Treghetsmoment er egenskapen til en kropp i rotasjonsbevegelse. Treghetsmoment er egenskapen til rotasjonslegemene som har en tendens til å motsette seg endringen i rotasjonsbevegelsen til kroppen. Det ligner på tregheten til ethvert legeme i translasjonsbevegelse. Matematisk er treghetsmomentet gitt som summen av produktet av massen til hver partikkel og kvadratet på avstanden fra rotasjonsaksen. Det måles i enheten på kgm ² .

La oss lære mer om treghetsøyeblikket i detalj i artikkelen nedenfor.

Innholdsfortegnelse

• Treghetsmoment Definisjon
• Treghetsøyeblikksformel
• Faktorer som påvirker treghetsmomentet
• Hvordan beregne treghetsmoment?
• Treghetsmoment-formel for forskjellige former
• Gyrasjonsradius
• Treghetsmoment-teoremer
• Treghetsøyeblikk for forskjellige objekter

Treghetsmoment Definisjon

Treghetsmoment er tendensen til en kropp i rotasjonsbevegelse som motsetter seg endringen i dens rotasjonsbevegelse på grunn av ytre krefter. Treghetsmomentet oppfører seg som vinkelmasse og kalles rotasjonstreghet. Treghetsmoment er analogt med det mekaniske Treghet av kroppen.

MOI er definert som mengden uttrykt ved summen av produktet av masse av hver partikkel med kvadratet på avstanden fra rotasjonsaksen for enhver partikkel som utfører rotasjonsbevegelsen.

Treghetsmomentenhet

Treghetsøyeblikk er en skalar størrelse og SI-enheten til treghetsøyeblikket er kgm ² .

Treghetsmoment dimensjonsformel

Siden treghetsmomentet er gitt som produktet av masse og kvadrat av avstand. Det er dimensjonsformel er gitt ved produktet av dimensjonsformelen for masse og kvadratet av dimensjonsformelen for lengde. Dimensjonsformelen for treghetsmomentet er, ML ²

Hva er treghet?

Treghet er egenskapen til en materie på grunn av hvilken den har en tendens til å motstå endringen i bevegelsestilstanden. Dette betyr at en kropp i hvile prøver å forbli i ro og motstå enhver kraft som prøver å bringe den i bevegelse, og en kropp i bevegelse prøver å fortsette i bevegelse og motstå enhver kraft som prøver å få den til å endre størrelsen på bevegelsen. Når det gjelder mengde, er det lik den maksimale kraften som prøver å endre tilstanden bevegelse .

Lære mer om Treghet .

Treghetsøyeblikksformel

Treghetsøyeblikket er et skalær mengde . Matematisk kalles produktet av kvadratet av massen til en partikkel og avstanden fra rotasjonsaksen treghetsmomentet til partikkelen rundt rotasjonsaksen.

Den generelle formelen for å finne treghetsmomentet til ethvert objekt er,

jeg = mr ²

hvor,
m er massen til objektet'
r er avstanden fra rotasjonsaksen

For en kropp bestående av kontinuerlige uendelig små partikler, brukes Integralformen av Treghetsøyeblikket for å beregne treghetsmomentet.

I = ∫dI

jeg = int_{0}^{M} r^2 dm

Treghetsmoment for et system av partikler

Treghetsmoment for et system av partikler er gitt av formelen,

I = ∑m _Jeg r _Jeg ²

hvor,
r _Jeg er den vinkelrette avstanden til i^thpartikkel fra aksen
m _Jeg er massen til i^thpartikkel

Treghetsmoment-ligningen ovenfor forteller at treghetsmomentet for et system av partikler er lik summen av produktet av massen til hver og kvadratet av avstanden fra rotasjonsaksen til hver partikkel.

For figuren nedenfor,

Treghetsmoment for første partikkel = m₁×r₁²

Treghetsmoment for andre partikkel = m₂×r₂²

Treghetsmoment for tredje partikkel = m₃×r₃²

På samme måte,

Treghetsmoment av n^thpartikkel = m_n×r_n²

Nå treghetsmomentet til hele kroppen rundt rotasjonsaksen AB vil være lik summen av treghetsmomentet til alle partiklene, altså

I = m₁×r₁²+ m₂×r₂²+ m₃×r₃²+……+m_n×r_n²

konvertere streng til json i java

I = Σm _Jeg ×r _Jeg ²

hvor,
Jeg representerer treghetsmomentet til kroppen rundt rotasjonsaksen
m _Jeg er massen til i^thpartikkel,
r _Jeg er radiusen til i^thpartikkel
S representerer summen.

Fra ligningen kan vi si at treghetsmomentet til et legeme rundt en fast akse er lik summen av produktet av massen til hver partikkel i det legemet og kvadratet på dens vinkelrette avstand fra den faste aksen.

Faktorer som påvirker treghetsmomentet

Treghetsmoment for ethvert objekt avhenger av følgende verdier:

• Form og størrelse på objektet
• Tetthet av materialet til objektet
• Rotasjonsakse

Hvordan beregne treghetsmoment?

Flere måter er vant til beregne treghetsmomentet av et roterende objekt.

• For ensartede objekter beregnes treghetsmomentet ved å ta produktet av massen med kvadratet på avstanden fra rotasjonsaksen (r)²).
• For ikke-uniforme objekter, beregner vi treghetsmomentet ved å ta summen av produktet av individuelle punktmasser ved hver forskjellig radius for dette er formelen som brukes.

I = ∑m _Jeg r _Jeg ²

Treghetsmoment-formel for forskjellige former

Denne tabellen diskuterer uttrykk for treghetsmomentet for noen symmetriske objekter sammen med deres rotasjonsakse:

Gyrasjonsradius

De Gyrasjonsradius av et legeme er definert som den vinkelrette avstanden fra rotasjonsaksen til massepunktet hvis masse er lik massen til hele kroppen og treghetsmomentet er lik det faktiske treghetsmomentet til objektet slik det har vært. antatt at den totale massen av kroppen er konsentrert der. Det er en tenkt avstand. Gyrasjonsradius er betegnet med K.

Hvis kroppens masse og svingningsradius er henholdsvis M og K, er treghetsmomentet til et legeme

I = MK ² ……(1)

Dermed er gyrasjonsradiusen til et legeme vinkelrett på rotasjonsaksen hvis kvadrat multiplisert med massen til det legemet gir treghetsmomentet til det legemet rundt den aksen.

Igjen ved ligning (1), K²= I/M

K = √(I/m)

Dermed er radiusen av svingningen til et legeme om en akse lik kvadratroten av forholdet mellom kroppen rundt den aksen.

Treghetsmoment-teoremer

Det er to typer teoremer som er veldig viktige med hensyn til treghetsøyeblikket:

• Parallell akse teorem
• Perpendicular Axis Theorem

Perpendicular Axis Theorem

Perpendicular Axis Theorem angir at summen av treghetsmomentet til et legeme om to innbyrdes perpendikulære akser plassert i et legemes plan er lik treghetsmomentet til legemet om den tredje aksen som er vinkelrett på de to aksene og går gjennom deres punkt av krysset.

I figuren ovenfor, OKSE og LTD er to akser i kroppens plan som er vinkelrett på hverandre. Den tredje aksen er OZ som er vinkelrett på kroppens plan og går gjennom skjæringspunktet mellom OKSE og LTD økser. Hvis Jeg _x , JEG _og , og Jeg _Med er treghetsmomentene til kroppen rundt aksen OKSE , LTD , og OZ henholdsvis akser, da ifølge denne teoremet

hvordan finner jeg skjulte apper på Android

Jeg _x + jeg _og = jeg _Med

Parallell akse teorem

I følge Parallell akse teorem , er treghetsmomentet til et legeme om en gitt akse summen av treghetsmomentet om en akse som går gjennom kroppens massesenter og produktet av kvadratet av kroppens masse og den vinkelrette avstanden mellom to akser.

La i figuren ovenfor, vi må finne treghetsmomentet til Jeg _O av kroppen som passerer gjennom punktet O og om aksen vinkelrett på planet, mens treghetsmomentet til kroppen passerer gjennom massesenteret C og om en akse parallelt med den gitte aksen er Jeg _C , da ifølge denne teoremet

Jeg _O = jeg _C + Ml ²

hvor
M er massen til hele kroppen
l er den vinkelrette avstanden mellom to akser.

Treghetsøyeblikk for forskjellige objekter

Treghetsmoment for forskjellige objekter diskuteres nedenfor i denne artikkelen

Treghetsmoment for en rektangulær plate

Hvis massen til platen er M, lengde l og bredde b, så går treghetsmomentet gjennom tyngdepunktet og om en akse vinkelrett på platens plan.

I = M(l ² + b ² / 12)

Treghetsøyeblikk på en plate

Hvis platen har en masse M og radius r, er treghetsmomentet rundt platens geometriske akse

I = 1/2(Mr ² )

Treghetsmoment av en stang

Hvis massen til staven er M og lengden er l, så er treghetsmomentet om aksen vinkelrett på lengden av staven og går gjennom tyngdepunktet

I = ML ² /12

Treghetsmoment av en sirkel

Hvis massen til ringen er M og ringens radius er r, er treghetsmomentet rundt aksen som går gjennom vinkelrett på midten av ringen.

Jeg = Mr ²

Treghetsøyeblikk av en sfære

Hvis en solid kule har en masse på M og en radius på r, er treghetsmomentet rundt dens diameter

I = 2/5Mr ²

Treghetsmoment for solid sylinder

Treghetsmomentet til en solid sylinder med radius 'R' og masse M er gitt av

I = 1/2MR ²

Treghetsmoment for hul sylinder

En hul sylinder har to radier, nemlig indre radius og ytre radius. Treghetsmomentet til en hul sylinder med masse M, ytre radius R₁, og indre radius R₂er gitt som

I = 1/2M(R ₁ ² + R ₂ ² )

Treghetsøyeblikk for Solid Sphere

Treghetsøyeblikket til en solid massesfære 'M' og radius 'R' er gitt som

I = 2/5MR ²

Treghetsøyeblikk av hule sfære

Treghetsøyeblikket til en hul sfære med masse M og radius 'R' er gitt som

I = 2/3MR ²

Ringens treghetsøyeblikk

Treghetsmomentet til en ring er gitt for to tilfeller når rotasjonsaksen går gjennom sentrum og når rotasjonsaksen går gjennom diameteren.

Ringens treghetsmoment om aksen som går gjennom sentrum er gitt av

konverter streng til int

I = MR ²

Ringens treghetsmoment om aksen som går gjennom diameteren er gitt av

Jeg = Mr ² /2

Squares treghetsmoment

Treghetsøyeblikket til kvadratet på side 'a' er gitt som

jeg = a ⁴ /12

Treghetsmomentet til en firkantet plate på siden med lengden 'l' og massen M er gitt som

I = 1/6ML ²

Treghetsøyeblikk i trekanten

Treghetsmomentet til en trekant er gitt for 3 situasjoner, først når aksen går gjennom midten, den andre når aksen går gjennom basen og for det tredje når aksen er vinkelrett på basen. La oss se formelen for dem én etter én. For en trekant med basis 'b' og høyde 'h', er formelen for treghetsmoment gitt som følger

Når aksen passerer gjennom Centroid

jeg = bh ³ /36

Når aksen går gjennom basen

jeg = bh ³ /12

Når aksen er vinkelrett på basen

I = (hb/36)(b ² – b ₁ b + b ₁ ² )

Forskjellen mellom treghetsmoment og treghet

Forskjellen mellom treghet og treghetsmoment er tabellert nedenfor:

Kinetisk energi til roterende kropp

La oss anta et legeme med masse 'm' som roterer med hastighet v i en avstand 'r' fra rotasjonsaksen. Dens vinkelhastighet er da gitt av ω = v/r og deretter v = rω. Nå vet vi at Kinetisk energi av en kropp er gitt av

KE = 1/2mv ²

⇒ KE = 1/2m(rω)²

⇒ KE = 1/2mr²Åh²

⇒ KE = 1/2Iω ²

Derfor er den kinetiske energien til et roterende legeme gitt av halvparten av produktet av treghetsøyeblikket og vinkelhastighet av kroppen. Den kinetiske energien til roterende kropp kalles også Rotasjons kinetisk energi . Formelen for rotasjonskinetisk energi er gitt som

KE = 1/2Iω ²

Treghetsmomentet(I) er uavhengig av kroppens vinkelhastighet. Det er en funksjon av massen til det roterende legemet og legemets avstand fra rotasjonsaksen. Derfor observerer vi at vinkelbevegelse er analog med lineær bevegelse, dette betyr at betydningen av Treghetsmoment er at det gir en idé om hvordan masser er fordelt på forskjellige avstander fra rotasjonsaksen i et roterende legeme.

Anvendelse av treghetsmoment

Moment of Inertia har forskjellige applikasjoner, hvorav noen er diskutert nedenfor:

• På grunn av det større treghetsmomentet roterer jorden rundt sin akse med samme vinkelhastighet.
• Et lite bevegelig hjul er plassert under barnas lekemotor. Etter å ha gnidd dette hjulet med bakken og forlatt motoren, på grunn av hjulets treghetsmoment, fortsetter motoren å gå en stund.
• Hver motor består av et stort og tungt hjul festet til akselen, med det meste av massen på omkretsen. Derfor er treghetsmomentet høyt. Dette hjulet kalles et svinghjul. Dreiemomentet som driver akselen til motoren fortsetter å øke. Derfor kan rotasjonen av akselen ikke være jevn, men på grunn av tilstedeværelsen av et bevegelig hjul med mer treghet, fortsetter akselen å rotere med en nesten jevn hastighet.
• I hjulet til oksevogner, rickshawer, scootere, sykler osv. er det meste av massen konsentrert om sirkelen eller kanten. denne bøylen eller rutinen er festet til hjulets akse med stive eiker. Ved å gjøre dette øker treghetsmomentet. Derfor, når bena slutter å bevege seg mens du sykler, fortsetter hjulet å snurre en stund.

Sjekk også

• Kinematics of Rotational Motion
• Bevegelse av en stiv kropp
• Rullende bevegelse

Løste eksempler på treghetsøyeblikk

Eksempel 1: Et legeme med en masse på 500 g roterer rundt en akse. avstanden til kroppens massesenter fra rotasjonsaksen er 1,2 m. finn kroppens treghetsmoment om rotasjonsaksen.

Løsning:

Gitt at M = 500 g = 0,5 kg, r = 1,2 m.

Det er klart at hele massen til et legeme kan antas å være plassert i massesenteret. Deretter treghetsmomentet til kroppen om rotasjonsaksen.

Jeg = Mr²

I = 0,5 × (1,2)²

I = 0,72 kg m²

Eksempel 2: Omdreiningsradius om en akse 12 cm unna massesenteret til en kropp med masse 1,2 kg er 13 cm. Beregn omdreiningsradius og treghetsmoment om en akse som går gjennom massesenteret.

Løsning:

Gitt at M = 1,0 kg, K = 13 cm, l = 12 cm, K_CM= ?, jeg_CM= ?

Fra teorem for parallellakse I = I_CM+ Ml²

K²= K_CM2+ l²

eller K_CM2= K²– l²

K_CM2 = (13)²– (12)²= 25

K_CM= 5

Nå, Treghetsøyeblikk I_CM= MK_CM2

Jeg_CM= 1,0 × (0,05)²= 2,5 × 10^-3kg m²

Eksempel 3: Et legeme med masse 0,1 kg roterer rundt en akse. hvis avstanden til kroppens massesenter fra rotasjonsaksen er 0,5 m, finn kroppens treghetsmoment.

Løsning:

Gitt at M = 0,1 kg og r = 0,5 m

så jeg = Mr²

I = 0,1 × (0,5)²

java-streng til heltall

I = 0,025 kg m²

Eksempel 4: Treghetsmomentet til ringene rundt en akse som går gjennom midten vinkelrett på planet til den sirkulære ringen er 200 gm cm ² . Hva vil treghetsmomentet være om diameteren?

Løsning:

Treghetsmoment for en sirkulær ring om en akse som går gjennom et annet senter vinkelrett på planet

MR²= 200 gm cm²

Treghetsmoment i ferd med å bli diameter

= 1/2 MR²

= 1/2 × 200 = 100 gm cm²

Vanlige spørsmål om Treghetsøyeblikk

Hvordan beregne treghetsmomentet?

Den grunnleggende formelen for å finne treghetsmomentet til et enhetlig objekt er,

jeg = mr ²

hvor,
m er massen til objektet'
r er avstanden fra rotasjonsaksen

Hvordan beregne treghetsmomentet til en bjelke?

Treghetsmomentet til en bjelke langs midten og aksen horisontalt til den beregnes ved å bruke formelen,

I = ML ² / 12

Hva avhenger treghetsmomentet til en kropp?

Treghetsmomentet til ethvert objekt avhenger av faktorene gitt nedenfor:

• Masse av kroppen,
• Rotasjonsakse
• Form og størrelse på objektet

Hva er enheten for treghetsmoment?

Enheten for Treghetsøyeblikk er Kgm ²

Kan treghetsøyeblikket være negativt?

Nei, treghetsmomentet kan aldri være negativt.

Hva er Masse Treghetsmoment?

Masse treghetsmoment er måling av en kropps motstand mot endring i vinkelmomentum eller retning. Massetreghetsmomentet for en punktmasse er gitt ved I = mr²og for system av partikler er massetreghetsmomentet gitt som I = Σ_Jegm_Jegr_Jeg²

Hva er areal treghetsmoment?

Areal Treghetsmoment er egenskapen til et 2D-formplan som viser hvordan punkter er spredt i forhold til en vilkårlig akse i et plan. Arealtreghetsmoment er også kjent som andre arealmoment eller kvadratisk arealmoment. Formelen for Treghetsmoment i xy-planet er gitt som I_xy= ∫xy dxdxy = ∫xy dA