Standardform for en parabel er y = akse2+ bx + c hvor a, b og c er reelle tall og a ikke er lik null. En parabel er definert som settet av alle punkter i et plan som er like langt fra en fast linje og et fast punkt i planet.
I denne artikkelen vil vi forstå hva en parabel er, standardligningen til en parabel, relaterte eksempler og andre i detalj.
Innholdsfortegnelse
Hva er en parabel?
En parabel er et kjeglesnitt definert som settet av alle punkter like langt fra et punkt som kalles fokus og en linje som kalles retningslinjen. Standardligningene for en parabel avhenger av dens orientering (åpningsretning) og posisjon.
Ligning av en parabel
Ligning av parabel kan skrives i standardform eller generell form, og begge er lagt til nedenfor:
Generelle ligninger for en parabel
Den generelle ligningen for en parabel er,
y = 4a(x – h) 2 + k
(eller)
x = 4a(y – k) 2 + h
Hvor (h, k) er toppunktet til en parabel.
Standardligninger av en parabel
Standardligningen til en parabel er,
y = øks 2 + bx + c
(eller)
x = er 2 + av + c
hvor, a kan aldri være null.
Deler av en parabel
Noen viktige termer og deler av en parabel er:
- Fokus: Fokus er det faste punktet til en parabel.
- Retningslinje: Retningslinjen til en parabel er linjen vinkelrett på aksen til en parabel.
- Fokalakkord: Akkorden som går gjennom fokuset til en parabel, og skjærer parabelen på to forskjellige punkter, kalles fokalakkorden.
- Brennvidde: Brennvidde er avstanden til et punkt (x1, og1) på parablen fra fokuset.
- Høyre side: En latus rektum er en fokal akkord som passerer gjennom fokuset til en parabel og er vinkelrett på parabelens akse. Lengden på latus rectum er LL’ = 4a.
- Eksentrisitet: Forholdet mellom avstanden til et punkt fra fokuset og dets avstand fra retningslinjen kalles eksentrisitet (e). For en parabel er eksentrisiteten lik 1, dvs. e = 1.
En parabel har fire standardligninger basert på orienteringen til parablen og dens akse. Hver parabel har en annen tverrakse og konjugert akse.
| Ligning av parabel | Parabel | Formler for parametere til en parabel |
|---|---|---|
| og 2 = 4aks |  Horisontal parabel |
|
| og 2 = -4aks |  Horisontal parabel |
|
| x 2 = 4ay |  Vertikal parabel |
|
| x 2 = -4ay |  Vertikal parabel |
|
Følgende er observasjonene gjort fra standardformen for ligninger av en parabel:
- En parabel er symmetrisk rundt sin akse. For eksempel, y2= 4ax er symmetrisk med x-aksen, mens x2= 4ay er symmetrisk i forhold til y-aksen.
- Hvis en parabel er symmetrisk om x-aksen, åpner parablen seg mot høyre hvis x-koeffisienten er positiv og mot venstre hvis x-koeffisienten er negativ.
- Hvis en parabel er symmetrisk om y-aksen, åpner parablen seg oppover hvis y-koeffisienten er positiv og nedover hvis y-koeffisienten er negativ.
Følgende er standardligningene til en parabel når symmetriaksen enten er parallell med x-aksen eller y-aksen og toppunktet ikke er ved origo.
| Ligning av parabel | Parabel | Formler for parametere til en parabel |
|---|---|---|
| (og – k)2= 4a(x – h) |  Horisontal parabel |
|
| (og – k)2= -4a(x – h) |  Horisontal parabel |
|
| (x – h)2= 4a(y – k) |  Vertikal parabel |
|
| (x – h)2= -4a(y – k) |  Vertikal parabel |
|
Ligning av parabelavledning
La P være et punkt på parabelen hvis koordinater er (x, y). Fra definisjonen av en parabel er avstanden fra punktet P til fokuset (F) lik avstanden til det samme punktet P til retningslinjen til en parabel. La oss nå se på et punkt X på retningslinjen, hvis koordinater er (-a, y).
Fra definisjonen av eksentrisiteten til en parabel har vi
e = PF/PX = 1
⇒ PF = PX
Koordinatene til fokuset er (a, 0). Nå, ved å bruke formelen for koordinatavstand, kan vi finne avstanden til punktet P (x, y) til fokuset F (a, 0).
PF = √[(x – a)2+ (og – 0)2]
⇒ PF = √[(x – a)2+ og2] ------ (1)
Ligningen til retningslinjen er x + a = 0. For å finne avstanden til PX bruker vi den vinkelrette avstandsformelen.
PX = (x + a)/√[12+02]
⇒ PX = x +a —————— (2)
Vi vet allerede at PF = PX. Så sett likhetstegn mellom likningene (1) og (2).
√[(x – a)2+ og2] = (x + a)
Ved å kvadrere på begge sider får vi,
⇒ [(x – a)2+ og2] = (x + a)2
⇒ x2+ a2– 2ax + y2= x2+ a2+ 2aks
⇒ og2– 2ax = 2ax
⇒ og2= 2ax + 2ax ⇒ og 2 = 4aks
Dermed har vi utledet ligningen til en parabel. På samme måte kan vi utlede standardligningene til de tre andre parablene.
- og2= -4aks
- x2= 4ay
- x2= -4ay
og 2 = 4ax, og 2 = -4aks, x 2 = 4ay, og x 2 = -4ay er standardligningene til en parabel.
Artikler relatert til parabel:
- Likning av sirkel
- Ellipselikningen
- Ligning av hyperbel
- Anvendelser av parabel i det virkelige liv
Eksempler på ligning av en parabel
Eksempel 1: Finn lengden på latus rektum, fokus og toppunkt, hvis ligningen til parablen er y 2 = 12x.
Løsning:
gitt,
Ligningen til parablen er y2= 12x
Ved å sammenligne den gitte ligningen med standardformen y2= 4aks
4a = 12
⇒ a = 12/4 = 3
Vi vet det,
Høyre side av en parabel = 4a = 4 (3) = 12
Nå, fokus på parabelen = (a, 0) = (3, 0)
Toppunktet til den gitte parabelen = (0, 0)
Eksempel 2: Finn ligningen til parabelen som er symmetrisk om X-aksen, og går gjennom punktet (-4, 5).
Løsning:
gitt,
Parabel er symmetrisk om X-aksen og har toppunktet i origo.
Dermed kan ligningen ha formen y2= 4ax eller y2= -4ax, hvor tegnet avhenger av om parabelen åpner seg mot venstre eller høyre side.
Parabelen må åpne til venstre siden den går gjennom (-4, 5) som ligger i andre kvadrant.
Så ligningen vil være: y2= -4aks
Ved å erstatte (-4, 5) i ligningen ovenfor,
⇒ (5)2= -4a(-4)
⇒ 25 = 16a
⇒ a = 25/16
Derfor er ligningen til parablen: y2= -4(25/16)x (eller) 4y2= -25x.
Eksempel 3: Finn koordinatene til fokuset, aksen, likningen til retningslinjen og latus endetarmen til parabelen x 2 = 16 år.
Løsning:
gitt,
Ligningen til parablen er: x2= 16 år
Ved å sammenligne den gitte ligningen med standardformen x2= 4ay,
4a = 16 ⇒ a = 4
Koeffisienten til y er positiv, så parablen åpner seg oppover.
Dessuten er symmetriaksen langs den positive Y-aksen.
Derfor,
Fokus for parabelen er (a, 0) = (4, 0).
Ligningen til retningslinjen er y = -a, dvs. y = -4 eller y + 4 = 0.
Lengde på latus rectum = 4a = 4(4) = 16.
Eksempel 4: Finn lengden på latus rektum, fokus og toppunkt hvis ligningen til en parabel er 2(x-2) 2 + 16 = y.
Løsning:
gitt,
Ligningen for en parabel er 2(x-2)2+ 16 = og
Ved å sammenligne den gitte ligningen med den generelle ligningen til en parabel y = a(x – h)2+ k, vi får
a = 2
(h, k) = (2, 16)
Vi vet det,
Lengde på latus rectum av en parabel = 4a
= 4(2) = 8
Nå, fokus= (a, 0) = (2, 0)
Nå, Vertex = (2, 16)
Eksempel 5: Ligningen til en parabel er x 2 – 12x + 4y – 24 = 0, finn deretter toppunktet, fokuset og retningslinjen.
Løsning:
gitt,
Ligningen til parablen er x2– 12x + 4y – 24 = 0
⇒ x2– 12x + 36 – 36 + 4y – 24 = 0
⇒ (x – 6)2+ 4 år – 60 = 0
⇒ (x – 6)2= -4(y + 15)
Oppnådd ligning er i form av (x – h)2= -4a(y – k)
-4a = -4 ⇒ a = 1
Så, toppunktet = (h, k) = (6, – 15)
Fokus = (h, k – a) = (6, -15-1) = (6, -16)
Ligningen for retningslinjen er y = k + a
⇒ y = -15 + 1 ⇒ y = -14
⇒ y + 14 = 0
Vanlige spørsmål om ligning av parabel
Hvordan finner du standardligningen til en parabel?
Standard form for parabel er y2= 4ax eller x2= 4ay.
Hva er normalligningen til parabel?
Normallikningen til parablen y2= 4ax med en helning m er gitt som: y = mx – 02:00 – am 3
Hvordan finner du toppunktet til en parabel?
For gitt parabel: y = akse2+ bx + c dets toppunkt kan bli funnet ved å bruke formelen x = − b/2a. Plugg denne x-verdien tilbake i ligningen for å finne den tilsvarende y-koordinaten.
teskje vs spiseskje