logo

TechCodeview

Rad Echelon Form

En matrise er i Row Echelon-form hvis den har følgende egenskaper:

  • Enhver rad som utelukkende består av nuller forekommer nederst i matrisen.
  • For hver rad som ikke inneholder helt nuller, er den første oppføringen som ikke er null 1 (kalt en ledende 1).
  • For to påfølgende (ikke-null) rader, er den første 1 i den høyere raden lenger til venstre enn den ledende i den nedre raden.

For redusert rad echelon-form, inneholder den innledende 1-en i hver rad 0 under og over den i den kolonnen.

Nedenfor er et eksempel på rad-echelon-form:



egin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2 end{bmatrix}

og redusert rad-echelon form:

hvordan få iphone-emojis på Android

egin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Enhver matrise kan transformeres til redusert rad echelon-form ved å bruke en teknikk som kalles Gaussisk eliminering. Dette er spesielt nyttig for å løse systemer med lineære ligninger.

Gaussisk eliminering

Gaussisk eliminering er en måte å konvertere en matrise til den reduserte rad echelon-formen. Det kan også brukes som en måte å finne en løsning på en løsning på systemet med lineære ligninger. Tanken bak dette er at vi utfører noen matematiske operasjoner på raden og fortsetter til bare én variabel er igjen.

Nedenfor er noen operasjoner som vi kan utføre:

  • Bytt alle to rader
  • Legg to rader sammen.
  • Multipliser én rad med en konstant som ikke er null (dvs. 1/3, -1/5, 2).

Gitt følgende lineære ligning:

x - 2y + z = -1 2x + y - 3z = 8 4x - 7y + z = -2

og den utvidede matrisen ovenfor

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 2 & 1 & 3 & : & 8 4 & -7 & 1 & : & -2 end{bmatrix}

Nå må vi konvertere dette til rad-echelon-formen. For å konvertere dette til rad-echelon-form, må vi utføre Gaussian Elimination.

gjennomstrekning
  • Først må vi trekke fra 2*r1fra r2og 4*r1fra r3for å få 0 på første plass av r2og r3.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 5 & -5 & : & 10 0 & 1 & -3 & : & 2 end{bmatrix}

kaste kast i java
  • Deretter vil vi bytte ut radene, r2 og r3 og deretter trekke fra 5*r2fra r3for å få den andre 0-en i tredje rad.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 1 & -3 & : & 2 0 & 0 & 10 & : & 0 end{bmatrix}

  • Nå kan vi utlede verdien Med fra r3,dvs. 10 z =0 ⇾ z=0. Ved hjelp av verdien av z =0 kan vi sette den til r2, y = 2. På samme måte kan vi sette verdien av y og z i r1og vi får en verdi på x=3

Rangering av matrise

Rangeringen av matrisen er antallet rader som ikke er null i radseksjonsformen. For å finne rangeringen må vi utføre følgende trinn:

  • Finn rad-echelon-formen til den gitte matrisen
  • Tell antall rader som ikke er null.

La oss ta en eksempelmatrise:

egin{bmatrix} 4 & 0 & 1 2 & 0 & 2 3 & 0 & 3 end{bmatrix}

Nå reduserer vi matrisen ovenfor til rad-echelon-form

egin{bmatrix} 1 & 0 & frac{1}{4} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Her inneholder bare to rader elementer som ikke er null. Derfor er rangeringen av matrisen 2.

Gjennomføring

  • For å konvertere en matrise til redusert rad-echelon-form brukte vi Sympy-pakken i python, først må vi installere den.

python3

# install sympy> ! pip install sympy> # import sympy> import> sympy> # find the reduced row echelon form> sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rref()> # find the rank of matrix> print>('Rank of matrix :',sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rank())> 
>
>

Produksjon: 

(Matrix([  [1, 0, 0],  [0, 0, 1],  [0, 0, 0]]), (0, 2))    Rank of matrix : 2>