Sin Cos-formler i trigonometri: Trigonometri, som navnet tilsier, er studiet av trekanter. Det er en viktig gren av matematikken som studerer forholdet mellom sidelengder og vinkler i den rettvinklede trekanten, og som også hjelper til med å bestemme de manglende sidelengdene eller vinklene til en trekant. Det er seks trigonometriske forhold eller funksjoner: sinus, cosinus, tangens, cosekant, sekant og cotangens, der cosecant, sekant og cotangens er de gjensidige funksjonene til de tre andre funksjonene, dvs. henholdsvis sinus, cosinus og tangens.

Et trigonometrisk forhold er definert som forholdet mellom sidelengdene til en rettvinklet trekant. Trigonometri brukes på forskjellige felt i vårt daglige liv. Det hjelper å bestemme høyden på åser eller bygninger. Det brukes også i felt som kriminologi, konstruksjon, fysikk, arkeologi, marin motorteknikk, etc.

I denne artikkelen skal vi utforske alt trigonometriformler for det meste sin og cos-formler med sine eksempler, og en liste over alle formler i trigonometri.

Innholdsfortegnelse

• Formler i trigonometri
• Sinusformel
• Cosinusformel
• Noen grunnleggende Sin Cos-formler
• Sin Cos Formler Tabell
• Sin Cos-formelliste
• Eksempler på Sin Cos-formler
• Øv problemer på Sin Cos-formler i trigonometri med eksempler

Formler i trigonometri

La oss se på en rettvinklet trekant XYZ, hvor ∠Y = 90°. La vinkelen ved toppunktet Z være θ. Siden ved siden av θ kalles tilstøtende side, og siden motsatt av θ kalles motsatt side. En hypotenuse er en side motsatt den rette vinkelen eller den lengste siden av en rett vinkel.

• sin θ = Motsatt side/hypotenus
• cos θ = Tilstøtende side/Hypotenuse
• tan θ = Motsatt side/tilliggende side
• cosec θ = 1/sin θ = Hypotenuse/Motsatt side
• sek θ = 1/ cos θ = Hypotenuse/Adjacent side
• sprinkelseng θ = 1/ tan θ = Tilstøtende side/Motsatt side

Sinusformel

Sinusen til en vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom lengden på motsatt side og lengden på hypotenusen til den gitte vinkelen. En sinusfunksjon er representert som sin.

sin θ = Motsatt side/hypotenus

Cosinusformel

Cosinus til en vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom lengden på den tilstøtende siden og lengden på hypotenusen til den gitte vinkelen. En cosinusfunksjon er representert som cos.

pandaer iterrows

cos θ = Tilstøtende side/Hypotenuse

Noen grunnleggende Sin Cos-formler

Sinus- og cosinusfunksjoner i kvadranter

• Sinusfunksjonen er positiv i første og andre kvadrant og negativ i tredje og fjerde kvadrant.
• Cosinusfunksjonen er positiv i første og fjerde kvadrant og negativ i andre og tredje kvadrant.

grader	Kvadrant	Tegn på sinusfunksjon	Tegn på Cosinus-funksjon
0° til 90°	1. kvadrant	+ (positiv)	+ (positiv)
90° til 180°	2. kvadrant	+ (positiv)	– (negativ)
180° til 270°	3. kvadrant	– (negativ)	– (negativ)
270° til 360°	4. kvadrant	– (negativ)	+ (positiv)

Den negative vinkelidentiteten til sinus- og cosinusfunksjonene

• Sinusen til en negativ vinkel er alltid lik den negative sinusen til vinkelen.

sin (– θ) = – sin θ

• Cosinus til en negativ vinkel er alltid lik cosinus til vinkelen.

cos (– θ) = cos θ

Forholdet mellom sinus- og cosinusfunksjon

sin θ = cos (90° – θ)

Gjensidige funksjoner til sinus- og cosinusfunksjonene

• En Cosecant-funksjon er den resiproke funksjonen til sinusfunksjonen.

cosec θ = 1/sin θ

• En Secant-funksjon er den gjensidige funksjonen til cosinusfunksjonen.

sek θ = 1/cos θ

Pythagoras identitet

uten ² θ + cos ² θ = 1

Periodiske identiteter til sinus- og cosinusfunksjonene

sin (θ + 2nπ) = sin θ

cos (θ + 2nπ) = cos θ

Dobbelvinkelformler for sinus- og cosinusfunksjonene

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

cos 2θ = cos ² θ – synd ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – 2 sin ² Jeg

Halvvinkelidentiteter for sinus- og cosinusfunksjonene

sin (θ/2) = ±√[(1 – cos θ)/2]

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Trippelvinkelidentiteter for sinus- og cosinusfunksjonene

sin 3θ = 3 sin θ – 4 sin ³ Jeg

cos 3θ = 4cos ³ θ – 3 cos θ

Sum- og differanseformler

• Sinus funksjon

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

• Cosinus funksjon

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Sinusloven eller sinusregelen

Sinusloven til sinusregelen er en trigonometrisk lov som gir en sammenheng mellom sidelengdene og vinklene til en trekant.

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Der a, b og c er lengdene på de tre sidene av trekanten ABC, og A, B og C er vinklene.

Kosinusloven

Loven om cosinus av cosinus-regelen brukes til å bestemme manglende eller ukjente vinkler eller sidelengder til en trekant.

en ² = b ² + c ² – 2bc cos A

b ² = c ² + a ² – 2ca cos B

c ² = a ² + b ² – 2ab cos C

Der a, b og c er lengdene på de tre sidene av trekanten ABC, og A, B og C er vinklene.

Sin Cos Formler Tabell

Her er Sin- og Cos-formlertabellen/-listen for forskjellige vinkler i grader og i radianer:

Sin Cos-formelliste

Eksempler på Sin Cos-formler

Oppgave 1: Hvis cos α = 24/25, finn verdien av sin α.

Løsning:

gitt,

cos α = 24/25

Fra de pytagoreiske identitetene har vi;

mens loop java

cos²θ + sin²θ = 1

(24/25)²+ uten²α = 1

uten²α = 1 – (24/25)²

uten²α = 1 – (576/625) = (625 – 576)/625

uten²α = (625 – 576)/625 = 49/626

sin α = √49/625 = ±7/25

Derfor er sin α = ±7/25.

Oppgave 2: Bevis formler for sin 2A og cos 2A, hvis ∠A= 30°.

Løsning:

Gitt, ∠A= 30°

Vi vet det,

1) sin 2A = 2 sin A cos A

sin 2(30°) = 2 sin 30° cos 30°

sin 60° = 2 × (1/2) × (√3/2) {Siden, sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 og sin 60° = √3/2}

√3/2 = √3/2

L.H.S = R.H.S

2) cos 2A = 2cos²A – 1

cos 2(30°) = 2cos²(30°) – 1

cos 60° = 2(√3/2)²– 1 = 3/2 – 1 {Siden, cos 60° = 1/2 og cos 30° = √3/2}

1/2 = 1/2

L.H.S = R.H.S

Derfor bevist.

Oppgave 3: Finn verdien av cos x, hvis tan x = 3/4.

Løsning:

Gitt, tan x = 3/4

Vi vet det,

tan x = motsatt side/tilstøtende side = 3/4

For å finne hypotenusen bruker vi Pythagoras teorem:

hypotenusen²= motsatt²+ tilstøtende²

H²= 3²+ 4²

H²= 9 + 16 = 25

H = √25 = 5

Nå, cos x = tilstøtende side/hypotenus

cos x = 4/5

Dermed er verdien av cos x 4/5.

Oppgave 4: Finn ∠C (i grader) og ∠A (i grader), hvis ∠B = 45°, BC = 15 tommer og AC = 12 tommer.

Løsning:

Gitt: ∠B = 45°, BC = a = 15 tommer og AC = b = 12 tommer.

Fra sinusloven har vi

a/sin A = b/sin B = c/sin C

⇒ a/sin A = b/sin B

⇒ 15/sin A = 12/sin 45°

⇒ 15/sin A = 12/(1/√2)

⇒ 15/sin A = 12√2 = 16,97

⇒ uten A = 15/16,97 = 0,8839

⇒ ∠A = synd^-1(0,8839) = 62,11°

Vi vet at summen av innvendige vinkler i en trekant er 180°.

Så, ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 62,11° + 45° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 180° – (62,11° + 45°) = 72,89°

Derfor er ∠A = 62,11° og ∠C = 72,89°.

Oppgave 5: Bevis halvvinkelidentiteter til cosinusfunksjonen.

Løsning:

Halvvinkelidentiteten til cosinusfunksjonen er:

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Fra dobbeltvinkelidentiteter har vi,

cos 2A = 2 cos²A – 1

Erstatt A med θ/2 på begge sider

⇒ cos 2(θ/2) = 2 cos²(i/2) – 1

⇒ cos θ = 2 cos²(i/2) – 1

⇒ 2cos²(θ/2) = cos θ + 1

⇒ cos²(θ/2) = (cos θ + 1)/2

⇒ cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Derfor bevist.

Øv problemer på Sin Cos-formler i trigonometri med eksempler

1. Gitt sin⁡ θ = 3/5. Finn cos θ.

2. Bevis identiteten sin⁡(2A) = 2 sin⁡A cos⁡A for A=45∘.

3. Hvis cos⁡ α = 5/13. Finn synd(2a).

4. Løs for θ hvis sin θ = cos(90∘−θ).

5. Hvis tan ⁡β = 2. Finn sin ⁡β og cos⁡ β ved å bruke den pytagoreiske identiteten.

Vanlige spørsmål om Sin Cos-formler i trigonometri med eksempler

Hva er de grunnleggende sinus- og cosinusformlene i trigonometri?

De grunnleggende sinus- og cosinusformlene er sin ⁡θ = Motsatt/Hypotenus og cos ⁡θ = Adjacent/Hypotenuse, der θ er en vinkel i en rettvinklet trekant.

Hvordan finner du sinus og cosinus til spesielle vinkler?

Spesielle vinkler som 0∘, 30∘, 45∘, 60∘ og 90∘ har spesifikke sinus- og cosinusverdier som kan huskes ved hjelp av trigonometriske tabeller eller enhetssirkelbegreper.

Hva er forholdet mellom sinus- og cosinusfunksjoner?

Sinus- og cosinusfunksjonene er relatert av identiteten sin ⁡θ = cos⁡(90∘- θ) og den pytagoreiske identiteten uten⁡ ² θ+cos⁡ ² θ = 1.

Hvordan bruker du dobbeltvinkelformlene for sinus og cosinus?

Dobbeltvinkelformlene er sin⁡(2θ) = 2sin⁡θcos⁡θ og cos⁡(2θ)=cos⁡ ² θ – synd⁡ ² Jeg. Disse brukes til å uttrykke trigonometriske funksjoner av doble vinkler i form av enkeltvinkler.

Hvordan finner du verdiene til sinus og cosinus for vinkler i forskjellige kvadranter?

Tegnene på sinus- og cosinusfunksjoner avhenger av kvadranten der vinkelen ligger:

• Første kvadrant: sin⁡ θ> 0 og cos θ> 0
• Andre kvadrant: sin ⁡θ> 0 og cos θ <0
• Tredje kvadrant: sin⁡θ <0 og cosθ < 0
• Fjerde kvadrant: sin⁡θ 0