Funksjoner i matte kan tenkes på som salgsautomater. Gitt pengene i form av innspill, gir de noen bokser eller småkaker i retur. På samme måte tar funksjoner noen inputtall og gir oss noe utdata. Det kan sies at alt i det virkelige liv kan formuleres og løses ved hjelp av funksjoner. Fra bygningsdesign og arkitektur til megaskyskrapere, den matematiske modellen av nesten alt i det virkelige liv krever funksjoner, derfor kan det ikke unngås at funksjoner har gigantisk betydning i livene våre. Domene og rekkevidde er ett aspekt som en funksjon kan beskrives gjennom.

For eksempel: Anta at det er skrevet på toppen av maskinen at bare Rs.20 og Rs.50 sedler kan brukes til å kjøpe noe. Hva om noen bruker Rs.10-sedler? Maskinen vil ikke gi noe utdata. Så, domenet representerer hva slags input vi kan ha i en funksjon. I dette tilfellet er Rs.20 og Rs.50 sedler domenet til salgsautomaten. På samme måte spiller det ingen rolle hvor mye penger man legger i maskinen, han/hun vil aldri få smørbrød fra den. Så, konseptet med serien kommer inn i bildet her, rekkevidde er de mulige utgangene maskinen kan gi.

Område og domene for en funksjon

Domene til en funksjon:

Et domene er alle verdiene som kan gå inn i en funksjon som det gir en gyldig utgang for. Det er settet av alle mulige innganger til en funksjon.

konverter dato til streng

For eksempel: I figuren nedenfor er f(x) = x². Settet med alle inngangene kalles Domain og settet med alle utgangene betraktes som området.

Hvordan finne domenet til en funksjon?

Domenet til funksjonen skal inneholde alle reelle tall unntatt punktene der nevneren blir null og ledd under kvadratrøtter blir negative. For å finne domenet, prøv å finne punktene eller inngangsverdiene som funksjonen ikke er definert over.

Spørsmål 1: Finn domenet til frac{1}{1-x}

Svar:

Denne funksjonen kan gi udefinert utgang når x = 1. Så, da er domene R – {1} .

Spørsmål 2: Finn domenet til følgende funksjon:

frac{x^2}{(x-3)(x-5)}

Svar :

Det er viktig å ikke gjøre funksjonen til verken Infinity eller Undefined, derfor må vi se hvilke domeneverdier som kan gjøre funksjonen Udefinert eller Uendelig.

Ved å ta en titt på nevneren, er det klart at verdiene 3 og 5 gjør nevneren til 0, og derfor gjør funksjonen uendelig, noe som ikke er ønskelig.

Derfor kan ikke verdiene x=3 og x=5 plasseres her.

Domenet vil være R – {3,5}.

Spørsmål 3: Finn domeneverdiene som funksjonene Y = (2x ² -1) og Z= (1-3x) er like.

Svar :

Sette likhetstegn mellom de to funksjonene:

2 x²– 1 = 1 – 3 x

2x²+ 3x – 2 = 0

2x²+ 4x – x – 2 = 0

2x (x + 2) – 1 (x+2)= 0

(2x – 1) (x + 2) = 0

x = 1/2, -2.

Derfor er domeneverdiene {1/2, -2}.

c++ int til streng

Rekkevidde for en funksjon

Rekkevidden til en funksjon er et sett med alle mulige utganger.

Eksempel: La oss vurdere en funksjon ƒ: A⇢A, der A = {1,2,3,4}.

Elementene i settet domene kalles pre-images, og elementer i settet Co-Domain som er kartlagt til pre-images kalles bilder. Rekkevidden til en funksjon er et sett av alle bildene av elementene i domenet. I dette eksemplet er rekkevidden til funksjonen {2,3}.

Hvordan finne rekkevidden til en funksjon?

Området er spredningen av verdiene til utgangen til en funksjon. Hvis vi er i stand til å beregne maksimums- og minimumsverdiene til funksjonen, kan vi få en ide om funksjonens rekkevidde.

Spørsmål 1: Finn rekkevidden. f(x) = sqrt{x – 1}

Svar:

Nå, siden funksjonen er en kvadratrot, kan den aldri gi negative verdier som utdata. Så minimumsverdien kan bare være 0 ved x = 1. Maksimalverdien kan gå opp til uendelig når vi fortsetter å øke x.

Så rekkevidden til funksjonen er [0,∞).

Spørsmål 2: Domenet til funksjonen ƒ definert av f(x) = frac{1}{sqrtx} er?

Svar:

Gitt, f(x) = frac{1}{sqrtx – } .

Man må sørge for to ting når man velger sett med domene,

• Nevneren går aldri til null.
• Termen er innenfor kvadratroten blir ikke negativ.

La oss utvide det som er skrevet i begrepet innenfor kvadratroten.

sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases}

ubuntu bygge viktig

I dette tilfellet kan vi ikke sette noen av verdiene, x ≥ 0 eller x <0.

Derfor er f ikke definert for noen x ∈ R. Så domenet er et tomt sett.

Domene og rekkevidde av kvadratiske funksjoner

Kvadratiske funksjoner er funksjonene til formen f(x) = ax²+ bx + c, hvor a, b og c er konstanter og a ≠ 0. Grafen til en kvadratisk funksjon er i form av en parabel. Det er i utgangspunktet en buet form som åpner seg opp eller ned.

La oss se på hvordan du tegner kvadratiske funksjoner,

Så, i vår kvadratiske funksjon

• hvis a> 0, åpner parablen seg oppover.
• hvis a <0, åpner parablen seg nedover.

Nå er toppunktet det høyeste eller laveste punktet på kurven vår avhengig av grafen til den kvadratiske funksjonen. For å finne toppunktet til grafen til et generelt kvadratisk uttrykk.

I standard kvadratisk form er toppunktet gitt ved(frac{-b}{2a}, f(frac{-b}{2a})) Man må finne x-verdien til toppunktet først og så er det bare å plugge den inn i funksjonen for å få y-verdien.

Last ned youtube-videoer vlc

Merk: Hver kurve er symmetrisk rundt sin vertikale akse.

La oss se på noen eksempler,

Spørsmål: Plott grafen til f(x) = 2x ² + 4x + 2.

Svar:

Sammenligning av denne ligningen med den generelle kvadratiske funksjonslikningen. a = 2, b = -4 og c = 2.

Siden a> 0 vil denne parabelen åpne seg oppover.

• Toppunkt x-verdi =frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1
• Toppunkt y-verdi = 2(-1)²+ 4(-1) + 2 = 0

Så toppunktet er på (-1,0). Siden parablen åpner seg oppover, må dette være minimumsverdien til funksjonen.

Punktet der grafen kutter y-aksen er (0,2).

Rekkevidde og domene for kvadratiske funksjoner kan enkelt finnes ut ved å plotte grafen. Det er ikke alltid nødvendig å plotte hele grafen, for rekkevidde bør bare retningen til parablen (oppover eller nedover) og verdien av parablen ved toppunktet være kjent. Verdien ved toppunktet er alltid enten minimum/maksimum avhengig av retningen til parablen. Domenet til slike funksjoner er alltid hele reelle tall fordi det er definert overalt, dvs.; det er ingen verdi for input som kan føre til at de gir udefinert som utdata.

La oss se på et annet eksempel angående parabelens domene og rekkevidde.

Spørsmål: Plott grafen og finn domene og rekkevidde for den gitte funksjonen, f(x) = -x ² + 4.

Svar:

Siden, a = -1. Parabel vil åpne seg nedover dvs.; det vil ikke være noen minimumsverdi, den vil strekke seg til uendelig. Men det vil være en maksimal verdi som vil oppstå ved toppunktet.

For å finne posisjonen til toppunktet kan forrige formel brukes. Toppunktet er i posisjon (0,4).

Verdien ved toppunktet (0,4) = (0)²+ 4 = 4.

Så maksimumsverdien er 4 og minimumsverdien er negativ eller uendelig.

Rekkevidde for funksjonen – (-∞, 4] og domenet er R .