logo

Topologisk sortering

Topologisk sortering for Regissert asyklisk graf (DAG) er en lineær rekkefølge av toppunkter slik at for hver rettet kant u-v, toppunkt i kommer før i i bestillingen.

Merk: Topologisk sortering for en graf er ikke mulig hvis grafen ikke er en DAG .



Eksempel:

Inndata: Graf :

eksempel

Eksempel



Produksjon: 5 4 2 3 1 0
Forklaring: Det første toppunktet i topologisk sortering er alltid et toppunkt med en in-grad på 0 (et toppunkt uten innkommende kanter). En topologisk sortering av følgende graf er 5 4 2 3 1 0. Det kan være mer enn én topologisk sortering for en graf. En annen topologisk sortering av følgende graf er 4 5 2 3 1 0.

konverter streng til heltall
Anbefalt praksisDFS-basert løsning for å finne en topologisk sortering har allerede vært diskutert.

Topologisk rekkefølge er kanskje ikke unik:

Topologisk sortering er et avhengighetsproblem der fullføring av en oppgave avhenger av fullføring av flere andre oppgaver hvis rekkefølge kan variere. La oss forstå dette konseptet med et eksempel:



Anta at vår oppgave er å nå skolen vår, og for å nå dit må vi først kle på oss. Avhengighetene til å bruke klær er vist i avhengighetsgrafen nedenfor. For eksempel kan du ikke bruke sko før du bruker sokker.

1

Fra bildet ovenfor ville du allerede ha innsett at det finnes flere måter å kle seg på, bildet nedenfor viser noen av disse måtene.

strengformat i java

2

Kan du liste all mulig topologisk rekkefølge av å kle seg for over avhengighetsgrafen?

Algoritme for topologisk sortering ved bruk av DFS:

Her er en trinn-for-trinn-algoritme for topologisk sortering ved hjelp av Depth First Search (DFS):

  • Lag en graf med n hjørner og m -rettede kanter.
  • Initialiser en stabel og en besøkt rekke av størrelse n .
  • Gjør følgende for hvert ubesøkt toppunkt i grafen:
    • Kall DFS-funksjonen med toppunktet som parameter.
    • I DFS-funksjonen merker du toppunktet som besøkt og kaller DFS-funksjonen rekursivt for alle ubesøkte naboer til toppunktet.
    • Når alle naboene har blitt besøkt, skyver du toppunktet på stabelen.
  • Tross alt er hjørnene besøkt, pop elementer fra stabelen og legg dem til utdatalisten til stabelen er tom.
  • Den resulterende listen er den topologisk sorterte rekkefølgen av grafen.

Illustrasjonstopologisk sorteringsalgoritme:

Bildet nedenfor er en illustrasjon av tilnærmingen ovenfor:

Topologisk sortering

Overordnet arbeidsflyt av topologisk sortering

Trinn 1:

  • Vi starter DFS fra node 0 fordi den har null innkommende noder
  • Vi skyver node 0 i stabelen og flytter til neste node med minimum antall tilstøtende noder, dvs. node 1.

fil

Steg 2:

  • I dette trinnet, fordi det ikke er noen ved siden av denne noden, så skyv node 1 i stabelen og gå til neste node.

fil

Trinn 3:

  • I dette trinnet velger vi node 2 fordi den har minimum antall tilstøtende noder etter 0 og 1.
  • Vi kaller DFS for node 2 og skyver alle nodene som kommer på kryss og tvers fra node 2 i omvendt rekkefølge.
  • Så trykk 3 og deretter 2.

fil

Trinn 4:

  • Vi kaller nå DFS for node 4
  • Fordi 0 og 1 allerede er til stede i stabelen, så vi bare skyver node 4 i stabelen og returnerer.

fil

rujira banerjee

Trinn 5:

  • I dette trinnet, fordi alle tilstøtende noder av 5 allerede er i stabelen, skyver vi node 5 i stabelen og går tilbake.

fil

ubuntu bygge viktig

Trinn 6: Dette er det siste trinnet i den topologiske sorteringen der vi henter alt elementet fra stabelen og skriver det ut i den rekkefølgen.

Nedenfor er implementeringen av tilnærmingen ovenfor:

C++
#include  using namespace std; // Function to perform DFS and topological sorting void topologicalSortUtil(int v, vector>& adj, vektor & besøkt, stable & Stack) { // Merk gjeldende node som besøkt besøkt[v] = sant;  // Gjenta for alle tilstøtende hjørner for (int i : adj[v]) { if (!besøkt[i]) topologiskSortUtil(i, adj, besøkt, Stack);  } // Skyv gjeldende toppunkt til stabel som lagrer resultatet Stack.push(v); } // Funksjon for å utføre Topologisk Sortering void topologicalSort(vector>& adj, int V) { stabel Stable; // Stable for å lagre resultatvektoren besøkt(V, usann);  // Kall den rekursive hjelpefunksjonen for å lagre // Topologisk sortering starter fra alle toppunkter én etter // én for (int i = 0; i< V; i++) {  if (!visited[i])  topologicalSortUtil(i, adj, visited, Stack);  }  // Print contents of stack  while (!Stack.empty()) {  cout << Stack.top() << ' ';  Stack.pop();  } } int main() {  // Number of nodes  int V = 4;  // Edges  vector> kanter = { { 0, 1 }, { 1, 2 }, { 3, 1 }, { 3, 2 } };  // Graf representert som en tilgrensende listevektor> adj(V);  for (auto i : kanter) { adj[i[0]].push_back(i[1]);  } cout<< 'Topological sorting of the graph: ';  topologicalSort(adj, V);  return 0; }>
Java
import java.util.*; public class TopologicalSort {  // Function to perform DFS and topological sorting  static void  topologicalSortUtil(int v, List> adj, boolsk[] besøkt, stabel stack) { // Merk gjeldende node som besøkt besøkt[v] = sant;  // Gjenta for alle tilstøtende hjørner for (int i : adj.get(v)) { if (!besøkt[i]) topologicalSortUtil(i, adj, besøkt, stack);  } // Skyv gjeldende toppunkt til stabelen som lagrer // resultatet stack.push(v);  } // Funksjon for å utføre Topological Sort static void topologicalSort(List> adj, int V) { // Stack for å lagre resultatet Stack stack = ny stabel();  boolsk[] besøkt = ny boolsk[V];  // Kall den rekursive hjelpefunksjonen for å lagre // Topologisk sortering starter fra alle toppunktene en // etter en for (int i = 0; i< V; i++) {  if (!visited[i])  topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack);  }  // Print contents of stack  System.out.print(  'Topological sorting of the graph: ');  while (!stack.empty()) {  System.out.print(stack.pop() + ' ');  }  }  // Driver code  public static void main(String[] args)  {  // Number of nodes  int V = 4;  // Edges  List> edges = new ArrayList();  edges.add(Arrays.asList(0, 1));  edges.add(Arrays.asList(1, 2));  edges.add(Arrays.asList(3, 1));  edges.add(Arrays.asList(3, 2));  // Graf representert som en tilstøtende liste Liste> adj = ny ArrayList(V);  for (int i = 0; i< V; i++) {  adj.add(new ArrayList());  }  for (List i : edges) { adj.get(i.get(0)).add(i.get(1));  } topologiskSort(adj, V);  } }>
Python3
def topologicalSortUtil(v, adj, visited, stack): # Mark the current node as visited visited[v] = True # Recur for all adjacent vertices for i in adj[v]: if not visited[i]: topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack) # Push current vertex to stack which stores the result stack.append(v) # Function to perform Topological Sort def topologicalSort(adj, V): # Stack to store the result stack = [] visited = [False] * V # Call the recursive helper function to store # Topological Sort starting from all vertices one by # one for i in range(V): if not visited[i]: topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack) # Print contents of stack print('Topological sorting of the graph:', end=' ') while stack: print(stack.pop(), end=' ') # Driver code if __name__ == '__main__': # Number of nodes V = 4 # Edges edges = [[0, 1], [1, 2], [3, 1], [3, 2]] # Graph represented as an adjacency list adj = [[] for _ in range(V)] for i in edges: adj[i[0]].append(i[1]) topologicalSort(adj, V)>
C#
using System; using System.Collections.Generic; class Program {  // Function to perform DFS and topological sorting  static void TopologicalSortUtil(int v,  List> adj, bool[] besøkt, Stack stack) { // Merk gjeldende node som besøkt besøkt[v] = sant;  // Gjenta for alle tilstøtende hjørner foreach(int i i adj[v]) { if (!besøkt[i]) TopologicalSortUtil(i, adj, besøkt, stack);  } // Skyv gjeldende toppunkt til stabelen som lagrer // resultatstabelen. Push(v);  } // Funksjon for å utføre Topological Sort static void TopologicalSort(List> adj, int V) { // Stack for å lagre resultatet Stack stabel = ny stabel ();  bool[] besøkt = ny bool[V];  // Kall den rekursive hjelpefunksjonen for å lagre // Topologisk sortering starter fra alle toppunktene en // etter en for (int i = 0; i< V; i++) {  if (!visited[i])  TopologicalSortUtil(i, adj, visited, stack);  }  // Print contents of stack  Console.Write('Topological sorting of the graph: ');  while (stack.Count>0) { Console.Write(stack.Pop() + ' ');  } } // Driver code static void Main(string[] args) { // Antall noder int V = 4;  // Kantliste> kanter = ny liste>{ ny liste { 0, 1 }, ny liste { 1, 2 }, ny liste { 3, 1 }, ny liste { 3, 2 } };  // Graf representert som en tilstøtende liste Liste> adj = ny liste>();  for (int i = 0; i< V; i++) {  adj.Add(new List ());  } foreach(Liste i i kanter) { adj[i[0]].Add(i[1]);  } TopologiskSort(adj, V);  } }>
Javascript
// Function to perform DFS and topological sorting function topologicalSortUtil(v, adj, visited, stack) {  // Mark the current node as visited  visited[v] = true;  // Recur for all adjacent vertices  for (let i of adj[v]) {  if (!visited[i])  topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack);  }  // Push current vertex to stack which stores the result  stack.push(v); } // Function to perform Topological Sort function topologicalSort(adj, V) {  // Stack to store the result  let stack = [];  let visited = new Array(V).fill(false);  // Call the recursive helper function to store  // Topological Sort starting from all vertices one by  // one  for (let i = 0; i < V; i++) {  if (!visited[i])  topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack);  }  // Print contents of stack  console.log('Topological sorting of the graph: ');  while (stack.length>0) { console.log(stack.pop() + ' ');  } } // Driverkode (() => { // Antall noder const V = 4; // Edges const edges = [[0, 1], [1, 2], [3, 1], [3, 2]]; // Graf representert som en adjacency list const adj = Array.from({ length: V }, () => []); (i[1]); } topologicalSort(adj, V })();>

Produksjon
Topological sorting of the graph: 3 0 1 2>

Tidskompleksitet: O(V+E). Algoritmen ovenfor er ganske enkelt DFS med en ekstra stabel. Så tidskompleksitet er det samme som DFS
Ekstra plass: O(V). Den ekstra plassen er nødvendig for stabelen

Topologisk sortering ved hjelp av BFS:

C++
#include  #include  #include  using namespace std; // Class to represent a graph class Graph {  int V; // No. of vertices  list * adj; // Peker til en matrise som inneholder // adjacency lists public: Graph(int V); // Konstruktør void addEdge(int v, int w); // Funksjon for å legge til en kant til grafen void topologicalSort(); // skriver ut en topologisk sort av // hele grafen }; Graph::Graph(int V) { this->V = V;  adj = ny liste [V]; } void Graph::addEdge(int v, int w) { adj[v].push_back(w); // Legg til w til vs liste. } // Funksjon for å utføre Topological Sort void Graph::topologicalSort() { // Lag en vektor for å lagre i-grad av alle toppunktvektorer in_degree(V, 0);  // Gå gjennom tilgrensende lister for å fylle ut_grad av // toppunkter for (int v = 0; v< V; ++v) {  for (auto const& w : adj[v])  in_degree[w]++;  }  // Create a queue and enqueue all vertices with  // in-degree 0  queue q;  for (int i = 0; i< V; ++i) {  if (in_degree[i] == 0)  q.push(i);  }  // Initialize count of visited vertices  int count = 0;  // Create a vector to store topological order  vector top_order;  // En etter en dekø-vertices fra køen og enqueue // tilstøtende vertices hvis in-degree of adjacent blir 0 mens (!q.empty()) { // Trekk ut foran køen (eller utfør dequeue) // og legg den til topologisk rekkefølge int u = q.front();  q.pop();  top_order.push_back(u);  // Iterer gjennom alle de nærliggende nodene // av node u som ikke er i kø og reduser deres in-grad // med 1 liste ::iterator itr;  for (itr = adj[u].begin(); itr != adj[u].end(); ++itr) // Hvis in-degree blir null, legg den til i køen if (--in_degree[*itr) ] == 0) q.push(*itr);  telle++;  } // Sjekk om det var en syklus hvis (tell != V) { cout<< 'Graph contains cycle
';  return;  }  // Print topological order  for (int i : top_order)  cout << i << ' '; } // Driver code int main() {  // Create a graph given in the above diagram  Graph g(6);  g.addEdge(5, 2);  g.addEdge(5, 0);  g.addEdge(4, 0);  g.addEdge(4, 1);  g.addEdge(2, 3);  g.addEdge(3, 1);  cout << 'Following is a Topological Sort of the given '  'graph
';  g.topologicalSort();  return 0; }>
Java
import java.util.ArrayList; import java.util.LinkedList; import java.util.Queue; // Class to represent a graph class Graph {  private int V; // No. of vertices  private ArrayList [] adj; // Adjacency list // representasjon av // grafen // Constructor Graph(int V) { this.V = V;  adj = ny ArrayList[V];  for (int i = 0; i< V; ++i)  adj[i] = new ArrayList();  }  // Function to add an edge to the graph  void addEdge(int v, int w)  {  adj[v].add(w); // Add w to v’s list.  }  // Function to perform Topological Sort  void topologicalSort()  {  // Create an array to store in-degree of all  // vertices  int[] inDegree = new int[V];  // Calculate in-degree of each vertex  for (int v = 0; v < V; ++v) {  for (int w : adj[v]) {  inDegree[w]++;  }  }  // Create a queue and enqueue all vertices with  // in-degree 0  Queue q = new LinkedList();  for (int i = 0; i< V; ++i) {  if (inDegree[i] == 0)  q.add(i);  }  // Initialize count of visited vertices  int count = 0;  // Create an ArrayList to store topological order  ArrayList topOrder = new ArrayList();  // En etter en dekø-vertices fra køen og // setter tilstøtende vertices hvis in-degree av // adjacent blir 0 mens (!q.isEmpty()) { // Trekk ut forsiden av køen og legg den til // topologisk rekkefølge int u = q.poll();  topOrder.add(u);  telle++;  // Iterer gjennom alle nabonodene til // dekøet node u og reduser deres in-degree // med 1 for (int w : adj[u]) { // Hvis in-degree blir null, legg den til // køen if (-inDegree[w] == 0) q.add(w);  } } // Sjekk om det var en syklus if (tell != V) { System.out.println('Graf inneholder syklus');  komme tilbake;  } // Skriv ut topologisk rekkefølge for (int i : topOrder) System.out.print(i + ' ');  } } // Driverkode public class Main { public static void main(String[] args) { // Lag en graf gitt i diagrammet ovenfor Graph g = new Graph(6);  g.addEdge(5, 2);  g.addEdge(5, 0);  g.addEdge(4, 0);  g.addEdge(4, 1);  g.addEdge(2, 3);  g.addEdge(3, 1);  System.out.println( 'Følgende er en topologisk sortering av den gitte grafen');  g.topologicalSort();  } }>
Python3
from collections import defaultdict class Graph: def __init__(self, vertices): # Number of vertices self.V = vertices # Dictionary to store adjacency lists self.adj = defaultdict(list) def addEdge(self, u, v): # Function to add an edge to the graph self.adj[u].append(v) def topologicalSort(self): # Function to perform Topological Sort # Create a list to store in-degree of all vertices in_degree = [0] * self.V # Traverse adjacency lists to fill in_degree of vertices for i in range(self.V): for j in self.adj[i]: in_degree[j] += 1 # Create a queue and enqueue all vertices with in-degree 0 q = [] for i in range(self.V): if in_degree[i] == 0: q.append(i) # Initialize count of visited vertices count = 0 # Create a list to store topological order top_order = [] # One by one dequeue vertices from queue and enqueue # adjacent vertices if in-degree of adjacent becomes 0 while q: # Extract front of queue (or perform dequeue) # and add it to topological order u = q.pop(0) top_order.append(u) # Iterate through all its neighbouring nodes # of dequeued node u and decrease their in-degree # by 1 for node in self.adj[u]: # If in-degree becomes zero, add it to queue in_degree[node] -= 1 if in_degree[node] == 0: q.append(node) count += 1 # Check if there was a cycle if count != self.V: print('Graph contains cycle') return # Print topological order print('Topological Sort:', top_order) # Driver code if __name__ == '__main__': # Create a graph given in the above diagram g = Graph(6) g.addEdge(5, 2) g.addEdge(5, 0) g.addEdge(4, 0) g.addEdge(4, 1) g.addEdge(2, 3) g.addEdge(3, 1) print('Following is a Topological Sort of the given graph') g.topologicalSort()>
JavaScript
// Class to represent a graph class Graph {  constructor(V) {  this.V = V; // No. of vertices  this.adj = new Array(V); // Array containing adjacency lists  for (let i = 0; i < V; i++) {  this.adj[i] = [];  }  }  // Function to add an edge to the graph  addEdge(v, w) {  this.adj[v].push(w); // Add w to v’s list.  }  // Function to perform Topological Sort  topologicalSort() {  // Create a array to store in-degree of all vertices  let inDegree = new Array(this.V).fill(0);  // Traverse adjacency lists to fill inDegree of vertices  for (let v = 0; v < this.V; v++) {  for (let w of this.adj[v]) {  inDegree[w]++;  }  }  // Create a queue and enqueue all vertices with in-degree 0  let queue = [];  for (let i = 0; i < this.V; i++) {  if (inDegree[i] === 0) {  queue.push(i);  }  }  // Initialize count of visited vertices  let count = 0;  // Create an array to store topological order  let topOrder = [];  // One by one dequeue vertices from queue and enqueue  // adjacent vertices if in-degree of adjacent becomes 0  while (queue.length !== 0) {  // Extract front of queue and add it to topological order  let u = queue.shift();  topOrder.push(u);  // Iterate through all its neighboring nodes  // of dequeued node u and decrease their in-degree by 1  for (let w of this.adj[u]) {  // If in-degree becomes zero, add it to queue  if (--inDegree[w] === 0) {  queue.push(w);  }  }  count++;  }  // Check if there was a cycle  if (count !== this.V) {  console.log('Graph contains cycle');  return;  }  // Print topological order  console.log('Topological Sort of the given graph:');  console.log(topOrder.join(' '));  } } // Driver code // Create a graph given in the above diagram let g = new Graph(6); g.addEdge(5, 2); g.addEdge(5, 0); g.addEdge(4, 0); g.addEdge(4, 1); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(3, 1); console.log('Following is a Topological Sort of the given graph:'); g.topologicalSort(); //This code is contributed by Utkarsh>

Produksjon
Following is a Topological Sort of the given graph 4 5 2 0 3 1>

Tidskompleksitet:

Tidskompleksiteten for å konstruere grafen er O(V + E), der V er antall hjørner og E er antall kanter.

Tidskompleksiteten for å utføre topologisk sortering ved bruk av BFS er også O(V + E), der V er antall toppunkter og E er antall kanter. Dette er fordi hvert toppunkt og hver kant besøkes én gang under BFS-traverseringen.

Plass kompleksitet:

Plasskompleksiteten for å lagre grafen ved hjelp av en tilstøtende liste er O(V + E), der V er antall toppunkter og E er antall kanter.

Ytterligere plass brukes til å lagre toppen av toppene, noe som krever O(V) plass.

En kø brukes for BFS-traversering, som kan inneholde på de fleste V-punktene. Dermed er plasskompleksiteten for køen O(V).

govinda

Totalt sett er romkompleksiteten til algoritmen O(V + E) på grunn av lagringen av grafen, in-degree array og køen.

Oppsummert er tidskompleksiteten til den angitte implementeringen O(V + E), og romkompleksiteten er også O(V + E).

Merk: Her kan vi også bruke en matrise i stedet for stabelen. Hvis matrisen brukes, skriv ut elementene i omvendt rekkefølge for å få den topologiske sorteringen.

Fordeler med topologisk sortering:

  • Hjelper med å planlegge oppgaver eller hendelser basert på avhengigheter.
  • Oppdager sykluser i en rettet graf.
  • Effektiv for å løse problemer med forrangsbegrensninger.

Ulemper med topologisk sortering:

  • Gjelder kun for dirigerte asykliske grafer (DAG), ikke egnet for sykliske grafer.
  • Kan ikke være unik, flere gyldige topologiske rekkefølger kan eksistere.
  • Ineffektiv for store grafer med mange noder og kanter.

Anvendelser av topologisk sort:

  • Oppgaveplanlegging og prosjektledelse.
  • Avhengighetsløsning i pakkehåndteringssystemer.
  • Bestemme rekkefølgen for kompilering i programvarebyggesystemer.
  • Deadlock-deteksjon i operativsystemer.
  • Kursplanlegging ved universiteter.

Relaterte artikler:

  • Kahns algoritme for topologisk sortering
  • Alle topologiske typer av en rettet asyklisk graf