θ + tan 4 Jeg)

Løsning:

Vi har:

LHS = (sek4θ – sek2Jeg)

⇒ LHS = sek2θ(sek2jeg – 1)

⇒ LHS = (1 + brun2θ) (1 + tan2jeg – 1)

⇒ LHS = (1 + brun2θ) så2Jeg

⇒ LHS = (brun2θ + tan4θ) = RHS

∴ LHS = RHS. [Derfor bevist]

Eksempel 5: Bevis at √(sek 2 θ + cosec 2 θ) = (tanθ + cotθ)

Løsning:

Vi har:

LHS = √(sek2θ + cosec2θ ) = √((1 + tan2i) + (1 + barneseng2Jeg))

⇒ LHS = √(tan2θ + barneseng2i + 2)

⇒ LHS = √(tan2θ + barneseng2θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)2

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [Derfor bevist]

Praksisspørsmål om trigonometriske identiteter

Q1: Forenkle uttrykketfrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

Q2: Bevis identiteten tan (x) . barneseng(x) = 1.

Q3: Vis detfrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

Q4: Forenklesin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

Q5: Bevis identitetencos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

Q6: Forenklefrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

Q7: Bevis identitetensec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

Vanlige spørsmål om trigonometriske identiteter

Hva er trigonometrisk identitet?

Trigonometrisk identitet er en ligning som relaterer forskjellige trigonometriske funksjoner som sin, cos, tan, cot, sec og cosec.

Hvordan bevise trigonometriske identiteter?

Det er forskjellige metoder for å bevise trigonometriske identiteter, en av disse metodene er å bruke de 6 hovedtrigonometriske kjente identitetene for å omskrive et uttrykk i en annen form. Som alle andre bevis jobber vi med den ene siden for å komme til et uttrykk som er identisk med den andre siden av ligningen.

Hvor mange trigonometriske identiteter er det?

Det er mange trigonometriske identiteter, som enhver identitet kan være med en viss variasjon er fortsatt identitet også. Derfor kan vi ikke si nøyaktig hvor mange identiteter det er.

Hvordan huske alle de trigonometriske identitetene?

Den enkleste metoden for å huske alle identitetene er å øve på problemer knyttet til identiteten. Hver gang du løser et problem ved å bruke en eller annen identitet, reviderer du den identiteten, og til slutt vil den bli en annen natur for deg.

Skriv de tre hovedtrigonometriske funksjonene.

Tre hovedfunksjoner som brukes i trigonometri er sinus, cosinus og tangens.
sin θ = Perpendicular/ Hypotenuse
cos θ = Base/Hypotenuse
tan θ = Perpendicular/Base

Hva er Pythagoras-setningen?

Pythagoras teorem angir i en rettvinklet trekant med sidene som hypotenusa(H), vinkelrett(P) og base(B) forholdet mellom dem er gitt ved,

(H) 2 = (P) 2 + (B) 2

Skriv bruken av trigonometriske identiteter.

Trigonometriske identiteter brukes til å løse ulike problemer som involverer komplekse trigonometriske funksjoner. De brukes til å beregne bølgeligninger, ligning av harmonisk oscillator, løse geometriske spørsmål og andre problemer.

Skriv åtte grunnleggende trigonometriske identiteter.

Åtte grunnleggende identiteter i trigonometri er:

  • sin θ = 1/cosec θ
  • cos θ = 1/sek θ
  • tan θ = 1/seng θ
  • uten2θ + cos2θ = 1
  • tanθ = sinθ/cos θ
  • 1+ altså2θ = sek2Jeg
  • cot θ = cosθ/sinθ
  • 1+ barneseng2θ = cosec2Jeg