Korde i en sirkel er linjen som forbinder to punkter på omkretsen av sirkelen. En sirkel kan ha forskjellige akkorder og den største akkorden i en sirkel er sirkelens diameter. Vi kan enkelt beregne lengden på akkorden ved å bruke Chord Length Formula. Som navnet antyder er det formelen for å beregne lengden på akkorden i en sirkel i geometri.

I denne artikkelen vil vi lære om definisjonen av akkorden, teoremer til akkordene og sirkelen, forklare dens egenskaper og formlene for å beregne lengden på akkorden ved hjelp av forskjellige metoder. Artikkelen har også noen løste prøveproblemer for bedre forståelse.

Innholdsfortegnelse

• Sirkeldefinisjon
• Definisjon av en sirkelakkord
• Hva er Chord Length Formula?
• Akkord av en sirkel teoremer
• Egenskaper til akkorder i en sirkel
• Løste problemer
• Vanlige spørsmål

Sirkeldefinisjon

En sirkel er en perfekt rund form som består av alle punkter i et plan som er plassert i en gitt avstand fra et gitt punkt. De består av en lukket buet linje rundt et sentralt punkt. Punktene på linjen er i samme avstand fra det sentrale punktet. Avstanden til sentrum av en sirkel kalles en radius.

Definisjon av en sirkelakkord

Linjestykket som forbinder to punkter på omkretsen av sirkelen er kjent som akkorden til en sirkel. Siden diameteren også forbinder de to punktene på omkretsen av en sirkel, er den også en korde til en sirkel. Faktisk er diameteren den lengste korden til sirkelen. Med andre ord er akkorden et linjestykke hvis begge ender ligger på omkretsen av en sirkel. Følgende illustrasjon kan hjelpe oss å forstå mer.

Hva er Chord Length Formula?

Det er to grunnleggende metoder eller formler for å beregne lengden på akkorden. en kordelengde kan bestemmes ved å bruke den vinkelrette avstanden fra sentrum av sirkelen så vel som ved den trigonometriske metoden. Dermed kan lengden på en akkord bli funnet

• Bruker Pythagoras teorem
• Bruke Cosinusloven

La oss forstå disse metodene i detalj som følger:

Metode 1: Bruke Pythagoras teorem

I følgende diagram for en akkord, som vi kjenner, halverer vinkelrett tegnet fra midten av sirkelen til akkorden den i to halvdeler.

I trekanter OAM, ved hjelp av Pythagoras teorem ,

r²= x²+ d²

⇒ x²= r²– d²

⇒ x = √(r²– d²)

Siden x er halve lengden av akkorden,

Således er akkordlengden for enhver sirkel med sin vinkelrette avstand fra sentrum kjent som

Lengden på en akkord i en sirkel = 2 ×[√(r ² – d ² )]

Hvor,

• r er radiusen til sirkelen, og
• d er den vinkelrette avstanden mellom sirkelsentrum og akkord.

Metode 2: Bruk av Cosinusloven

Som vi vet for en trekant ABC, med sidene a, b og c, er den Kosinusloven stater,

c ² = a ² + b ² – 2ab cos C

Ved å bruke denne loven i følgende diagram av en akkord som undertrykker θ-vinkelen i sentrum av sirkelen, kan vi finne lengden på akkorden.

I trekant OAB, ved å bruke cosinusloven,

⇒ x²= r²+ r²– 2×r×r×cos θ

⇒ x²= 2r²– 2r²cos θ

⇒ x²= 2r²(1- cos θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Dermed er akkordlengden gitt av:

Akkordlengde = 2r × sin [θ/2]

Hvor,

• Jeg er vinkelen dekket av akkorden i midten, og
• r er sirkelens radius.

Annen relatert formel for akkordlengde

Når to sirkler deler en felles akkord, kan lengden på den felles akkorden beregnes ved å bruke formelen

Lengden på en felles akkord av to sirkler = 2R ₁ × R ₂ / D

java listeboks

Hvor,

• R ₁ og R ₂ refererer til radius av sirkler
• D er avstanden mellom de to sentrene i sirkelen

Akkord av en sirkel teoremer

Sirkelens akkord underspenner vinkelen i sentrum av sirkelen, noe som hjelper oss å bevise ulike konsepter i sirkelen. Det er forskjellige teoremer basert på akkorden til en sirkel,

• Teorem 1: Equal Chords Equal Angles Theorem
• Teorem 2: Equal Angles Equal Chords Theorem (omvendt av setning 1)
• Teorem 3: Equal Chords Equidistant from Center Theorem

La oss nå diskutere det samme i artikkelen nedenfor.

Teorem 1: Equal Chords Equal Angles Theorem

Utsagn: Like akkorder underspenner like vinkler i midten av sirkelen, dvs. at vinkelen som strekker seg etter akkorden er lik hvis akkorden er lik.

Bevis:

Fra figuren,

I ∆AOB og ∆DOC

• AB = CD …eq(i) (gitt)
• OA = OD …eq(ii) (sirkelradius)
• OB = OC …eq(iii) (sirkelradius)

Ved SSS-kongruensforhold er således trekanten ∆AOB og ∆COD kongruente.

Dermed,

∠AOB = ∠DOC (av CPCT)

Dermed er teoremet verifisert.

Teorem 2: Equal Angles Equal Chords Theorem (omvendt av setning 1)

Uttalelse: Akkorder som legger like vinkler i midten av en sirkel er like lange. Dette er det motsatte av det første teoremet.

Fra figuren,

I ∆AOB og ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (gitt)
• OA = OD …eq(ii) (sirkelradius)
• OB = OC …eq(iii) (sirkelradius)

Ved SAS-kongruensforhold er således trekanten ∆AOB og ∆COD kongruente.

Dermed,

AB = CD (av CPCT)

Dermed er teoremet verifisert.

Teorem 3: Equal Chords Equidistant from Center Theorem

Uttalelse: Like akkorder er like langt fra sentrum, det vil si at avstanden mellom sentrum av sirkelen og den like akkord er alltid lik.

Fra figuren,

I ∆AOL og ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 grader)
• OA = OC …eq(ii) (sirkelradius)
• OL = OM …eq(iii) (gitt)

Ved RHS-kongruensforhold er således trekanten ∆AOB og ∆COD kongruente.

Dermed,

AL = CM (av CPCT)...(iv)

Nå vet vi at perpendikulæren trukket fra midten halverer akkordene.

Fra eq(iv)

2AL=2CM

AB = CD

Dermed er teoremet verifisert.

Egenskaper til akkorder i en sirkel

Det er forskjellige egenskaper til akkorder i en sirkel, noen av disse egenskapene er som følger:

• En akkord som går gjennom midten av en sirkel kalles en diameter, og den er den lengste akkorden i sirkelen.
• Den vinkelrette på en akkord, som er tegnet fra midten av sirkelen, halverer akkorden.
• Akkorder som er like langt fra midten av en sirkel er like lange.
• Det er bare én sirkel som går gjennom tre kollineære punkter.
• Akkorder som er like lange har like vinkler i midten av en sirkel.
• Den vinkelrette halveringslinjen til en akkord går gjennom midten av sirkelen.
• Hvis en radius er vinkelrett på en akkord, så deler den akkorden og buen den avskjærer. Dette er kjent som den vinkelrette halveringslinjen.
• Når de underspente vinklene av en akkord er like, er også lengden på akkordene lik.
• Hvis to akkorder i en sirkel krysser hverandre, er produktet av segmentene i den ene akkorden lik produktet av segmentene i den andre akkorden. Dette er kjent som kryssende akkordteoremet.
• Vinkelen dekket av en korde i midten er to ganger vinkelen dekket av korden ved omkretsen.

Les mer,

• Ligning av en sirkel
• Arealet av en sirkel
• Omkrets av sirkel

Løste problemer på Chord of a Circle

Oppgave 1: En sirkel er en vinkel på 70 grader hvis radius er 5 cm. Beregn akkordlengden til sirkelen.

Løsning:

Gitt

• Radius = 5 cm
• Vinkel = 70°

Nå,

akkordlengde = 2R × Sin [vinkel/2]

= 2 × 5 × synd [70/2]

= 10 × sin35°

= 10 × 0,5736

= 5,73 cm

Oppgave 2: I en sirkel , radiusen er 7 cm og den vinkelrette avstanden fra sentrum av sirkelen til akkordene er 6 cm. Regn ut lengden på akkorden.

Løsning:

Gitt

• Radius = 7 cm
• Avstand = 6 cm

Nå,

Lengde på akkorden = 2 √r²– d²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49- 36

= 2√13cm

Oppgave 3: En sirkel er en vinkel på 60 grader hvis radius er 12 cm. Beregn akkordlengden til sirkelen.

Løsning:

Gitt

• Radius = 12 cm
• Vinkel = 60°

Nå,

akkordlengde = 2R × Sin [vinkel/2]

⇒ 2 × 12 × synd [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24 × 0,5

⇒ 12 cm

Oppgave 4: I en sirkel er radien 16 cm og den vinkelrette avstanden fra sentrum av sirkelen til akkordene er 5 cm. Regn ut lengden på akkorden.

Løsning:

Gitt

• Radius = 16 cm
• Avstand = 5 cm

Nå,

Lengde på akkord = 2 √r²– d²

⇒ 2 √(16)²- (5)²

⇒ 2 √ 256- 25

⇒ 2 √231

⇒ 2 × 15,1

⇒ 30,2 cm

Oppgave 6: Regn ut lengden på en felles korde mellom sirklene med radius henholdsvis 6 cm og 5 cm. Og avstanden mellom de to sentrene ble målt til å være 8 cm.

sammenknytte java-strenger

Løsning:

Gitt

Avstand mellom de to sentrene = 8 cm

Radien til de to sirklene er R₁og R₂med lengder henholdsvis 6 cm og 5 cm

Nå,

Lengden på en felles akkord av to sirkler = (2R₁× R₂) / Avstand mellom to sentre av sirkler

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 cm

Vanlige spørsmål om Chord of a Circle

Definer akkord.

Et linjestykke som forbinder to punkter på omkretsen av sirkelen er kjent som Chord.

Hva er Chord Length Formula?

Akkordlengdeformelen beregner lengden på en akkord i en sirkel.

Kan lengden på en akkord være større enn diameteren på en sirkel?

Nei, lengden på en akkord kan ikke være større enn diameteren, da diameteren er den lengste akkorden i sirkelen.

Hvordan påvirkes lengden på en akkord hvis den er nærmere midten av sirkelen?

Når akkorden nærmer seg midten av sirkelen, nærmer dens lengde maksimal lengde, dvs. diameter.

Hvordan påvirkes lengden på en akkord hvis den er nærmere kanten av sirkelen?

Når akkorden nærmer seg kanten av sirkelen, nærmer den seg 0. Lengden på akkorden og dens avstand fra kanten har derfor en omvendt relasjon.

Hva er forholdet mellom akkordlengden og sentralvinkelen til en sirkel?

Forholdet mellom e-akkordlengden og den sentrale vinkelen til en sirkel er som følger:

Akkordlengde = 2r × sin [θ/2]

Hvor,

• Jeg er vinkelen dekket av akkorden i midten, og
• r er sirkelens radius.

Kan akkordlengdeformelen brukes for en hvilken som helst sirkel?

Ja, akkordlengdeformelen kan brukes for enhver sirkel, så lenge radius og midtvinkel er kjent.

Er diameteren en akkord i en sirkel?

Ja, diameteren er en akkord av en sirkel. Det er den lengste mulige akkorden i en sirkel. Det er lik to ganger radiusen til sirkelen.

D = 2r

Hvor,

• D er sirkelens diameter
• r er sirkelens radius