LAGRANGE-INTERPOLASJONSFORMEL: BEVIS, EKSEMPLER OG VANLIGE SPØRSMÅL

Lagrange interpolasjonsformel finner et polynom kalt Lagrange Polynom som tar på seg visse verdier på et vilkårlig punkt. Det er en n. gradpolynomisk uttrykk for funksjonen f(x). Interpolasjonsmetoden brukes til å finne de nye datapunktene innenfor rekkevidden til et diskret sett med kjente datapunkter.

I denne artikkelen vil vi lære om Lagrange Interpolation, Lagrange Interpolation Formula, Proof for Lagrange Interpolation Formula, Eksempler basert på Lagrange Interpolation Formel og andre i detalj.

Hva er Lagrange Interpolation?

Lagrange-interpolasjon er en måte å finne verdien av en funksjon på et gitt punkt når funksjonen ikke er gitt. Vi bruker andre punkter på funksjonen for å få verdien av funksjonen på et hvilket som helst nødvendig punkt.

Anta at vi har en funksjon y = f(x) der å erstatte verdiene til x gir forskjellige verdier av y. Og vi får to poeng (x₁, og₁) og (x₂, og₂) på kurven så beregnes verdien av y ved x = a(konstant) ved å bruke Lagrange Interpolation Formula.

Lagrange interpolasjonsformel

Gitt få reelle verdier x₁, x₂, x₃, …, x_nog y₁, og₂, og₃, …, og_nog det vil være et polynom P med reelle koeffisienter som tilfredsstiller betingelsene P(x_Jeg) = og_Jeg, ∀ i = {1, 2, 3, …, n} og grad av polynom P må være mindre enn antallet reelle verdier, dvs. grad(P)

Lagrange Interpolation Formel for nth Order

Lagrange-interpolasjonsformelen for n^thgradspolynom er gitt nedenfor:

Lagrange-interpolasjonsformel for n ^th rekkefølgen er,

$f(x)=frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)} ganger y_0+ frac{(x-x_0)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)...(x_1-x_n)} ganger y_1+...+ frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n-1)}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)...(x_n-x_n-1)} ganger y_n$

Lagrange første ordens interpolasjonsformel

HvisGraden av polynomet er 1, så kalles det første ordens polynom. Lagrange-interpolasjonsformel for 1^strekkefølgen polynomer er,

$f(x)~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} ganger y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} ganger y_1$

Lagrange andre ordens interpolasjonsformel

Hvis graden av polynomet er 2, kalles det andre ordens polynom. Lagrange-interpolasjonsformel for 2. ordens polynomer er,

$f(x)~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} ganger y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)} {(x_1-x_0)(x_1-x_2)} ganger y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} ganger y_2$

Bevis for Lagrange-teorem

La oss vurdere et n-tegrads polynom av den gitte formen,

Word rask tilgangsverktøylinje

f(x) = A₀(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)...(x – x_n) + A₁(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)...(x – x_n) + … + A_(n-1)(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)...(x – x_n)

Erstatter observasjoner x_Jegå få A_Jeg

Sett x = x₀så får vi A₀

f(x₀) = og₀= A₀(x₀– x₁)(x₀– x₂)(x₀– x₃)...(x₀– x_n)

EN ₀ = og ₀ /(x ₀ – x ₁ )(x ₀ – x ₂ )(x ₀ – x ₃ )...(x ₀ – x _n )

Ved å erstatte x = x₁vi får A₁

f(x₁) = og₁= A₁(x₁– x₀)(x₁– x₂)(x₁– x₃)...(x₁– x_n)

EN ₁ = og ₁ /(x ₁ – x ₀ )(x ₁ – x ₂ )(x ₁ – x ₃ )...(x ₁ – x _n )

På samme måte, ved å erstatte x = x_nvi får A_n

f(x_n) = og_n= A_n(x_n– x₀)(x_n– x₁)(x_n– x₂)...(x_n– x_n-1)

EN _n = og _n /(x _n – x ₀ )(x _n – x ₁ )(x _n – x ₂ )...(x _n – x _n-1 )

Hvis vi erstatter alle verdiene til A_Jegi funksjon f(x) hvor i = 1, 2, 3, …n får vi Lagrange Interpolation Formel som,

$f(x)~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)} ganger y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)...(x_1-x_n)} ganger y_1+... +frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n-1)}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)...(x_n-x_n-1)} ganger y_n$

Egenskaper til Lagrange Interpolation Formula

Ulike egenskaper ved Lagrange-interpolasjonsformelen er diskutert nedenfor,

Denne formelen brukes til å finne verdien av funksjonen når som helst selv når funksjonen i seg selv ikke er gitt.
Den brukes selv om de oppgitte punktene ikke er jevnt fordelt.
Den gir verdien av den avhengige variabelen for enhver uavhengig variabel som tilhører en hvilken som helst funksjon og brukes derfor i Numeracial Analysis for å finne verdiene til funksjonen, etc.

Bruk av Lagrange Interpolation Formula

Ulike bruksområder for Lagrange Interpolation Formula er diskutert nedenfor,

Den brukes til å finne verdien av den avhengige variabelen ved en bestemt uavhengig variabel selv om funksjonen i seg selv ikke er gitt.
Det brukes i bildeskalering.
Den brukes i AI-modellering.
Den brukes til å undervise i NLP, etc.

Les mer,

Interpolasjonsformel
Lineær interpolasjonsformel

Eksempler ved bruk av Lagrange-interpolasjonsformel

La oss se på noen eksempelspørsmål om Lagrange Interpolation Formula.

Eksempel 1: Finn verdien av y ved x = 2 for det gitte settet med punkter (1, 2), (3, 4)

Løsning:

gitt,

(x₀, og₀) = (1, 2)
(x₁, og₁) = (3, 4)
Første ordens Lagrange Interpolation Formel er,

$y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} ganger y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} ganger y_1$

Ved x = 2

og $=~frac{(2-3)}{(1-3)} ganger 2+frac{(2-1)}{(3-1)} ganger 4$

y = (-2/-2) + (4/2)

y = 1 + 2 = 3

Verdien av y ved x = 2 er 3

Eksempel 2: Finn verdien av y ved x = 5 for det gitte settet med punkter (9, 2), (3, 10)

Løsning:

gitt,

(x₀, og₀) = (9, 2)
(x₁, og₁) = (3, 10)
Første ordens Lagrange Interpolation Formel er,

$y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} ganger y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} ganger y_1$

Ved x = 5

$y~=~frac{(5-3)}{(9-3)} ganger 2+frac{(5-9)}{(3-9)} ganger 10$

y = (4/6) + (-40/-6)

y = (2/3) + (20/3)

y = 22/3 = 7,33

Verdien av y ved x = 5 er 7,33

Eksempel 3: Finn verdien av y ved x = 1 for det gitte settet med punkter (1, 6), (3, 4), (2, 5)

Løsning:

gitt,

(x₀, og₀) = (1, 6)
(x₁, og₁) = (3, 4)
(x₂, og₂) = (2, 5)
Second Order Lagrange Interpolation Formel er,

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} ganger y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1 -x_0)(x_1-x_2)} ganger y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} ganger y_2$

Ved x = 1

$y~=~frac{(1-3)(1-2)}{(1-3)(1-2)} ganger 6+frac{(1-1)(1-2)}{( 3-1)(3-2)} ganger 4+frac{(1-1)(1-3)}{(2-1)(2-3)} ganger 5 y~=~ frac{(-2)(-1)}{(-2)(-1)} ganger 6+frac{(0)(-1)}{(2)(1)} ganger 4+frac {(0)(-2)}{(1)(-1)} ganger 5$

y = (12/2) + 0 + 0

y = 6

Verdien av y ved x = 1 er 6

Eksempel 4: Finn verdien av y ved x = 10 for det gitte settet med punkter (9, 6), (3, 5), (1, 12)

Løsning:

gitt,

(x₀, og₀) = (9, 6)
(x₁, og₁) = (3, 5)
(x₂, og₂) = (1, 12)
Second Order Lagrange Interpolation Formel er,

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} ganger y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1 -x_0)(x_1-x_2)} ganger y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} ganger y_2$

Ved x = 10

$y~=~frac{(10-3)(10-1)}{(9-3)(9-1)} ganger 6+frac{(10-9)(10-1)}{( 3-9)(3-1)} ganger 5+frac{(10-9)(10-3)}{(1-9)(1-3)} ganger 12 y~=~ frac{(7)(9)}{(6)(8)} ganger 6+frac{(1)(9)}{(-6)(2)} ganger 5+frac{(1) (7)}{(-8)(-2)} ganger 12$

y = (63/8) + (-15/4) + (21/4)

y = (63-30 + 42)/8

y = 75/8 = 9,375

Verdien av y ved x = 10 er 9,375

Eksempel 5: Finn verdien av y ved x = 7 for det gitte settet med punkter (1, 10), (2, 4), (3, 4), (5, 7)

Løsning:

gitt,

(x₀, og₀) = (1, 10)
(x₁, og₁) = (2, 4)
(x₂, og₂) = (3, 4)
(x₃, og₃) = (5, 7)
Tredje ordens lagrange interpolasjonsformel er,

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} ganger y_0+frac{(x-x_0 )(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} ganger y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3) }{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} ganger y_2+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1) )(x_3-x_2)} ganger y_3$

Ved x = 7

$y~=~frac{(7-2)(7-3)(7-5)}{(1-2)(1-3)(1-5)} ganger 10+frac{(7- 1)(7-3)(7-5)}{(2-1)(2-3)(2-5)} ganger 4+frac{(7-1)(7-2)(7- 5)}{(3-1)(3-2)(3-5)} ganger 4+frac{(7-1)(7-2)(7-3)}{(5-1)( 5-2)(5-3)} ganger 7 y~=~frac{(5)(4)(2)}{(-1)(-2)(-4)} ganger 10+ frac{(6)(4)(2)}{(1)(-1)(-3)} ganger 4+frac{(6)(5)(2)}{(2)(1) (-2)} ganger 4+frac{(6)(5)(4)}{(4)(3)(2)} ganger 7$

y = -50 + 64 – 60 + 35

y = 99 – 110 = -elleve

Verdien av y ved x = 7 er -11

Eksempel 6: Finn verdien av y ved x = 10 for det gitte settet med punkter (5, 12), (6, 13), (7, 14), (8, 15)

Løsning:

gitt,

(x₀, og₀) = (5, 12)
(x₁, og₁) = (6, 13)
(x₂, og₂) = (7, 14)
(x₃, og₃) = (8, 15)
Tredje ordens lagrange interpolasjonsformel er,

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} ganger y_0+frac{(x-x_0 )(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} ganger y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3) }{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} ganger y_2+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1) )(x_3-x_2)} ganger y_3$

Ved x = 10,
matematikk tilfeldig java

$y~=~frac{(10-6)(10-7)(10-8)}{(5-6)(5-7)(5-8)} ganger 12+frac{(10- 5)(10-7)(10-8)}{(6-5)(6-7)(6-8)} ganger 13+frac{(10-5)(10-6)(10- 8)}{(7-5)(7-6)(7-8)} ganger 14+frac{(10-5)(10-6)(10-7)}{(8-5)( 8-6)(8-7)} ganger 15 y~=~frac{(4)(3)(2)}{(-1)(-2)(-3)} ganger 12+ frac{(5)(3)(2)}{(1)(-1)(-2)} ganger 13+frac{(5)(4)(2)}{(2)(1) (-1)} ganger 14+frac{(5)(4)(3)}{(3)(2)(1)} ganger 15$

y = -48 + 195 – 280 + 150

y = 17

Verdien av y ved x = 10 er 17

Eksempel 7: Finn verdien av y ved x = 0 for det gitte settet med punkter (-2, 5),(1, 7)

Løsning:

gitt,

(x₀, og₀) = (-2, 5)
(x₁, og₁) = (1, 7)
First Order Lagrange Interpolation Formel er,

$y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} ganger y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} ganger y_1$

Ved x = 0,

$y~=~frac{(0-1)}{(-2-1)} ganger 5+frac{(0+2)}{(1+2)} ganger 7$

y = (5/3) + (14/3)

y = 19/3 = 6,33

Verdien av y ved x = 0 er 6,33

Vanlige spørsmål om Lagrange Interpolation Formula

1. Hva er Lagrange Interpolation Formel?

Lagrange Interpolation Formula er en formel som brukes til å finne verdien av den avhengige variabelen til funksjonen for enhver uavhengig variabel selv om funksjonen i seg selv ikke er gitt.

2. Hva er bruken av Lagrange Interpolation Formula?

Lagranges Formula har forskjellige anvendelser innen moderne matematikk og datavitenskap,

Den brukes til AI-modellen Traning.
Den brukes i bildebehandling.
Den brukes i grafiske 3-D og høyere kurver, etc.

3. Hva er First Order Lagrange Interpolation Formula?

First Order Lagranges interpolasjonsformel er,

f(x) = (x – x ₁ )/(x ₀ – x ₁ )×f ₀ + (x – x ₀ )/(x ₁ – x ₀ )×f ₁

4. Hva er Second Order Lagrange Interpolation Formula?

Den andre ordens Lagranges interpolasjonsformel er,

f(x) = [(x – x ₁ )(x – x ₂ )/(x ₀ – x ₁ )(x ₀ – x ₂ )]×f ₀ + [(x – x ₀ )(x – x ₂ )/(x ₁ – x ₀ )(x ₁ – x ₂ )]×f ₁ + [(x – x ₀ )(x – x ₁ )/(x ₂ – x ₀ )(x ₂ – x ₂ )]×f ₀