Logaritmeregler eller loggregler er avgjørende for å forenkle kompliserte formuleringer som inkluderer logaritmiske funksjoner. Loggregler gjør det enklere å beregne og manipulere logaritmer i en rekke matematiske og vitenskapelige applikasjoner. Av alle disse loggreglene er tre av de vanligste produktregelen, kvotientregelen og maktregelen. Bortsett fra disse har vi mange logaritmeregler, som vi vil diskutere videre i artikkelen. Denne artikkelen utforsker alle reglene for logger, inkludert derivater og integraler, i detalj med eksempler på logaritmeregler. Så la oss begynne å lære om alle reglene logaritmene har.

Innholdsfortegnelse

• Hva er loggregler?
• Typer logaritme
• Liste over logaritmeregler
• Regler for naturlige logger
• Anvendelser av logaritme
• Produktregel for logaritmer
• Logaritmekraftregel
• Kvotientregel for logaritmer
• Løste eksempler på loggregler
• Øvespørsmål om loggregler

Hva er loggregler?

Logaritme Regler i matematikk er reglene og lovene som brukes i forenkling og manipulering av logaritmiske funksjonsuttrykk. Disse prinsippene skaper relasjoner mellom eksponentielle og logaritmiske former og gir en systematisk teknikk for å håndtere kompliserte logaritmiske beregninger.

De viktigste reglene er som følger: produktregel : som lar oss dele et produkt innenfor en logaritme i en sum av separate logaritmer; kvotientregel : som lar oss dele en kvotient innenfor en logaritme i en forskjell av logaritmer; maktregel: som lar oss trekke ut eksponenter fra en logaritme; grunnbytteregel eller endring av grunnregel : som lar oss endre basen til en logaritme.

Disse lovene er avgjørende i mange matematiske og vitenskapelige anvendelser, og gjør logaritmer til et verdifullt verktøy for å løse ligninger, modellere eksponentiell vekst og analysere store datamengder.

Typer logaritme

Vi har vanligvis å gjøre med to typer logaritmer:

• Vanlig logaritme
• Naturlig logaritme

Merk: Det kan være en logaritme med et hvilket som helst reelt tall som base, men disse to, dvs. felles og naturlig logaritme, er de vanligste og standard.

La oss diskutere disse typene i detalj.

Vanlig logaritme

En vanlig logaritme, ofte kjent som log base 10 eller ganske enkelt log, er en matematisk funksjon som representerer eksponenten som et gitt tall må økes til for å nå et gitt tall. Den beregner potensen av ti som er nødvendig for å få et visst tall.

For eksempel logg₁₀(100) er lik 2, fordi 10 hevet til 2 er lik 100. Den vanlige logaritmen på 100 i dette tilfellet er 2, som viser at 10²= 100. Vanlige logaritmer brukes i mange sektorer, inkludert vitenskap, ingeniørvitenskap og finans, for å forenkle enorme tallrepresentasjoner og hjelpe i beregninger som krever potenser på 10.

Naturlig logaritme

Den naturlige logaritmen er en matematisk funksjon som uttrykker logaritmen til grunntallet 'e' (Eulers tall, omtrent 2,71828). Det er den inverse av eksponentialfunksjonen og representerer hvor lang tid det tar for en mengde å øke eller redusere med en konstant faktor.

For eksempel betyr ln (10) ≈ 2,30259 at e multiplisert med 2,30259 er lik 10. Den naturlige logaritmen brukes i mange domener, inkludert matematikk, fysikk og finans, for å beskrive fenomener som viser eksponentiell vekst eller forfall, som befolkningsøkning, radioaktivt forfall og sammensatte renteberegninger.

Hva er logaritmeregler?

Logaritmiske operasjoner kan utføres i henhold til spesifikke regler. Disse reglene er kjent som:

• Produktregel
• Kvotientregel
• Nullregel
• Identitetsregel
• Potensregel eller eksponentiell regel
• Endring av grunnregel
• Gjensidig regel

Utenom disse vanlige reglene, kan vi også ha noen uvanlige regler, for eksempel:

• Logaritme invers egenskap
• Avledning av Log
• Integrasjon av logg

Produktregel for logg

I følge produktregelen er logaritmen til et produkt summen av logaritmene til elementene.

Formel: Logg_en(XY) = log_enX + log_enOG

Eksempel: Logg₂(3 × 5) = logg₂(3) + logg₂(5)

Kvotientregel for logg

Kvotientregelen hevder at logaritmen til en kvotient er lik forskjellen mellom teller- og nevnerlogaritmene.

Formel: Logg_en(X/Y) = log_enX – logg_enOG

Eksempel: Logg₃(9 / 3) = logg₃(9) – logg₃(3)

Null loggregel

I følge nullregelen er logaritmen av 1 til en hvilken som helst base alltid 0.

Formel: Logg_en(1) = 0

Eksempel: Logg₄(1) = 0

Identitetsregel for logg

I følge identitetsregelen er logaritmen til en base til seg selv alltid 1.

Formel: Logg_en(a) = 1

Eksempel: Logg₇(7) = 1

Gjensidig regel

I henhold til den resiproke logaritmenregelen er logaritmen til et talls resiproke (1 delt på det tallet) lik det negative til logaritmen til det opprinnelige tallet. I matematisk notasjon:

Formel: Logg_en(1/X) = – log_en(X)

Eksempel: Logg_en(1/2) = – logg_en(2)

Maktregel eller eksponentiell loggregel

I henhold til potensregelen er logaritmen til et tall hevet til en eksponent lik eksponenten multiplisert med logaritmen til grunntallet.

Formel: Logg_en(Xⁿ) = n × log_enX

Eksempel: Logg₅(9²) = 2 × log₅(9)

Endring av basisregel for logg

Endringen av grunnregelen lar deg beregne logaritmen til et tall i en annen grunntall ved å bruke en felles logaritme (vanligvis grunntall 10 eller grunntall e). Endring av grunnregel kalles også Base Switch Regel.

Formel: Logg_en(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

Eksempel: Logg₃(7) = logg₁₀(7) / logg₁₀(3)

Logaritme invers egenskap

Den omvendte egenskapen for logaritmen hevder at beregning av logaritmen til en eksponentisert verdi gir den opprinnelige eksponenten.

Formel: Logg_en(aⁿ) = n

Eksempel: log₄(4²) = 2

Avledning av Log

Den deriverte av en funksjons naturlige logaritme er den resiproke av funksjonen multiplisert med den deriverte av funksjonen.

Formel: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

Eksempel: Hvis y = ln(x²), så dy/dx = 2x / x²= 2/x

Integrasjon av logg

Annet enn differensiering kan vi også beregne integralet til logaritmen. Integralet av Log-funksjonen er gitt som følger:

Formel: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Regler for naturlige logger

Som naturlig og vanlig har begge tømmerstokkene bare en forskjell i basis, derfor er reglene for naturlige tømmerstokker de samme som felles tømmerstokker, som allerede er diskutert. Den eneste forskjellen er at i naturlige loggregler bruker vi i stedet for logg (symbol på felles logg med base 10) ln (symbol for naturlig logg base e). Disse reglene kan angis som følger:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• ln mⁿ= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• ln 1 = 0
• Det er^{ln x}= x

Anvendelser av logaritme

La oss se på noen av applikasjonene til logg.

• Vi bruker logaritmer for å beregne surheten og alkaliteten til kjemiske løsninger.
• Richterskalaen brukes til å beregne jordskjelvintensiteten.
• Mengden støy måles i desibel (dB) på en logaritmisk skala.
• Logaritmer brukes til å analysere eksponentielle prosesser som forfall av forholdsaktive isotoper, bakterieutvikling, spredning av en epidemi i en befolkning og avkjøling av et dødt lik.
• En logaritme brukes til å beregne tilbakebetalingstiden for et lån.
• Logaritmen brukes i kalkulus for å differensiere vanskelige ligninger og beregne arealet under kurver.

Produktregel for logaritmer

I følge produktregelen for logaritmer er logaritmen til en multiplikasjon av to ledd den samme som addisjonen av logaritmene til de individuelle leddene. Med andre ord er denne regelen uttrykt som logg_b(mn) = log_b(m) + log_b(n). La oss fortsette å utlede denne regelen.

Avledningsprosess:

La oss starte med å anta logg_b(m) = x og log_b(n) = y. Konverterer vi begge til deres eksponentielle former, får vi:

Logg_b(m) = x innebærer m = b^x… (1)

Logg_b(n) = y innebærer n = b^og… (2)

Når vi multipliserer ligningene (1) og (2) sammen,

mn = b^{x .}b^og

Ved å bruke reglene for å multiplisere eksponenter,

mn = b^{x + y}

Konvertering tilbake til logaritmisk formutbytte,

Logg_b(mn) = x + y

Ved å erstatte tilbake for x og y,

Logg_b(mn) = log_b(m) + log_b(n)

Dermed har vi utledet produktregelen for logaritmer. Denne regelen kan brukes på forskjellige måter, for eksempel:

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b Det er viktig å merke seg at produktregelen for logaritmer ikke gjelder for log (m + n), som ikke kan deles opp i separate logaritmer. Denne regelen gjelder strengt tatt logaritmen til et produkt, log(mn).

Logaritmekraftregel

Reglen for logaritmepotens sier at når en logaritmes argument heves til en potens, kan den eksponenten flyttes til fronten av logaritmen. Med andre ord, logb mn = n logb m. La oss utforske utledningen av denne regelen.

Avledningsprosess:

Start med å anta logg_bm er lik x. Konvertering av dette til sin eksponentielle form gir oss:

b^x= m

Hev deretter begge sider til potensen n, noe som resulterer i:

uri vs url

(b^x)ⁿ= mⁿ

Bruk av eksponentpotensregelen gir:

b^nx= mⁿ

Konverterer vi tilbake til logaritmisk form, får vi:

Logg_bmⁿ= nx

Ved å erstatte x med log_bm, vi kommer til:

Logg_bmⁿ= n logg_bm

Dette avslutter utledningen av logaritmepotensregelen. Nedenfor er flere eksempler på hvordan denne regelen brukes:

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Kvotientregel for logaritmer

I følge kvotientregelen for logaritmer er logaritmen til en divisjon mellom to tall subtraksjonen av logaritmene til hvert tall.

Konkret sier regelen at loggen_b(m/n) = log_bm – logg_bn. La oss fortsette å utlede denne regelen.

Avledningsprosess:

Anta logg_bm er lik x og log_bn er lik y. Vi vil uttrykke disse i deres eksponentielle former.

Logg_bm = x innebærer m = b^x… (1)

Logg_bn = y innebærer n = b^og… (2)

Når vi deler ligning (1) med ligning (2),

m/n = b^x/ b^og

Ved å bruke kvotientregelen for eksponenter,

m/n = b^x–y

Konvertering tilbake til logaritmisk form,

Logg_b(m/n) = x – y

Ved å erstatte tilbake for x og y,

Logg_b(m/n) = log_bm – logg_bn

Dermed har vi utledet kvotientregelen for logaritmer. Denne regelen kan brukes som følger:

log (y/3) = log y – log 3

log 25 = log (125/5) = log 125 – log 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

Det er viktig å merke seg at kvotientregelen ikke innebærer noe for log (m – n).

Relaterte temaer:

• Antilog-tabell
• Loggkalkulator
• Naturlig logg
• Loggtabell

Løste eksempler på loggregler

Eksempel 1: Forenkle logg ₂ (4 × 8).

Løsning:

Ved å bruke produktregelen deler vi produktet inn i en sum av logaritmer:

Logg₂(4 × 8) = logg₂(4) + logg₂(8) = 2 + 3 = 5.

Eksempel 2: Forenkle logg ₄ (16/2).

Løsning:

Ved å bruke kvotientregelen deler vi kvotienten inn i en forskjell av logaritmer:

Logg₄(16 / 2) = logg₄(16) – logg₄(2) = 2 – 0,5 = 1,5.

Eksempel 3: Forenkle logg ₅ (25 ³ ).

Løsning:

Ved å bruke potensregelen kan vi få ned eksponenten som en koeffisient:

Logg₅(25³) = 3 × log₅(25) = 3 × 2 = 6.

Eksempel 4: Konverter logg ₃ (7) til et uttrykk med base 10.

Løsning:

Ved å bruke basebryterregelen deler vi med logaritmen til den nye basen:

Logg₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1,7712

Eksempel 5: Evaluer logg ₇ (49) ved å bruke endringen av grunnregelen med base 2.

gjør mens java

Løsning:

Bruke endringen av grunnregelen med base 2:

Logg₇(49) = logg₂(49) / logg₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (ca.).

Øvespørsmål om loggregler

Oppgave 1: Forenkle uttrykket: log₂(4) + logg₂(8).

Oppgave 2: Forenkle: logg₅(25) – logg₅(5).

Oppgave 3: Forenkle uttrykket: log₃(9²).

Oppgave 4: Ekspresslogg₄(25) når det gjelder vanlige logaritmer.

Oppgave 5: Forenkle ved å bruke Loggregler: logg₇(49) + 2 log₇(3).

Oppgave 6: Løs for x: log₂(x) = 3.

Oppgave 7: Løs for x: 2^{3x – 1}= 8.

Loggregler – vanlige spørsmål

Hva er logaritmeregler?

Logaritmeregler er en samling anbefalinger for å manipulere og forenkle formler ved hjelp av logaritmiske funksjoner. De tilbyr en systematisk metode for å håndtere kompliserte beregninger og interaksjoner mellom eksponentialer og logaritmer.

Hvor mange nøkkellogaritmeregler er det?

Produktregelen, kvotientregelen, potensregelen, basisbryterregelen og endring av grunnregelen er alle hovedlogaritmeregler. Disse prinsippene tillater logaritmiske uttrykksmodifikasjoner og beregninger.

Hva er logaritmisk produktregel?

I følge produktregelen er logaritmen til et produkt lik summen av logaritmene til de individuelle faktorene: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Hva er to typer logaritmer?

De to mest brukte logaritmetypene er:

• Vanlig logaritme eller base 10-logaritme
• Naturlig logaritme eller base e logaritme

Hva er loggregel for endring av base?

I henhold til endring av grunnregel for logg, logg_en(b)=[logg_c(b)]/[log_c(a)], der c er et hvilket som helst positivt reelt tall.

Hva er Log 0?

Logaritmen til null er ukjent. Vi oppnår aldri tallet 0 ved å heve noen verdi til potensen av en annen verdi.

Hva er Log 1?

På grunn av nullregelen er logaritmen av 1 til en hvilken som helst base alltid 0, dvs. log_en(1) = 0.

Hva er logaritme av et hvilket som helst tall for seg selv som base?

I henhold til identitetsregelen er logaritmen til en base til seg selv alltid 1, dvs. log_en(a) = 1.

Hva er forholdet mellom logaritmer og eksponentialer?

Logaritmer og eksponentialer er inverse operasjoner. En logaritme forteller deg eksponenten som trengs for å nå et visst tall, mens en eksponential hever en base til en eksponent.

Hva er de 7 reglene for logaritmer?

De 7 reglene for logaritmer inkluderer

• Produktregel
• Kvotientregel
• Maktregel
• Endring av grunnregler
• Nullregel
• Identitetsregel
• Negativ regel

Disse reglene brukes for å forenkle logaritmiske uttrykk.

Hva er loggeksponentregelen?

Loggeksponentregel sier at logbase b av a^xer lik x ganger log base b av a, dvs. log_ben^x= x logg_ben.

Hva er nøkkelforskjellen mellom vanlig tømmerstokk og naturlig tømmerstokk?

Hovedforskjellen mellom vanlig og naturlig logg er at vanlige logger bruker base 10, mens naturlige logger bruker den matematiske konstanten 'e' som sin base.

Hva er den avledede regelen for logg?

Den deriverte regelen for loggfunksjoner er: d/dx[log_b(x)] = 1 / (x ln(b)), der 'b' er basisen til logaritmen.

Hva er Base Switch Rule?

I henhold til Base Switch-regelen kan basen til enhver logaritme endres til en hvilken som helst annen ønsket base ved å bruke formelen: loga(X) = logb(X) / logb(a).