Vapnik-Chervonenkis (VC) dimensjonen er et mål på kapasiteten til et hypotesesett for å passe til forskjellige datasett. Det ble introdusert av Vladimir Vapnik og Alexey Chervonenkis på 1970-tallet og har blitt et grunnleggende begrep i statistisk læringsteori. VC-dimensjonen er et mål på kompleksiteten til en modell, som kan hjelpe oss å forstå hvor godt den kan passe til ulike datasett.
VC-dimensjonen til et hypotesesett H er det største antallet punkter som kan knuses av H. Et hypotesesett H knuser et sett med punkter S hvis det, for hver mulig merking av punktene i S, eksisterer en hypotese i H som klassifiserer punktene riktig. Med andre ord, et hypotesesett knuser et sett med punkter hvis det kan passe til enhver mulig merking av disse punktene.
Bounds of VC – Dimensjon
VC-dimensjonen gir både øvre og nedre grenser for antall treningseksempler som kreves for å oppnå et gitt nivå av nøyaktighet. Den øvre grensen for antall treningseksempler er logaritmisk i VC-dimensjonen, mens den nedre grensen er lineær.
Anvendelser av VC – Dimension
VC-dimensjonen har et bredt spekter av bruksområder maskinlæring og statistikk. For eksempel brukes den til å analysere kompleksiteten til nevrale nettverk, støtte vektormaskiner og beslutningstrær. VC-dimensjonen kan også brukes til å designe nye læringsalgoritmer som er robuste mot støy og kan generalisere godt til usynlige data.
VC-dimensjonen kan utvides til mer komplekse læringsscenarier, som flerklasseklassifisering og regresjon. Konseptet med VC-dimensjonen kan også brukes på andre områder av informatikk, for eksempel beregningsgeometri og grafteori.
Kodeimplementering for VC – Dimensjon
VC-dimensjonen er et teoretisk konsept som ikke kan beregnes direkte fra data. Imidlertid kan vi estimere VC-dimensjonen for et gitt hypotesesett ved å telle antall punkter som kan knuses av settet. I Python kan vi implementere en funksjon som beregner VC-dimensjonen til et gitt hypotesesett ved å bruke denne tilnærmingen.
Funksjonen tar et hypotesesett som input og beregner VC-dimensjonen ved å bruke brute-force-tilnærmingen for å sjekke alle mulige kombinasjoner av punkter og etiketter. Den bruker itertools-modulen til å generere alle mulige kombinasjoner av punkter og etiketter og sjekker deretter om hypotesesettet kan knuse hver kombinasjon. Funksjonen returnerer den estimerte VC-dimensjonen til hypotesesettet.
La oss illustrere bruken av denne funksjonen med noen eksempler:
Eksempel 1:
Anta at vi har et hypotesesett som består av alle lineære funksjoner av formen f(x) = ax + b, der a og b er reelle tall. Vi kan definere denne hypotesen i Python som følger:
Python
arraylist i java sortering
import> itertools> > > def> vc_dimension(hypothesis_set):> >'''> >Estimates the VC dimension of a hypothesis set using the brute-force approach.> >'''> >n>=> 4> >while> True>:> >points>=> [(i, j)>for> i>in> range>(n)>for> j>in> range>(>2>)]> >shattered_sets>=> 0> >for> combination>in> itertools.combinations(points, n):> >is_shattered>=> True> >for> labeling>in> itertools.product([>0>,>1>], repeat>=>n):> >hypotheses>=> [hypothesis_set(point)>for> point>in> combination]> >if> set>(hypotheses) !>=> set>(labeling):> >is_shattered>=> False> >break> >if> is_shattered:> >shattered_sets>+>=> 1> >else>:> >break> >if> not> is_shattered:> >break> >n>+>=> 1> >return> n>->1> if> shattered_sets>=>=> 2>*>*>n>else> n>->2> > > # Example 1: linear function hypothesis set> def> linear_function(point):> >x, y>=> point> >return> int>(y>>=> x)> > > print>(vc_dimension(linear_function))> |
java kommentarer
>
>
Produksjon:
2>
I eksempel 1 implementerer linear_function-funksjonen et enkelt lineært funksjonshypotesesett som returnerer 1 hvis y-koordinaten til inngangspunktet er større enn eller lik x-koordinaten, og 0 ellers. vc_dimension-funksjonen brukes deretter til å estimere VC-dimensjonen til dette hypotesesettet, som er 2.
Eksempel 2:
Anta at vi har et hypotesesett som består av alle andregradsfunksjoner av formen f(x) = ax2+ bx + c, hvor a, b og c er reelle tall. Vi kan definere dette hypotese satt i Python som følger:
Python
import> itertools> > > def> vc_dimension(hypothesis_set):> >'''> >Estimates the VC dimension of a hypothesis set using the brute-force approach.> >'''> >n>=> 5> >while> True>:> >points>=> [(i, j)>for> i>in> range>(n)>for> j>in> range>(>2>)]> >shattered_sets>=> 0> >for> combination>in> itertools.combinations(points, n):> >is_shattered>=> True> >for> labeling>in> itertools.product([>0>,>1>], repeat>=>n):> >hypotheses>=> [hypothesis_set(point)>for> point>in> combination]> >if> set>(hypotheses) !>=> set>(labeling):> >is_shattered>=> False> >break> >if> is_shattered:> >shattered_sets>+>=> 1> >else>:> >break> >if> not> is_shattered:> >break> >n>+>=> 1> >return> n>->1> if> shattered_sets>=>=> 2>*>*>n>else> n>->2> > > # Example 2: quadratic function hypothesis set> def> quadratic_function(point):> >x, y>=> point> >return> int>(y>>=> x>*>*>2>)> > > print>(vc_dimension(quadratic_function))> |
>
>
java tilføy streng
Produksjon:
3>
I eksempel 2 implementerer funksjonen quadratic_function et mer komplekst kvadratisk funksjonshypotesesett som returnerer 1 hvis y-koordinaten til inngangspunktet er større enn eller lik kvadratet til x-koordinaten, og 0 ellers. vc_dimension-funksjonen brukes deretter til å estimere VC-dimensjonen til dette hypotesesettet, som er 3.
Konklusjon
VC-dimensjonen er et grunnleggende konsept i statistisk læringsteori som måler kompleksiteten til et hypotesesett. Det gir både øvre og nedre grenser for antall treningseksempler som kreves for å oppnå et gitt nivå av nøyaktighet. I Python kan vi estimere VC-dimensjonen til et gitt hypotesesett ved å bruke en brute-force-tilnærming som sjekker alle mulige kombinasjoner av punkter og etiketter. VC-dimensjonen har et bredt spekter av applikasjoner innen maskinlæring og statistikk og kan utvides til mer komplekse læringsscenarier.