Loven om total sannsynlighet er viktig for å finne sannsynligheten for at en hendelse skal skje. Hvis sannsynligheten for at en hendelse skal skje er kjent for å være 1, så er den for en umulig hendelse sannsynligvis 0. En grunnleggende regel i sannsynlighetsteorien som er sammenkoblet med marginal sannsynlighet og betinget sannsynlighet kalles loven om total sannsynlighet, eller totalsannsynlighetsteoremet.
Etter flere hendelser er det kjent at sannsynligheten for alle mulighetene bør være kjent. De teorem om total sannsynlighet er kjernegrunnlaget for Bayes teorem. I denne artikkelen har vi diskutert viktige begreper knyttet til total sannsynlighet, inkludert lov om total sannsynlighet , utsagn, bevis og noen eksempler.
Lov om total sannsynlighet
Gitt n gjensidig utelukkende hendelser A1, A2, …Ak slik at deres sannsynlighetssum er enhet og deres forening er hendelsesrommet E, så Ai ∩ Aj= NULL, for alle I ikke lik j, og
A1 U A2 U ... U Ak = E>
Og så Total sannsynlighetsteorem, eller loven om total sannsynlighet, er: 
hvor B er en vilkårlig hendelse, og P(B/Ai) er den betingede sannsynligheten for B forutsatt at A allerede har skjedd.
Total sannsynlighetsteorem Bevis
La A1, A2, …, Ak være usammenhengende hendelser som danner en partisjon av prøverommet og anta at P(Ai)> 0, for i = 1, 2, 3….k, slik at:
A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>
Så, for enhver hendelse B, har vi,
B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>
Ettersom kryss og union er distribuerende. Derfor,
B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>
Siden alle disse partisjonene er usammenhengende. Så vi har,
P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>
Det er addisjonsteoremet for sannsynligheter for en forening av usammenhengende hendelser. Bruker betinget sannsynlighet
P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>
Eller ved multiplikasjonsregelen,
P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>
Her sies hendelser A og B å være uavhengige hendelser hvis P(B|A) = P(B), hvor P(A) ikke er lik Null(0),
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>
hvor P(B|A) er den betingede sannsynligheten som gir sannsynligheten for forekomst av hendelse B når hendelse A allerede har inntruffet. Derfor,
df loc
P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>
Ved å bruke denne regelen ovenfor får vi,
Dette er loven om total sannsynlighet . Loven om total sannsynlighet er også referert til som totalsannsynlighetsteoremet eller alternativloven.
Merk:
Loven om total sannsynlighet brukes når du ikke vet sannsynligheten for en hendelse, men du vet dens forekomst under flere usammenhengende scenarier og sannsynligheten for hvert scenario.
Anvendelse av teorem for total sannsynlighet
Den brukes til evaluering av nevneren i Bayes teorem . Bayes' teorem for n sett med hendelser er definert som,
La E1, OG2,…, OGnvære et sett med hendelser knyttet til prøverommet S, der alle hendelsene E1, OG2,…, OGnhar en ikke-null sannsynlighet for forekomst. Alle hendelsene E1, OG2,…, E danner en partisjon av S. La A være en hendelse fra rom S som vi må finne sannsynlighet for, så ifølge Bayes' teorem,
P(E Jeg |A) = P(E Jeg )P(A|E Jeg ) / ∑ P(E k )P(A|E k )
for k = 1, 2, 3, …, n
Eksempel
1. Vi trekker to kort fra en kortstokk med stokkede kort med erstatninger. Finn sannsynligheten for å få det andre kortet en konge.
Forklaring:- La, A – representerer begivenheten for å få det første kortet en konge. B – representer hendelsen at det første kortet ikke er en konge. E – representerer hendelsen at det andre kortet er en konge. Da vil sannsynligheten for at det andre kortet vil være en konge eller ikke representeres av loven om total sannsynlighet som:
P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>
Der P(E) er sannsynligheten for at det andre kortet er en konge, P(A) er sannsynligheten for at det første kortet er en konge, P(E|A) er sannsynligheten for at det andre kortet er en konge gitt at første kort er en konge, P(B) er sannsynligheten for at det første kortet ikke er en konge, P(E|B) er sannsynligheten for at det andre kortet er en konge, men det første kortet som trekkes er ikke en konge. I følge spørsmålet:
P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>
Derfor,
P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>
Vanlige spørsmål om loven om total sannsynlighet
Q.1: Hva er bruken av total sannsynlighet?
Svar:
Lov om total sannsynlighet brukes til å beregne sannsynligheten for en hendelse gitt et hvilket som helst antall relaterte hendelser. Bruke Bayes teorem for å oppdatere sannsynligheten for en hypotese gitt nye bevis.
Q.2: Er total sannsynlighet alltid 1?
Svar:
Summen av sannsynlighetene for alle hendelsene er alltid 1.
uri vs url
Q.3: Kan den totale sannsynligheten være større enn 1?
Svar:
Nei, den totale sannsynligheten kan ikke være større enn 1.